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【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修二)第三章 章末检测(B)


第三章

章末检测(B)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如图直线 l1,l2,l3 的倾斜角分别为 α1,α2,α3,则有(

)

A.α1<α2<α3 B.α1<α3<α2 C.α3<α2<α1 D.α2<α1<α3 2.直线 x+2y-5=0 与 2x+4y+a=0 之间的距离为 5,则 a 等于( ) A.0 B.-20 C.0 或-20 D.0 或-10 3.若直线 l1:ax+3y+1=0 与 l2:2x+(a+1)y+1=0 互相平行,则 a 的值是( ) A.-3 B .2 C.-3 或 2 D.3 或-2 4.下列说法正确的是( ) A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 B.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 x y C.不经过原点的直线都可以用方程 + =1 表示 a b D.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x -x1)(y2-y1)表示 5.点 M(4,m)关于点 N(n,-3)的对称点为 P(6,-9),则( ) A.m=-3,n=10 B.m=3,n=10 C.m=-3,n=5 D.m=3,n=5 6.以 A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0 7. 过点 M(2,1)的直线与 x 轴, y 轴分别交于 P, Q 两点, 且|MP|=|MQ|, 则 l 的方程是( ) A.x-2y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x+y-5=0 D.x+2y-4=0 8.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是( ) A.(-2,1) B.(2,1) C.(1,-2) D.(1,2) 9.如果 AC<0 且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线方程是( ) A.3x-2y+2=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 11.已知点 P(a,b)和 Q(b-1,a+1)是关于直线 l 对称的两点,则直线 l 的方程是( ) A.x+y=0 B.x-y=0 C.x+y-1=0 D.x-y+1=0 12.设 x+2y=1,x≥0,y≥0,则 x2+y2 的最小值和最大值分别为( ) 1 1 1 A. ,1 B.0,1 C.0, D . ,2 5 5 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.不论 a 为何实数,直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0 恒过第________象限. 14.原点 O 在直线 l 上的射影为点 H(-2,1),则直线 l 的方程为______________. 15.经过点(-5,2)且横、纵截距相等的直线方程是____________________. 7 16 . 与 直 线 3x + 4y + 1 = 0 平 行 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 之 和 为 的 直 线 l 的 方 程 为 3 ______________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知直线 2x+(t-2)y+3-2t=0,分别根据下列条件,求 t 的值:(1)过点(1,1); (2)直线在 y 轴上的截距为-3.

18.(12 分)直线 l 过点(1,4),且在两坐标轴上的截距的积是 18,求此直线的方程.

19.(12 分)光线从 A(-3,4)点出发,到 x 轴上的点 B 后,被 x 轴反射到 y 轴上的 C 点,又 被 y 轴反射,这时反射光线恰好过 D(-1,6)点,求直线 BC 的方程.

20.(12 分) 如图所示,某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为 A(1,2),B(4,0),一 条河所在的直线方程为 l:x+2y-10=0,若在河边 l 上建一座供水站 P,使之到 A,B 两镇的 管道最省,那么供水站 P 应建在什么地方?

21.(12 分)已知△ABC 的顶点 A 为(3,-1),AB 边上的中线所在直线方程为 6x+10y-59 =0,∠B 的平分线所在直线方程为 x-4y+10=0,求 BC 边所在直线的方程.

22.(12 分)已知直线 l 过点 P(3,1),且被两平行直线 l1:x+y+1=0 和 l2:x+y+6=0 截 得的线段长度为 5,求直线 l 的方程.

第三章

直线与方程(B)

答案

1.B 2.C 3.A 4.D [斜率有可能不存在,截距也有可能不存在.] 4+6 m+?-9? 5.D [由对称关系 n= ,-3= ,可得 m=3,n=5.] 2 2 6. B [所求直线过线段 AB 的中点(-2,2), 且斜率 k=-3, 可得直线方程为 3x+y+4=0. ] 7.D [由题意可知 M 为线段 PQ 的中点,Q(0,2),P(4,0),可求得直线 l 的方程 x+2y-4 =0.] 8.A [将原直线化为点斜式方程为 y-1=m(x+2),可知不论 m 取何值直线必过定点(- 2,1).] A C 9.C [将原直线方程化为斜截式为 y=- x- ,由 AC<0 且 BC<0,可知 AB>0,直线斜 B B 率为负,截距为正,故不过第三象限.] 10. D [所求直线与已知直线平行, 且和点(1, -1)等距, 不难求得直线为 2x+3y+8=0. ] a+1-b 11.D [∵kPQ= =-1,∴kl=1. b-1-a 显然 x-y=0 错误,故选 D.] 12.A [

x2+y2 为线段 AB 上的点与原点的距离的平方,由数形结合知, 1 O 到线段 AB 的距离的平方为最小值,即 d2= ,|OB|2=1 为最大值.] 5 13.二 解析 直线方程可变形为:(3x-y+7)+a(x+2y)=0. ?3x-y+7=0 ?x=-2 ? ? 由? 得,? . ? ? ?x+2y=0 ?y=1 ∴直线过定点(-2,1).因此直线必定过第二象限. 14.2x-y+5=0 解析 所求直线应过点(-2,1)且斜率为 2,故可求直线为 2x-y+5=0. 2 15.y=- x 或 x+y+3=0 5 解析 不能忽略直线过原点的情况. 16.3x+4y-4=0 m m 7 解析 所求直线可设为 3x+4y+m=0,再由- - = ,可得 m=-4. 3 4 3 17.解 (1)代入点(1,1), 得 2+(t-2)+3-2t=0,则 t=3. 2t-3 9 (2)令 x=0,得 y= =-3,解得 t= . 5 t-2 x y 18.解 设直线 l 的方程为 + =1, a b 3 ab=18 ? ? ?a=3 ? ?a=2 ? 则?1 4 ,解得? 或? ? + =1 ?b=6 ? ? ?a b ?b=12 则直线 l 的方程 2x+y-6=0 或 8x+y-12=0.

19.解

如图所示,由题设,点 B 在原点 O 的左侧,根据物理学知识,直线 BC 一定过(-1,6)关 于 y 轴的对称点(1,6),直线 AB 一定过(1,6)关于 x 轴的对称点(1,-6)且 kAB=kCD, 4+6 5 ∴kAB=kCD= =- . 2 -3-1 5 ∴AB 方程为 y-4=- (x+3). 2 7 令 y=0,得 x=- , 5 7 ? ∴B? ?-5,0?. 5 CD 方程为 y-6=- (x+1). 2 7? 7 令 x=0,得 y= ,∴C? ?0,2?. 2 x y ∴BC 的方程为 + =1, 7 7 - 5 2 即 5x-2y+7=0. 20.解

如图所示,过 A 作直线 l 的对称点 A′,连接 A′B 交 l 于 P, 若 P′(异于 P)在直线上,则|AP′|+|BP′|=|A′P′|+|BP′|>|A′B|. 因此,供水站只有在 P 点处,才能取得最小值,设 A′(a,b), 则 AA′的中点在 l 上,且 AA′⊥l, a+1 b+2 +2× -10=0, ? 2 ? 2 即? b-2 ? 1? ? ?-2?=-1, ?a-1·
?a=3, ? 解得? ? ?b=6,

即 A′(3,6). 所以直线 A′B 的方程为 6x+y-24=0, 38 x= , ? 11 6 x + y - 24 = 0 , ? 解方程组? 得 36 ?x+2y-10=0, ? y= , 11 38 36? 所以 P 点的坐标为? ?11,11?. 38 36? 故供水站应建在点 P? ?11,11?处. 21.解 设 B(4y1-10,y1), 由 AB 中点在 6x+10y-59=0 上,

? ? ?

4y1-7 y1-1 可得:6· +10· -59=0, 2 2 y1=5, 所以 B(10,5). 设 A 点关于 x-4y+10=0 的对称点为 A′(x′,y′), x′+3 y′-1 ? ? 2 -4· 2 +10=0 则有? y′+1 1 =-1 ? 4 ?x′-3· ?A′(1,7), ∵点 A′(1,7),B(10,5)在直线 BC 上, y-5 x-10 ∴ = , 7-5 1-10 故 BC:2x+9y-65=0. 22.解 方法一 若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=3,此时与直线 l1,l2 的 交点分别为 A(3,-4),B(3,-9).截得的线段 AB 的长为|AB|=|-4+9|=5,符合题意. ?y=k?x-3?+1, ? 若直线 l 的斜率存在, 则设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1. 解方程组? 得 ?x+y+1=0 ? 3k-2 ? ?x= k+1 , ? 4k-1 ?y=- k+1 , ?

所以点 A 的坐标为?

?3k-2,-4k-1?. k+1 ? ? k+1 ?

? ?y=k?x-3?+1, 解方程组? 得 ?x+y+6=0 ?

3k-7 ? ?x= k+1 , ? 9k-1 ? ?y=- k+1 ,

?3k-7,-9k-1?. ? k+1 ? ? k+1 ?3k-2-3k-7?2+??-4k-1?-?-9k-1??2=25. 因为|AB|=5,所以? ? ?? ? ? ?? ? k+1 k+1 ? ?? k+1 ? ? k+1 ??
所以点 B 的坐标为? 解得 k=0,即所求直线为 y=1. 综上所述,所求直线方程为 x=3 或 y=1. 方法二 设直线 l 与直线 l1,l2 的交点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+y1+1=0,x2+y2+6=0. 两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5. ① 2 2 因为|AB|=5,所以(x1-x2) +(y1-y2) =25. ② ? ? x - x = 5 , x - x = 0 , ? 1 2 ? 1 2 由①②可得? 或? 所以直线的倾斜角为 0° 或 90° . ?y1-y2=0, ?y1-y2=5. ? ? 又 P(3,1)在 l 上,所以 x=3 或 y=1.


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