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广东省东莞市2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 文(扫描版)


广东省东莞市 2013-2014 学年高二数学上学期期末考试试题 文(扫 描版)新人教 A 版

东莞 2013—2014 学年度第一学期期末教学质量检查 高二文科数学(A 卷)参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 B 5 B 6 D 7 B 8 D 9 B 10 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11. ?x0 ? R, x0 ?1 ? 0
2

12. 1

13. 12

14.

n2 ? n 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.) 15.(本小题满分 12 分)
2 解:若 p 为真命题,则 ? ? (?a) ? 4a ? 0 ,

…………2 分 …………4 分

解得 a ? 0 或 a ? 4 .

若 q 为真命题,则 a ? 0 ;若 ? q 为真命题,则 a ? 0 ; ∵ p ? (?q ) 为真命题,∴ p 与 ? q 均为真命题,

…………6 分 …………8 分

即有 ?

?a ? 0或a ? 4, ?a ? 0.

…………10 分 …………12 分

∴ a ? 0或a ? 4 .

16.(本小题满分 12 分) 解: (1)由已知

sin C 2c sin C 2sin C ? ? 及正弦定理,得 , ………2 分 sin B cos A b sin B cos A sin B 1 ? cos A ? . …………4 分 2


0? A?? ,

…………5 分 …………6 分

∴A?

?
3

.

(2)

1 1 3 S ? bcsin A ? ? 4 ? c ? ? 3c ? 2 3 , 2 2 2
…………10 分 …………12 分

…………8 分

?c ? 2 .

? a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ? 2 3 .

17.(本小题满分 14 分) 解:设每天生产 A 型桌子 x 张, B 型桌子 y 张,利润为 z 元, …………1 分

?x ? 2 y ? 8 ?3x ? y ? 9 ? 则约束条件为 ? ① ? x ? 0, x ? N ? ? y ? 0, y ? N
目标函数为 z ? 2000x ? 3000y ,

…………4 分

y 9 3x+y=9 M(2,3) x+2y=8 o 3 x

…………6 分

不等式组①所表示的平面区域如右图中的阴影部分.……8 分

2 1 x? z, 3 3000 2 1 1 z 经过点 M 时,截距 z 最大,即 z 最大. 当直线 y ? ? x ? 3 3000 3000
由 z ? 2000x ? 3000y 得: y ? ? 10 分

…………

由?

?x ? 2 y ? 8 ?x ? 2 ,即 M 点的坐标为 (2,3) . ?? ?3x ? y ? 9 ? y ? 3

………12 分

? z max ? 2 ? 2000? 3 ? 3000? 13000.

…………13 分

答:每天应生产 A 型桌子 2 张, B 型桌子 3 张,才能获得最大利润,最大利润为13000 元. ……14 分

18.(本小题满分 14 分) 解: (1)方法一

?a1 ? 3 ? k , ? 由题意,有 ?a1 ? a2 ? 9 ? k , ?a ? a ? a ? 27 ? k , ? 1 2 3


…………1 分

?a1 ? 3 ? k , ? ?a2 ? 6, ?a ? 18. ? 3


…………2

又∵ ?an ? 为等比数列,∴ a22 ? a1a3 ,即 36 ? 18(3? k ) ,解得 k ? ?1 , 分 ∴ Sn ? 3n ? 1 . 当

……4

n ?1

时 …………5 分



a1 ? S1 ? 2 ,


n?2

时 …………6 分



an ? Sn ? Sn?1 ? (3n ?1) ? (3n?1 ?1) ? 2 ? 3n?1 ,
显然, n ? 1 时也适合 an ? 2 ? 3 ∴ an ? 2 ? 3 方法二 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? k ;
n?1 n?1

, …………7 分

.

…………1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3n ?1) ? (3n?1 ?1) ? 2 ? 3n?1 . ∵数列 ?an ? 是等比数列,∴ 即

…………3 分

a2 ? 3, a1

…………4 分

2?3 ? 3, 3? k
分 解得 k ? ?1 , ∴ an ? 2 ? 3n?1 . (2)将 k ? ?1 及 an?1 ? 2 ? 3n ,代入 分 …………6 分 …………7 分
n an ?1 n ? (4 ? k ) 2 bn ,得 bn ? n , 2 2

…………5

…………9

Tn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ... ? n ① 1 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2


② 得

…………11 分 :



1 1 1 1 1 1 n Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 n ? 1 ? n ? n ?1 , 2 2 1 n n?2 ∴ Tn ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2
19.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意,可设椭圆 C1 的方程为

…………12 分 …………13 分 …………14 分

y2 x2 ? ? 1 ,抛物线 C 2 的方程为 x 2 ? 2 py . a2 b2


?

1 1 1 7 2a ? ( ? 0)2 ? ( 3 ? 3 )2 ? ( ? 0)2 ? ( 3 ? 3 )2 ? ? ? 4 2 2 2 2

? a ? 2 .………1 分


c ? 3 ,?b ? a 2 ? c 2 ? 1 ,
y2 ? x2 ? 1. 4
…………2 分 …………3 分

? 椭圆 C1 的方程为

? 抛物线 C 2 的焦点到准线的距离为 2 ,? p ? 2 ,

? 抛物线 C 2 的方程为 x 2 ? 4 y .
x x (2)①解:设 A( x1 , 1 ) , B ( x 2 , 2 ) . 4 4
由 x 2 ? 4 y 得: y ?
2 2

…………4 分

1 2 1 x ,? y / ? x , 4 2
x12 x1 x x2 ? ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? 1 . 4 2 2 4
………

? 过点 A 的切线 AQ 的方程为 y ?
5分 同 理 过 点 B

的 切 线 BQ 的 方 程 为 y ?

2 x2 x ? 2 ( x ? x2 ) , 即 4 2

y?

x2 x2 x? 2 . 2 4

…………6 分

于是得交点 Q (

x1 ? x2 x1 x2 , ). 2 4

…………7 分 ………8 分

? 点 Q 恰好在准线 y ? ?1 上,? x1 x2 ? ?4 .
x1 x ? 2 4 = x1 ? x2 , ? 4 4 x1 ? x2
x12 x1 ? x2 ? ( x ? x 1) , 4 4
2 2

又 k AB

所以直线 AB 的方程为 y ? 化简得 y ?

x1 ? x2 xx x ?x x ? 1 2 ,即 y ? 1 2 x ? 1 , 4 4 4
………10 分

…………9 分

所以直线 AB 过定点 (0,1) . ②? Q ( 11 分 所以 QA ? QB ? ? 分

x1 ? x2 x ?x x2 x ?x x 2 , ?1) , ? QA ? ( 1 2 , 1 ? 1) ,QB ? ( 2 1 , 2 ? 1) , 2 4 2 4 2

………

( x1 ? x2 ) 2 x2 x2 x2 x2 x x ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 . …… 13 4 4 4 16 2

? QA ? QB ,即点 Q 在以线段 AB 为直径的圆上. ………14 分

20.(本小题满分 14 分)
3 2 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ? m .

∵函数有三个互不相同的零点,

∴ x3 ? x2 ? x ? m ? 0 即 m ? ? x ? x ? x 有 三 个 互 不 相 等 的 实 数
3 2

根.

…………1 分 令 g ( x) ? ? x3 ? x2 ? x ,则 g?( x) ? ?3x2 ? 2x ? 1 ? ?(3x ?1)( x ? 1) .

1 ; 3 1 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1或x ? , …………2 分 3 1 1 ∴ g ( x) 在 (??, ?1) 和 ( , ??) 上均为减函数, 在 ( ?1, ) 上为增函数, …………3 3 3
令 g ?( x) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 分 ∴ ? g ( x)?极小值 =g (?1) ? ?1 , …………4 分 …………5 分 …………6 分

1 5 )? , 3 27 5 ∴ m 的取值范围是 ( ?1, ) . 27

? g ( x)?极大值 =g (

2 2 (2)∵ f ?( x) ? 3 x ? 2a x ? a ? 3( x ? )( x ? a ) ,且 a ? 0 ,

a 3

…………7 分

∴当 x ? ?a 或 x ? 当 ?a ? x ?

a 时, f ?( x) ? 0 ; 3

a 时, f ?( x) ? 0 . 3
a 3

∴ 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 (??, ?a) 和 ( , ??) , 单 调 递 减 区 间 为

a ( ? a, ) . 3

…………8 分

当 a ? [3, 6] 时,

a ? [1, 2] , ?a ? ?3 . 3
…………9

又 x ? [?1, 2] ,∴ f ( x ) 的最大值为 f (?1) 和 f (2) 中的较大者. 分 ∵ f (?1) ? f (2) ? 3 a ? 3 a ? 9 ? 0 ,
2

∴ ? f ( x)?max ? f (?1) ? ?1 ? a ? a ? m .
2

…………10 分

要使得 f ( x) ? 1 对任意 x ? [?1, 2] 恒成立, 即 ? f ( x)?max ? 1,亦即 ?1 ? a ? a ? m ? 1 ,
2

即当 a ? [3, 6] 时, m ? ?a ? a ? 2 恒成立.
2

…………12 分

∵ ?a ? a ? 2 在 a ? [3, 6] 上的最小值为 ?40 ,
2

…………13 分 …………14 分

∴ m 的取值范围是 (??, ?40] .


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