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2013高三数学周末练习2


杭州二中 2013 年高三上数学周末练习 2
一、选择题 1. 已知函数 f ( x ) ? ? A. 9
2

?log 2 x( x ? 0) ?3 ( x ? 0)
x

, 那么 f [ f ( )] 的值为 ( C. ? 9

1 4

) D. ?


B.

1 9

1 9
)

2. 已知函数 f ? x ? ? ax + ?1 ? 3a ? x ? 2a 在 ?1, ?? ? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是( A.

? 0,1?
2

B.

? 0,1?

C.

? 0,1?

D. ?1, ?? ?

3. 已知函数 f ? x ? ? x ? ? a ? b ? x ? ab (其中 a ? b )的图象如下面左图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是( f (x) )

A

B

C

D

4. 已知奇函数 f ? x ? 在(0,+ ∞)上为减函数,且 f ? ?2 ? ? 0 ,则不等式 ( x ? 1) f ? x ? 1? >0 的解 集为( ) B. ? ?3,1? ? ? 2, ?? ? C. ? ?3, 0 ? ? ? 3, ?? ? D. ? ?1,1? ? ?1,3?

A. ? ?3, ?1?

5. 某学校要召开学生代表大会,规定各班每 20 人推选一名代表,当各班人数除以 20 的余数不小于 11 时再增选一名代表. 那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x] ([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 ( ) A. y=[

x?8 ] 20

B. y=[

x?9 ] 20

C. y=[

x ? 10 ] 20

D. y=[

x ? 11 ] 20

6. 偶 函 数 f ( x) 满 足 f ( x 1 )? f ( x ,) 且 在 x ? ? 0 , ?1 时 , f ( x)? ? x 则 函 数 ? ? 1 1 ,

1 g ( x) ? f ( x) ? ( ) x 在 [0,3] 上的零点的个数是 ( 10
A. 1 7. 已知函数 y ? 有 ( B. 2

) C. 3 D. 4

3- | x | 的定义域为 [a, b]( a, b ? Z ) ,值域为 [0,1] ,那么满足条件的整数对 (a, b) 共 3+ | x |

) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 8. 设实数 a 使得不等式|2x?a|+|3x?2a|≥a2 对任意实数 x 恒成立, 则满足条件的 a 所组成的集合是 ( A. [? , ]



1 1 3 3

B. [?

1 1 , ] 2 2
1

C. [?

1 1 , ] 4 3

D. [?3,3]

?(1 ? 3a ) x ? 10a 9.已知函数 f ( x) ? ? x?7 ?a
数列,则实数 a 的取值范围是( A. ( ,1)

x ? 6, x ? 6.


,若数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ? N ) ,且 {an } 是递减
*

1 3

B. ( , )

1 1 3 2

C. ( , )

1 5 3 8

D. ( ,1)

5 8

2 10.对于集合 {a1 , a 2 ,..., a n } 和实常数 a 0 定义: Sn ?

1 [sin 2 (a1 ? a0 ) ? sin 2 (a2 ? a0 ) ?? + n ? 7? 13? sin 2 (an ? a0 )] 为集合 {a1 , a2 ,..., an } 相对于 a 0 的“正弦方差” 则集合 { , , , } 相对于实常数 9 9 9
a 0 的“正弦方差” S32 ? (
A. ) B.

1 2

1 3

C.

1 4

D.

1 5

二、填空题 11. 已知函数 f ( x) ? 3 ? x, g ( x) ? log 3 x ? 2, h( x) ? log 3 x ? x 的零点依次为 a, b, c ,则 a, b, c 的大小
x

关系是 12.
4

. . . .

2 ? 80.25 ? ( 2 ? 3 3)6 ? log 3 (log 2 4) ? log 2 3 =
1 ? x 2 ? 2x ? 3
的单调递增区间是

13. 函数 y ?

14.已知函数 f ( x) ?

2 ? ax (a ? 1) 在区间 ? 0,1? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 a ?1

15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,已知 (b + c) : (c + a) : ( a + b) = 4 : 5: 6 ,给 出下列结论 :①△ABC 的边长可以组成等差数列;② AC ? AB < 0;③ 则△ABC 的面积是
?? ? ?? ?

A B C ? ? ;④若 b + c = 8 , 7 5 3

15 3 . 其中正确的结论序号是 4 2 16. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x , 若对任意的 x ?[t , t ? 2], 不等式

f ( x) ? 4f ( x ? t ) 恒成立,则实数 t 的最大值是
17. 定义在 [0, 上的函数 f ( x) 满足:(1) f (0)=0, f (1) ? 1 ;(2) 对于 ? ? (0,1) , 当 x, y ? [0,1] , 1] 且 x ? y 时,有 f (

x? y 1 ) ? (1 ? ? ) f ( x) ? ? f ( y) ,则 f ( ) 的值为 2 15

2

杭州二中 2013 年高三上数学周末练习 2 答题卷
一、 选择题 题号 答案 二、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11. 15. 三、解答题

. .

12. 16.

. .

13. 17.

. .

14.

.

18.设 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b, c ? R) .若 x ≥ 2 时, f ( x) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为 1,求
b2 ? c2 的最大值和最小值.

19. 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R, a ? 0) , f (?2) ? f (0) ? 0 , f (x) 的 最 小 值 为
2

? 1. (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)设函数 h( x) ? [n ? f ( x)] 2 ? 1 ,若函数 h( x) 在其定
义域上不存在零点,求实数 n 的取值范围.

?

1

3

20. 定义在 D 上的函数 f ? x ? ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 , 使得 | f ( x) |? M 成立,
?x ?x 则称 f ? x ? 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ? x ? 的上界. 已知函数 f ( x) ? 4 ? p ? 2 ? 1 ,

1 ? q ? 2x . (Ⅰ) p ? 1 时, 求函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域, 并判断函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 当 g ( x) ? 1 ? q ? 2x
上是否为有界函数, 请说明理由; (Ⅱ)若 q ? (0,

2 ] , 函数 g ? x ? 在 ? 0,1? 上的上界是 H (q) , 求 2 (Ⅲ)若函数 f ? x ? 在 ?0,?? ? 上是以 3 为上界的有界函数, 求实数 p 的取值范围. H (q) 的取值范围;

4

21.设椭圆 C :

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点与抛物线 C : x 2 ? 4 3 y 的焦点重合,F1 , F2 分别 2 a b

1 是椭圆的左、右焦点,离心率 e = ,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点. (Ⅰ)求椭 2 圆 C 的方程; (Ⅱ))是否存在直线 l ,使得以线段 MN 为直径的圆过原点,若存在,求出直线 l 的方 程; 若不存在, 说明理由; (Ⅲ) AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦, 若 求证: AB | ? 4 | MN | . | MN / / AB ,
2

5

22.已知函数 f ( x) ? ?

3 2 x ? ln(2 ? 3x ) .(Ⅰ)求 f ( x) 在区间 [0,1] 上的极值; (Ⅱ)若对任意的 2

1 1 x ? [ , ] ,不等式 a ? ln x ? ln[ f ?( x) ? 3x] ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若关于 x 的 6 3
方程 f ( x) ? ?2 x ? b 在区间 [0,1] 上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取值范围.

6

杭州二中 2013 年高三上数学周末练习 2 答案
一、选择题 二、填空题 11. B C A D B D B A C A

a?b?c

12.

75

14. (??,0) ? (1, 2] 三、解答题

15. ①②④

(?1, 1) 2 16. ? 3
13.

17. f (

1 1 )? . 15 15

18. 由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值只能在闭端点取得, 故有 f (2) ≤ f (3) ? 1,从而 b ≥ ?5 且 c ? ?3b ? 8 . 若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ≥ 0 ,
4 ? ? ?b ≤ ? 5 , ? f ( ?2) ≥ 0, ?4 ? 2b ? c ≥ 0, ? ? ? 在区间 ? ?2, 2? 有 ? f (2) ≥ 0, 即 ?4 ? 2b ? c ≥ 0, 消去 c,解出 ?b ≤ ?4, ? ??4 ≤ b ≤ 4, ??4 ≤ b ≤ 4, b ? ?2 ≤ ≤ 2, ? ? ? 2 ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ≤ b ≤ ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c 2 )min ? 32,(b2 ? c 2 )max ? 74 . 19.⑴ 由题意设 f ( x) ? ax( x ? 2) , ∵ f (x) 的最小值为 ? 1, ∴ a ? 0 ,且 f (?1) ? ?1 , ∴ a ? 1 , (2)∵ 函数 h( x) ? [n ? f ( x)]
? 1 2

∴ f ( x) ? x ? 2 x
2

?1 在定义域内不存在零点,必须且只须有

n ? f ( x) ? 0 有解,且 n ? f ( x) ? 1 无解. ∴ n ? f min ( x) ,且 n 不属于 f ( x) ? 1 的值域,
又∵ f ( x) ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1 ,
2 2

∴ f (x) 的最小值为 ? 1, f ( x) ? 1 的值域为 ?0, ∴ n 的取值范围为 ?? 1, 0 ? .

? ?? , ∴ n ? ?1 ,且 n ? 0

20. (1)当 p=1 时, f ( x) ? 4

?x

? 2? x ? 1

因为 f (x) 在 ? ??,0 ? 上递减,所以 f ( x) ? f (0) ? 3 ,

即 f (x) 在 ? ??,1? 的值域为 ? 3, ?? ?

故不存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x) |? M 成立, 所以函数 f ? x ? 在

? ??,1? 上不是有界函数
( 2 ) g ( x) ?

2 ?1 , ∵ 1 ? q ? 2x

q>0

, x ? ?0,1?
7



g ? x ? 在 ? 0,1? 上 递 减 , ∴

g (1) ? g ( x) ? g (0)
∵ q ? (0,



1 ? 2q 1? q ? g ( x) ? 1 ? 2q 1? q

1? q 1 ? q 2 1? q 1? q 1? q 2 ? , ??) ∴ , g ( x) ? ∴ , ∴ H (q) ? , [ 即 ], 1? q 1 ? q 2 1? q 1? q 1? q 2

(3)由题意知, f ( x) ? 3 在 ?1, ?? ? 上恒成立.

1 1 ? 3 ? f ( x) ? 3 , ∴ ?4 ? 2 x ? ( ) x ? p ? 2 ? 2 x ? ( ) x 在 ?0,?? ? 上恒成立 2 2 1 1 ∴ [?4 ? 2 x ? ( ) x ]max ? p ? [2 ? 2 x ? ( ) x ]min 2 2 1 1 x 设 2 ? t , h(t ) ? ?4t ? , p(t ) ? 2t ? , 由 x? ?0,?? ? 得 t≥1, t t
设 1 ? t1 ? t2 ,h(t1 ) ? h(t2 ) ? 值为 h(1) ? ?5 ,

? t2 ? t1 ?? 4t1t2 ? 1?
t1t2

? 0 , 所以 h(t ) 在 ?1, ?? ? 上递减,h(t ) 在 ?1, ?? ? 上的最大

又 p (t1 ) ? p (t 2 ) ?

?t1 ? t 2 ??2t1t 2 ? 1?
t1 t 2

? 0, 所以 p (t ) 在 ?1, ?? ? 上递增, p (t )

在 ?1, ?? ? 上的最小值为 p(1) ? 1

所以实数 p 的取值范围为 ? ?5,1?

c 1 21.解: (1)椭圆的顶点为(0, 3),即 b ? 3 , e= = ,所以 a=2, a 2
∴椭圆的标准方程为 (2) 不存在

x2 y 2 ? =1 4 3 设 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) ,直线 l : x ? my ? 1 ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 由? 4 消去 x ,并整理得 (4 ? 3m ) y ? 6my ? 9 ? 0 3 ? x ? my ? 1 ? 若存在直线 l ,使得以线段 MN 为直径的圆过原点,则 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,代人韦达定理的结果,得

12m2 ? 5 ? 0 ,这不可能。所以不存在. (3)设 A( x3,y3 ),B( x4,y4 )
由(2)可得: MN ? 1 ? k | x1 ? x2 |?
2

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

= (1 ? k )[(
2

2 8k 2 2 4k 2 ? 12 12(k +1) ) ? 4( )] = 2 . 3+4k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? x2 y 2 ?1 12 ? ? 2 由? 4 消去 y,并整理得 x ? , 3 3 ? 4k 2 ? y ? kx ?
|AB|= 1+k |x3-x4|=4
2

3(1+k ) 2 , 3+4k

2

48(1+k ) 2 3+4k | AB | ∴ = =4 为定值. 2 | MN | 12(k +1) 2 3+4k
2

2

22.(1) f ?( x) ?

3 ?3( x ? 1)(3x ? 1) 1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 或 x ? ?1 (舍去) , ? 3x ? 2 ? 3x 3x ? 2 3
8

1 ?当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 3 1 当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. 3 1 1 ? f ( ) ? ln 3 ? 为函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上的极大值. 3 6 3 ? 0 ,(*) 2 ? 3x 1 1 3 6 1 3 ∵ x ? [ , ] ,∴ ln ? [0, ln ] ,只有当 x ? 时, ln ?0, 6 3 2 ? 3x 5 3 2 ? 3x 1 此时取 a ? ln ,则 a ? ln x ? ln[ f ?( x) ? 3x] ? 0 ,其他情况下不等式(*)都成立. 3 1 1 故 a 的取值范围是 (??, ln ) ? (ln , ??) . 3 3
(2)由 a ? ln x ? ln[ f ?( x) ? 3 x] ? 0 ,得 a ? ln x ? ln (3)原命题等价于 b ? f ( x) ? 2 x ? g ( x) 在区间 [0,1] 上恰有两个不同的实根

g ?( x) ?

3 7 ? 9 x2 7 ? 3x ? 2 ? 3x ? ? ( 7 ? 3 x) 2 ? 3x 3x ? 2 3x ? 2

?当 0 ? x ?

7 7 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增;当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 3 3

7 7 2 7 1 g (0) ? ln 2 ? g (1) ? ln 5 ? , g ( ) ? ln(2 ? 7) ? ? 3 6 3 2
结合图象可知, ln 5 ?

1 7 2 7 ? b ? ln(2 ? 7) ? ? 2 6 3

9


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