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2013年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验文科数学试题参考答案及评分标准


2013 年乌鲁木齐地区高三年级第二次诊断性测验

7.选 D【解析】根据题意, f ? x ? 在 x ? ? ?1,1? 上的最大(小)值在 x ? 1 ? x ? ?1? 处取得

文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题 号 选 项 1 B 2 D 3 A 4

B 5 A 6 B 7 D 8 D 9 D 10 C 11 D 12 C

1.选 B【解析】

2 ? i ? 2 ? i ??1 ? 2i ? 5i ? ? ?i. 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 5

1 1 ,由 a ? 0 ,且 a ? 1 ,得 g ? a ? ? a ? ? 2 . a a 1 1 2 8.选 D【解析】 f ? ? x ? ? ? cos x ,令 f ? ? x ? ? 0 ,则 cos x ? ? ,得 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? , 2 2 3 2 4? 由 xn 是 f ? x ? 的第 n 个正的极小值点知, xn ? 2n? ? ? ? n ? N* ? ,∴ x1 ? . 3 3
∴ g ? a ? ? f ?1? + f ? ?1? = a ? 9.选 D【解析】连接 AC ,与 BD 交于 O ,则平面 ACC1 A1 ? 平面 BC1 D = C1O . 又 M ? A1C ? 平面 ACC1 A1 ,M ? 平面 BC1 D ,∴ M ? C1O 故 C1 , M , O 三点共线.而 OC ∥

2.选 D【解析】由①得 y ?

?? ?? ? ? 2 sin ? x ? ? ,由②得 y ? 2 sin ? x ? ? ,由③得 4? 4? ? ?

1 ? ?? y ? sin 2 x ,由④得 y ? tan x ,只有②和④这两个函数在 ? 0, ? 上单调递增. 2 ? 2?
? x ? y ? 1, ? 3.选 A【解析】作出 ? ? x ? y ? 1, 确定的可行域,设 z = x + 3 y , ? y ? 0. ?
则 y=?

A1C1 ,∴ ?OMC ∽ ?C1MA1 ,∴ ?BC1 D 的重心.

OM OC 1 ? ? ,又∵ C1O 是 ?BC1 D 的中线,∴ M 为 MC1 A1C1 2

10.选 C【解析】由题意得, f ? x ? 2 ? ? f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,故 f ? x ? 4 ? ? ? f ? x ? 2 ? ? f ? x ? ∴ f ? x ? 是 以 4 为 周 期 的 周 期 函 数 . 又 ∵ f ? 0? ? 0 ∴ 方 程 3 f ? x ? ? 1 ? f ? 0? 可 化 为

x z + ,当 x ? ?1, y ? 0 时, zmin ? ?1 ;当 x ? 0, y ? 1 时, zmax ? 3 . 3 3
S ? 9
为等差数列; 又

S3 S ,9 S ?6 S,1 4.选 B 【解析】S n 为等差数列的前 n 项和, 则 S3 ,S6 ? 2

S6 ? 3, S3

∴ S6 ? 3S3 ,∴ S6 ? S3 ? 2S3 ,∴ S9 ? S6 ? 3S3 , S12 ? S9 ? 4S3 ,于是

S12 ? 10S3 , S9 ? 6S3 ,故

S12 5 ? . S9 3

5.选 A【解析】这个四面体的四个顶点可以看成是棱长为 1 的正方体的其中的四个顶点,问题转 化为求此正方体的外接球,其直径为正方体的对角线,长度为 3 ,所以此球的表面积为

1 1 f ? x ? ? ? .数形结合可知 f ? x ? ? ? 在 ? 0,1? , ?1, 2 ? 内各有一个实根,且这两根之和为 2 , 3 3 1 ∴由周期性可知 f ? x ? ? ? 在 ? 2 012, 2 013? , ? 2 013, 2 014 ? 内各有一个实根,且这两根之和 3 为 4026 . b 2 2 11.选 D【解析】∵ ax ? bx ? 2c ? 0 , a ? 0, c ? 0 ,∴ ? ? b ? 4ac > 0 , x1 ? x2 ? ? , a 2 2 2 b 4c c ? a 4c 2c 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ? 2 ? ? ? ? e2 ? 4e ? 1 x1 x2 ? ? ∴ x12 ? x2 2 a a a a a 2 2 2 ? ? e ? 2 ? ? 5 ≥ 0 ,而 e ? 1 ,∴ x1 ? x2 ? 4 ,故点 P ? x1 , x2 ? 可能在圆 x 2 ? y 2 ? 5 上.
12.选 C【解析】令 u = f ? x ? ,则方程 f ∵ x?
2

? x ? +bf ? x ? +c = 0 转化为 g ? u ? = u 2 +bu +c = 0

? 3? . S ? 4? ? ? 2 ? ? ? 3? ? ? 6.选 B【解析】 P 到抛物线的准线距离即为 P 到抛物线的焦点 F ?1, 0 ? 的距离,于是,问题转化
为求 PQ ? PF 最小,由三角形“两边之和大于第三边”可得,需要 F , P, Q 三点共线,也就 是求 FQ 的最小值, 连接圆心 ? 0, 4 ? 和 F ?1, 0 ? , 与圆的交点 Q 即为所求, 此时 FQ ? 17 ? 1.

2

1 ? 2 ,原方程有 5 个不同的根,所以方程 g ? u ? = u 2 +bu +c = 0 应有一个大于 2 的 x

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? b ? ? 2 ? 0, ? 正根与一个零根,所以 ? g ? 2 ? ? 0, 即 b ? ?2 且 c ? 0 . ?c ? 0. ? ?
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.填 10 .【解析】由题意得 lg a ? lg b ? 3 ? lg a ? lg b ? 1 ? lg ab ? 1 ? ab ? 10 .
3 3

即 sin B ? cos B ? ?

? 3 ?1 ? ,1 ? ?. ? 2 ?

?12 分

18.(Ⅰ)连接 A1 B 、 EF ,设此正方体的棱长为 2a , 则 A1 D ? A1 B ? 2 2a , F 为 DB 的中点,∴ A1 F ? DB . 在 Rt ?A1FD 中, A1 F ? A1 D ? DF ? 6a .
2 2 2 2

7 7 ? 1? ? 2? ? n ?1? .【解析】设 ? i, ai ? ,由此框图得 ?1, 0 ? ? ? 2, ? ? ? 3, ? ? ? ? ? n, ? ,a8 ? . n ? 8 8 ? 2? ? 3? ? 2 ? x? ? k2 ? k1 ? 2 ? y ? k1 x ? 1 ? k ?k ? , 2 1 ? ,它在椭圆 15. 填 ?2 . 【 解析 】由 ? 得? ,即交点为 ? ? y ? k2 x ? 1 ? y ? k 2 ? k1 ? k2 ? k1 k2 ? k1 ? ? k 2 ? k1 ?
14.填

在 Rt ?ECB 中, EB ? EC ? BC ? 5a ,
2 2 2 2

在 Rt ?EFB 中, EF ? EB ? FB ? 3a .
2 2 2 2

在 Rt ?AC 1E ? A 1C1 ? C1 E ? 9a ,故 A 1E ? A 1 F ? FE ,即 A 1 1 E 中, A 1 F ? EF .
2 2 2 2 2 2 2

? 2 ? ? k2 ? k1 ? 2 x ? y ? 1 上,于是有 2 ? ? ? ?? ? ? 1 ,化简后得 k1k2 ? ?2 . ? k2 ? k1 ? ? k2 ? k1 ? 16.填 5 .【解析】设 D, E 分别是 AB, AC 的中点,则 OD ? AB , OE ? AC , ???? ? 1 ??? ? ???? ???? ? ???? 1 ??? ? ???? ???? 1 ??? ? ???? 1 ???? ???? 又 AM ? AB ? AC ,∴ AM ? AO ? AB ? AC ? AO ? AB ? AO ? AC ? AO 2 2 2 2 ???? ???? ??? ? ???? ???? ???? ??? ? ???? 2 2 ? AD ? AO ? AE ? AO ? AD AO cos ?DAO ? AE AO cos ?EAO ? AD ? AE
2 2

2

2

又 DB, EF ? 平面 EDB , DB ? EF ? F ,故 A1 F ? 平面 EDB ; (Ⅱ)由 AB ? 2 知, A1 D ? 2 2 , A1 E ? 3 , DE ? 5 ,

?6 分

?

?

?

?

A1 D 2 ? A1 E 2 ? DE 2 2 ? ? ∴ cos ?DA1 E ? ,∴ ?DA1 E ? , 2 A1 D ? A1 E 2 4

? 2 ?1 ? 5.
2 2

S?A1DE ?

1 A1D ? A1E sin ?DA1E ? 3 . 2 1 EF ? DB ? 6 . 2

三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.(Ⅰ)由

在等腰 ?EDB 中, EF ? 3 , S?EDB ? 在 Rt ?A1 AF 中, A1 A ? 2, AF ?

a b?c sin A sin B ? sin C 及正弦定理得, ,即 ? ? cos A cos B ? cos C cos A cos B ? cos C

2 ,故 A1 F ? 6 ,由(Ⅰ)知 A1 F ? 平面 EDB

sin A cos B ? sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ,故 sin ? A ? B ? ? sin ? C ? A?
∵ A, B, C ? ? 0,

设点 B 到平面 A1 DE 的距离为 h ,∵ S?A1DE ? h ? 故点 B 到平面 A1 DE 的距离为 2 .

1 3

1 S?EDB ? A1F ,解得 h ? 2 . 3
?12 分

? ? ? ? ? ?? ? ,∴ ? ? A ? B ? , ? ? C ? A ? ,∴ A ? B ? C ? A 2 2 2 2 ? 2?
?
3
; ?6 分

19.由题意知空气质量为1 级的有 2 天, 2 级的有 3 天, 3 级的有 2 天. 记空气质量为1 级的天数为 A1 , A2 , 2 级的天数为 B1 , B2 , B3 , 3 级的天数为 C1 , C2 . 从 7 天中任选 2 天,共有 ? A1 , A2 ? , ? A1 , B1 ? , ? A1 , B2 ? , ? A1 , B3 ? , ? A1 , C1 ? , ? A1 , C2 ? ,

又 A ? B ? C ? ? ,∴ A ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 A ?

?
3

,故 B ? C ?

2? ? ,而 0 ? C ? , B 是 ?ABC 的最大内角,故 3 2

?
3

?B?

?
2

,∴ sin B ? cos B ?

?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 2 sin ? B ? ? ? ? 2 sin ? ? ? , 2 sin ? ? ? ? 4? ? ? ?3 4? ? 2 4 ??

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , C1 ? , ? A2 , C2 ? , ? B1 , B2 ? , ? B1 , B3 ? , ? B1 , C1 ? ,
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2013 年高三年级第二次诊断性测验文科数学试题参考答案及评分标准

? B1 , C2 ? , ? B2 , B3 ? , ? B2 , C1 ? , ? B2 , C2 ? , ? B3 , C1 ? , ? B3 , C2 ? , ?C1 , C2 ? 等 21 种情形.
(Ⅰ)记事件 A 为“从 7 天中任选 2 天,这 2 天空气质量等级一样” ,有 ? A1 , A2 ? , ? B1 , B2 ? ,

x2 1 x2 1 ? 21.(Ⅰ) 当 a ? 时, f ( x ) ? ln( x ? 1) ? x ? ,则 f ( x ) ? , ?1? x ? 2 x ?1 x ?1 2
当 x ≥ 0 时, f ?( x ) ≥ 0 ,∴函数 y ? f ( x ) 在 x ≥ 0 时为增函数. 故当 x ≥ 0 时, f ( x ) ≥ f (0) ? 0 ,∴对 ? x ≥ 0 时, f ( x ) ≥ 0 成立; ?4 分 (Ⅱ)设点 P( x0 , y0 ) ,曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线方程为 y ? ( x ? x0 ) f ?( x0 ) ? f ( x0 ) ,令

5 ? B1 , B3 ? , ? B2 , B3 ? , ?C1 , C2 ? 5 种情形,故 P ? A? ? ; 21

?6 分

(Ⅱ) 记事件 B 为“从 7 天中任选 2 天,这 2 天空气质量等级数之差的绝对值为 1 ” ,有

? A1 , B1 ? , ? A1 , B2 ? , ? A1 , B3 ? , ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? B1 , C1 ? , ? B1 , C2 ? , ? B2 , C1 ? ,

? B2 , C2 ? , ? B3 , C1 ? , ? B3 , C2 ? 12 种情形,故 P ? B ? ?
20.(Ⅰ) 由题意知椭圆

12 4 ? . 21 7

?12 分

g ( x ) ? f ( x ) ? ( x ? x0 ) f ?( x0 ) ? f ( x0 ) .
曲线 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线与曲线只有这一个公共点 P 等价于函数 g ( x ) 有唯一零点. 因为 g ( x0 ) ? 0 ,且 g ?( x ) ? f ?( x ) ? f ?( x0 ) ? ( x ? x0 ) ? 2a ?

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的焦点为 ? c, 0 ? , ? ?c, 0 ? , c ? 0 , a 2 b2

c 1 直线 l : x ? my ? 1 ? 0 过焦点 F ,可知 F 为左焦点且 c ? 1 ,又 ? ,解得 a 2
a 2 ? 4 , b2 ? 3 ,于是所求椭圆的方程为

? ?

? 1 . ( x ? 1)( x0 ? 1) ? ?

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

?4 分

当 a ≤ 0 时,若 x ≥ x0 ? ?1 ,有 g ?( x ) ≤ 0 ,∴ g ( x ) ≤ g ( x0 ) ? 0 ; 若 ?1 ? x ? x0 ,有 g ?( x ) ? 0 ,即 g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 . 所以曲线 y ? f ( x ) 上任意一点 P 处的切线与该曲线有且仅有这一个公共点 P .?12 分 22. (Ⅰ) ∵ AB ∥ DE , ∴

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,直线 MN 的方程为 x ? ?my ? 1 ,则 M1 (2, y1 ) , N1 (2, y2 ) 由

?6m ? ? x ? ?my ? 1, y1 ? y2 ? , ? ? ? 2 3m 2 ? 4 2 2 2 消去 x ,得 ? 3m ? 4 ? y ? 6my ? 9 ? 0 ,故 ? ?x y ? 1. ? ? ? y y ? ?9 . 3 1 2 ?4 ? 3m 2 ? 4 ?
因为 S1S3 ?

1 1 1 ? 2 ? x1 ? y1 ? ? 2 ? x2 ? y2 ? (3 ? my1 )(3 ? my2 ) y1 y2 , 2 2 4
81 1 2 ? . m ? y1 y2 ? ? 3m ? y1 ? y2 ? ? 9? y1 y2 ? 2 ? ? 4 (3m ? 4)2
2

?
2

1 ?1 9 ? 81( m 2 ? 1) 2 ?1 ? ? ? S ? ? 3 ? y ? y ? y ? y ? 4 y y ? . ? 1 2? 1 2 ? 1 2? ? 2? ? 64 ? 4(3m 2 ? 4) 2 ? 4 ? 16 ? 2 ?
由 S1 ,

O A O B , 又O 得O ? D ? O E r ? , A ? O B . O D O E 连结 OC ,∵ AC ? CB .∴ OC ? AB . 又点 C 在⊙ O 上,∴ AB 是⊙ O 的切线; ?5 分 (Ⅱ)延长 DO 交⊙ O 于 F ,连结 FC . 由(Ⅰ) AB 是⊙ O 的切线,∴弦切角 ?ACD ? ?F , 于是△ ACD ∽△ AFC . 1 CD 1 而 ?DCF ? 90? ,又∵ tan ?ACD ? tan ?F ? ,∴ ? . 2 FC 2 AD CD 1 ∴ ? ? ,而 AD ? 2 ,得 AC ? 4 . AC FC 2
又 AC ? AD ? AF ? 2 ? (2 ? 2r ) ? 4 ,于是 r ? 3 .
2 2

?10 分

81(m ? 1) 81 ?1 ? 1 ? S 2 , S 3 成等比数列,得 ? S 2 ? ? S1S3 ,即 2 2 2 4(3m ? 4) (3m ? 4) 2 4 ?4 ?
2

2

23.(Ⅰ)由 ? ? 4sin ? ,得 ? ? 4 ? sin ? ,即 x ? y ? 4 y = 0 ,
?

2

2

解得 m ? ? 3 .

?12 分

∴圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 4 y = 0 .

?5 分

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(Ⅱ)过点 P ?1,1? 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数),将其代入圆 C 的方程 ? y ? 1 ? t sin ?

x 2 ? y 2 ? 4 y = 0 ,得 t 2 ? 2 ? cos ? ? sin ? ? t ? ? = 0 .

∴ t1t2 ? 2 ,故 PA ? PB ? 2 .
24.(Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? 2 得,

?10 分

?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 ? ? ? ,或 ? ?1 ? x < 1 ,或 ? x ? 1 ,解之,得 ? x ? ?1 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?x ?1? x ?1 ? x ? 2 ? ? ?

0 ? x ? 2 ,∴ f ? x ? ? x ? 2 的解集为 ? x 0 ? x ? 2? ;
(Ⅱ)∵

?5 分

a ? 1 ? 2a ? 1 a

? 1?

1 1 1 1 ? 2 ? ≤ 1? ? 2 ? ? 3 a a a a

(当且仅当 ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ?? 2 ? ? ≤ 0 ,上式取等号) a ?? a?
a ? 1 ? 2a ? 1 a
对任意实数 a ? 0 恒成立,可得,

由不等式 f ? x ? ≥

3 3 x ? 1 ? x ? 1 ≥ 3 ,解此不等式,得 x ≤ ? ,或 x ≥ . 2 2
以上各题的其它解法,限于篇幅从略.请相应评分.

?10 分

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