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辽宁省东北育才学校2017届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案


东北育才学校高中部 2017 届高三第一次模拟 数学试题(理科)
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.已知集合 A ? {x | x2 ?16 ? 0} , B ? {?5, 0,1} ,则 A. A ? B ? ?
2

B. B ? A

C. A ? B ? {0,1}

D. A ? B
开始

2.复数

(1 ? i ) 等于 1- i A. 1 ? i B. ? 1 ? i

C. 1 ? i

D. ? 1 ? i

k ? 0, S ? S 0

3.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出 k 的值是 6 , 则输入的整数 S 0 的可能值为 A.5 B.6 C.8 D.15

S ? 2?

S ? S ? 2k



输出 k

4.已知直线 l : x cos ? ? y sin ? ? 1 ,且 OP ? l 于 P , O 为坐标原点, 则点 P 的轨迹方程为 A. x 2 ? y 2 ? 1
x

k ?k?2

结束

B. x 2 ? y 2 ? 1 B. y ? ex ? 1

C. x ? y ? 1 C. y ? e( x ? 1)

D. x ? y ? 1 D. y ? x ? e

5.函数 f ( x) ? e ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 A. y ? 2e( x ? 1) 6.“等式 sin(? ? ? ) ? sin(2? ) 成立”是“ ?、?、? 成等差数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 7.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,a1 ? 2 , a2 , a4 ? 2, a5 成等差数列, S n 是数列 ?an ? 的前 n 项的和,则 S10 ? S 4 ? A.1008 A. 90 C. 98 B.2016 C.2032 B. 92 D. 104 D.4032 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是

9.半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四点,

AB 、AC、AD 两两互相垂直,则 ?ABC 、?ACD 、?ADB 面积之和的最大值为
A.8 B.16 C.32 D.64 10.设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 0, S10 ? 0 ,则

2 22 23 29 , , , ? 9 中最大的是 a1 a2 a3 a

A.

2 a1

B.

25 a5

C.

26 a6

D.

29 a9

11.已知函数 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2) , ( x ? x3 ) (其中 x1 ? x2 ? x3 ) .设 g ( x) ? 3x ?n ( i s 2 x ? 1) ,且函数 f ( x ) 的两个极值点为 ?,?(? ? ?) x ?x x ?x ? ? 1 2 , ? ? 2 3 ,则 2 2 A. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? ) B. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? ) C. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? )
2 2

D. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? )

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过点 F 作 x 轴的垂线交两渐近线于 2 a b 点 A, B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 P ,设 O 为坐标原点,若 5 ) OP ? ?OA ? ?OB (?,? ? R) , ?2 ? ? 2 ? ,则双曲线的离心率为( 8 9 2 3 3 5 3 2 A. B. C. D. 8 3 5 2
12.设双曲线

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. ___________. 13.若 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项的和,且 S n ? ?n 2 ? 6n ? 7 ,则数列 ?an ? 的最大项的值为

14.设 a

1 6 2 2 ? ?1 (3x 2 ? 2 x)dx ,则二项式 (ax ? ) 展开式中的第 4 项为___________. x

15. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 ,点 E 为 AB 的中点.以 A 为圆心, AE 为半径,作弧
? 上的动点,则 PC ?PD 的最小值为___________. 交 AD 于点 F ,若 P 为劣弧 EF
x ?1

??? ? ??? ?

16.已知函数 f ( x ) ? 2

?

1 a 在 [ ? ,3] 上单调递增,则实数 a 的取值范围_________. x 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

3 sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 sin 2 ( x ?

?
12

)( x ? R )

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求使函数 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合.
P

18.(本小题满分12分)
F

D

C

A

E

B

如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?DAB ? 60 ,

?

PD ? 平面ABCD, PD ? AD ? 1, 点 E , F 分别为 AB 和 PD 中点.
(Ⅰ)求证:直线 AF // 平面PEC ; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

19.(本小题满分 12 分) 某网站用“10 分制”调查一社区人们的治安满意度.现从调查人群中随机 抽取 16 名, 以下茎叶图记录了他们的治安 满 意 D 度分数(以小数点前的一位数字为茎,小 数 点 A C 后的一位 数 字 E 为叶) .
B

.O

(I)若治安满意度不低于 9.5 分,则称该人的治安满意度为“极安全” ,求从 这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“极安全”的概率; (II)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数 很多)任选 3 人,记 ? 表示抽到“极安全”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.
20.(本小题满分 12 分)

x2 y2 ? 2 ? 1 的右焦点 F , 抛物线:x 2 ? 4 3 y 2 a b l C C A 、 B 两点, 的焦点为椭圆 的上顶点, 且直线 交椭圆 于 点 A、F、B 在直线 g:x ? 4
如图, 已知直线 l : x ? my ? 1 过椭圆 C : 上的射影依次为点 D、K、E . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 交 y 轴于点 M ,且 MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF ,当 m 变化时,探求 ?1 ? ?2 的 值是否为定值?若是,求出 ?1 ? ?2 的值,否则,说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 设 x ? m 和 x ? n 是函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 x ? (a ? 2) x 的两个极值点,其中 2

m ? n ,a?R . (Ⅰ) 求 f (m) ? f (n) 的取值范围; 1 (Ⅱ) 若 a ? e ? ? 2 ,求 f (n) ? f (m) 的最大值. e

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知⊙ O 的半径长为 4 ,两条弦 AC, BD 相交于点 E ,若 BD ? 4 3 ,

BE ? DE , E 为 AC 的中点, AB ? 2 AE .
(Ⅰ) 求证: AC 平分 ?BCD ; (Ⅱ)求 ? ADB 的度数. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (其中 ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴 ? y ? 3 sin ? 的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 . 已知曲线 C1 的参数方程为 ? (Ⅰ) 分别写出曲线 C1 与曲线 C 2 的普通方程; (Ⅱ)若曲线 C1 与曲线 C 2 交于 A, B 两点,求线段 AB 的长. 24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ) 若 函 数 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1) 的 最 小 值 为 a , 且 m ? n ? a(m ? 0, n ? 0) , 求

? x ? 2 cos?

m ? 2 n2 ?1 ? 的最小值. m n
2

东北育才高中部第三次模拟数学(理科)答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求. 1.C 2.D 3.C 4.A5.C 6.B 14. ?1280x
3

7.B 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.12 15. 5 ? 2 5 16.[﹣1,1]

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. π π 17.(Ⅰ) f(x)= 3sin(2x- )+1-cos2(x- ) 6 12 = 2[ 3 π 1 π sin2(x- )- cos2(x- )]+1 2 12 2 12

π π =2sin[2(x- )- ]+1 12 6 π = 2sin(2x- ) +1 3 2π ∴ T= =π 2 π (Ⅱ)当 f(x)取最大值时, sin(2x- )=1, 3 有 π π 2x- =2kπ + 3 2 5π 12 (k∈Z) 5π , (k∈Z)}. 12

即 x=kπ +

∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ +

18.解:(Ⅰ)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M. ∵点 F 为 PD 中点,∴ FM ? ∵k ?

1 CD . 2

????2 分

P

1 1 ,∴ AE ? AB ? FM , 2 2
??4 分

F

M

∴AEMF 为平行四边形,∴AF∥EM, ∴直线 AF // 平面 PEC.
?

∵ AF ? 平面PEC,EM ? 平面PEC , ……………6 分
A
P zE

D

C

(Ⅱ)? ?DAB ? 60 ,? DE ? DC . 如图所示,建立坐标系,则 P(0,0,1),C(0,1,0),E(

B

3 ,0,0), 2
D

F

C

y

A x

E

B

A(

1 3 3 1 , , 0) , , ? ,0), B( 2 2 2 2

∴ AP ? ? ?

??? ?

? ? ?

? 3 1 ? ??? , ,1? , AB ? ? 0,1,0? . ?8 分 2 2 ? ? ?

设平面 PAB 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? .

? 3 1 ? ??? ? ? ??? ? 3 x? y?z ?0 ?? ∵ n ? AB ? 0 , n ? AP ? 0 ,∴ ? 2 ,取 x ? 1 ,则 z ? , 2 2 ?y ? 0 ?
∴平面 PAB 的一个法向量为 n ? (1, 0,

?

3 ). 2

??????????10 分

设向量 n与PC所成角为?, ∵ PC ? (0,1, ?1) ,

? ??? ?

??? ?

? ??? ? n ? PC ∴ cos ? ? ? ??? ? ? n PC

?

3 2

7 ? 2 4

??

42 , 14

∴PC 平面 PAB 所成角的正弦值为

42 . 14

.…………………………12 分

19.

20.解: (Ⅰ)易知椭圆右焦点 F(1,0) ,∴c=1, 抛物线 的焦点坐标 ,∴ ∴b =3
2

∴a =b +c =4∴椭圆 C 的方程

2

2

2

(Ⅱ)易知 m≠0,且 l 与 y 轴交于 设直线 l 交椭圆于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由
2 2 2



∴△=(6m) +36(3m +4)=144(m +1)>0 ∴ 又由



同理







所以,当 m 变化时,λ1+λ2 的值为定值



(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,∴D(4,y1) ,E(4,y2) 方法 1)∵



时,

=

=

∴点 同理可证,点

在直线 lAE 上, 也在直线 lBD 上;

∴当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 方法 2)∵

= ∴kEN=kAN∴A、N、E 三点共线, 同理可得 B、N、D 也三点共线; ∴当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? .

1 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 . ? x ? (a ? 2) ? x x

依题意,方程 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 有两个不等的正根 m , n (其中 m ? n ).故

?(a ? 2) 2 ? 4 ? 0 ? a ? 0, ? ?a ? 2 ? 0
并且

m ? n ? a ? 2, mn ? 1 .
所以, f (m) ? f (n) ? ln mn ? (m 2 ? n 2 ) ? (a ? 2)(m ? n)

1 2

1 1 ? [(m ? n) 2 ? 2mn] ? (a ? 2)(m ? n) ? ? (a ? 2) 2 ? 1 ? ?3 2 2
故 f (m) ? f (n) 的取值范围是 (??, ?3) (Ⅱ)解:当 a ?

e?

1 1 n ? 2 时, (a ? 2) 2 ? e ? ? 2 .若设 t ? (t ? 1) ,则 e m e

( m ? n) 2 1 1 ?t ? ? 2? e? ? 2. mn t e 1 1 1 t ? ? e ? ? (t ? e)(1 ? ) ? 0 ? t ? e 于是有 t e te n 1 2 n 1 f (n) ? f (m) ? ln ? (n ? m 2 ) ? (a ? 2)(n ? m) ? ln ? ( n 2 ? m 2 ) ? ( n ? m)( n ? m) m 2 m 2 (a ? 2) 2 ? (m ? n) 2 ?
n 1 2 n 1 n2 ? m2 n 1 n m ? (n ? m 2 ) ? ln ? ( ) ? ln ? ( ? ) m 2 m 2 mn m 2 m n 1 1 ? ln t ? (t ? ) 2 t 1 1 1 1 1 (t ? 1) 2 构造函数 g (t ) ? ln t ? (t ? ) (其中 t ? e ),则 g ?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? ?0 . 2 t t 2 t 2t 2 e 1 所以 g (t ) 在 [e, ??) 上单调递减, g (t ) ? g (e) ? 1 ? ? . 2 2e e 1 故 f (n) ? f (m) 的最大值是 1 ? ? 2 2e ? ln

22.(本小题满分 10 分) 解: (1)由 E 为 AC 的中点, AB ?

2 AE 得

AB AC ? 2? AE AB 又 ?BAE ? ?CAB ? ?ABE ∽ ?ACB ? ?ABE ? ?ACB 又 ?ACD ? ?ABE ? ?ACD ? ?ACB 故 AC 平分 ?BCD ??????5 分 (2)连接 OA ,由点 A 是弧 BAD 的中点,则 OA ? BD ,
设垂足为点 F ,则点 F 为弦 BD 的中点, BF ? 2 3 连接 OB ,则 OF ?

OB 2 ? BF 2 ? 4 2 ? (2 3 ) 2 ? 2 , AF ? OA ? OF ? 4 ? 2 ? 2 ,

? cos ?AOB ?

OF 2 1 ? ? , ?AOB ? 60 ? OB 4 2

? ?ADB ?

1 ?AOB ? 30 ? ??????10 分 2
D

A F E

C

B

.O

23.(本小题满分 10 分) 解: (1)曲线 C1 :

x2 y2 ? ? 1 ,??????2 分 4 3

曲线 C 2 : x ? y ? 1 ? 0 ??????4 分

?x ? y ? 1 ? 0 ? 2 (2)联立 ? x 2 ,得 7 x ? 8 x ? 8 ? 0 , y2 ?1 ? ? 3 ?4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? 于是 AB ? 1 ? 1 x1 ? x 2 ? 故线段 AB 的长为

8 8 , x1 x 2 ? ? 7 7
24 . 7

2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

24 .??????10 分 7 1 3 ? x ? ,故不等式 2 2

24.(本小题满分 10 分) 解: (1)由 f ( x) ? 2 知 | 2 x ? 1 |? 2 ,于是 ? 2 ? 2 x ? 1 ? 2 ,解得 ?

? 1 3? f ( x) ? 2 的解集为 ? ? , ? ;????????3 分 ? 2 2?
(2)由条件得 g ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 3) |? 2 ,当且仅当 x ? ? , ? 时, 2 2 其最小值 a ? 2 ,即 m ? n ? 2 ???????6 分 又

?1 3? ? ?

2 1 1 2n m ? 1 ? 2 1? 1? ? ? ?m ? n?? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? 2 2 ,????8 分 m n 2 m n? 2 ?m n? 2?
2 1 1 m2 ? 2 n2 ? 1 7?2 2 ? m? n ? ? ? 2? 3? 2 2 ? ? , m n 2 m n 2

?

?

所以

?

?

m2 ? 2 n2 ? 1 7?2 2 ? 故 的最小值为 ,此时 m ? 4 ? 2 2, n ? 2 2 ? 2 .??10 分 m n 2
12 分


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