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上海(理科)历年高考数学试卷及答案(2011-2015)-答案


1

2011 年上海高考数学参考答案
一、空题 1.

1 1 3 2 5 ? 2 ;2. {x | 0 ? x ? 1} ;3. 16 ;4. x ? 0 或 x ? ;5. arccos ;6. 6 ;7. ?; 2 x 3 5 15 2? 3 ;9. 2 ;10. 6 ;11. ;12. 0.985 ;13. [?15,1

1] ;14. 3 。 2 4

8.

二、择题 15. D ;16. A ;17. B ;18. D 。 三、答题 19.解: ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ? z1 ? 2 ? i ??????(4 分) 设 z2 ? a ? 2i, a ? R ,则 z1 z2 ? (2 ? i)(a ? 2i) ? (2a ? 2) ? (4 ? a)i ,??????(12 分) ∵ z1 z2 ? R ,∴ z2 ? 4 ? 2i ??????(12 分)
x x x x

20.解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 1 ? 2 2 ) ? b(3 1 ? 3 2 ) ∵ 2 1 ? 2 2 , a ? 0 ? a(2 1 ? 2 2 ) ? 0 , 3 1 ? 3 2 , b ? 0 ? b(3 1 ? 3 2 ) ? 0 ,
x x x x x x x x

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时,同理,函数 f ( x ) 在 R 上是减函数。 ⑵

f (x ? 1 ) ?f x ( ? )a?

x

? 2 b ?2 x ?3

0

3 x a a ,则 x ? log1.5 ( ? ) ; 2 2b 2b 3 x a a 当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ? ,则 x ? log1.5 ( ? ) 。 2 2b 2b
当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ? 21.解:设正四棱柱的高为 h 。 ⑴ 连 AO1 , AA1 ? 底面 A1B1C1D1 于 A 1, ∴ AB1 与底面 A1B1C1D1 所成的角为 ?AB1 A 1 ,即 ?AB 1A 1 ?? ∵ AB1 ? AD1 , O1 为 B1D1 中点,∴ AO1 ? B1D1 ,又 AO 1 1 ?B 1D 1, ∴ ?AO1 A1 是二面角 A ? B1D1 ? A 1 的平面角,即 ?AO 1A 1 ?? ∴
B1 B

A C

D

A1 O1 C1

D1

tan ? ?

AA1 AA1 ? h , tan ? ? ? 2h ? 2 tan ? 。 A1B1 A1O1

2

(⑵ 建立如图空间直角坐标系,有 A(0,0, h), B1 (1,0,0), D1 (0,1,0), C(1,1, h)

???? ? ????? ??? ? AB 1 ? (1,0, ?h), AD 1 ? (0,1, ?h), AC ? (1,1,0)
设平面 AB1D1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

z A B C D

?

? ???? ? ???? ? ? ? ? n ? AB1 ? n ? AB1 ? 0 ∵ ? ? ???? ,取 z ? 1 得 n ? (h, h,1) ? ? ? ? ???? ? ?n ? AD1 ?n ? AD1 ? 0 ? ? B1 ? ??? ? | n ? AC | h?h?0 4 ? ∴ 点 C 到平面 AB1D1 的距离为 d ? ? ? ,则 h ? 2 。 x 2 2 |n| h ? h ?1 3
22.⑴

A1 O1 C1

D1

y

c1 ? 9 , c2 ? 1 1, c3 ? 1 2 c4 ,? ; 13

* ⑵ ① 任意 n ? N ,设 a2n?1 ? 3(2n ?1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7 ,则 k ? 3n ? 2 ,即

a2n?1 ? b3n?2
② 假设 a2n ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7 ? k ? 3n ?

1 ? N * (矛盾) ,∴ 2

a2n ?{bn }

∴ 在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2n ,? 。 ⑶ b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2k ?1 ,

b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7


6k ? 3 ? 6 k ? 5? 6 k ? 6? k 6 ?7
y 1 A -1 B 1

∴ 当 k ? 1 时,依次有 b1 ? a1 ? c1 , b2 ? c2 , a2 ? c3 , b3 ? c4 ,??

? 6k ? 3 (n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 (n ? 4k ? 2) ? ∴ cn ? ? ,k ? N*。 ? 6k ? 6 (n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4k )
23.解:⑴ 设 Q( x, x ? 3) 是线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上一点,则

O -1

x

5 9 | PQ |? ( x ? 1)2 ? ( x ? 4)2 ? 2( x ? )2 ? (3 ? x ? 5) ,当 x ? 3 时, d (P, l ) ?| PQ |min ? 5 。 2 2
⑵ 设线段 l 的端点分别为 A, B ,以直线 AB 为 x 轴, AB 的中点为原点建立直角坐标系, 则 A(?1,0), B(1,0) ,点集 D 由如下曲线围成

l1 : y ? 1(| x |? 1), l2 : y ? ?1(| x |? 1) , C1 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? ?1), C2 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? 1)
其面积为 S ? 4 ? ? 。

3

⑶ ① 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ? 1,0) , ? ? {( x, y) | x ? 0} ② 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ? 1, ? 2) 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ?{( x, y) | y 2 ? 4 x, ?2 ? y ? 0} ?{( x, y) | x ? y ?1 ? 0, x ? 1}
③ 选择 A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0) 。

? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y) | y ? x,0 ? x ? 1}

?{( x, y) | x2 ? 2 y ?1,1 ? x ? 2} ?{( x, y) | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2}

y C 3 A

y C 3 A
y 2.5

B

D -1 O

B 1 x

-1

O

1

x

A D B=C 1 2

D

-2

x

2012 年上海高考数学(理科)试卷解答
一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分) 3?i 1.计算: = 1-2i (i 为虚数单位). 1? i 3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 3 ? 1 ? 4i [解析] ? ? ? 1 ? 2i . 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2.若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x | x ? 1 ? 2} ,则 A ? B = (? 1 , 3) . 2 [解析] A ? (? 1 , ? ?) , B ? (?1, 3) ,A∩B= (? 1 , 3) . 2 2

2 cos x 的值域是 [? 5 ,?3 ] . 2 2 sin x ? 1 [解析] f ( x) ? ?2 ? sin x cos x ? ?2 ? 1 sin 2x ? [? 5 ,?3 ]. 2 2 2
3.函数 f ( x) ? 4.若 n ? (?2, 1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 函数值表示). [解析] 方向向量 d ? (1, 2) ,所以 kl ? 2 ,倾斜角?=arctan2. arctan2 (结果用反三角

2 6 ) 的二项展开式中,常数项等于 -160 . x r 6?r r ?r r r 6 ? 2r [解析] 展开式通项 Tr ?1 ? (?1)r C6 ,令 6-2r=0,得 r=3, x 2 x ? (?1)r C6 2 x
5.在 ( x ?

4
3 故常数项为 ? C6 ? 23 ? ?160.

6.有一列正方体,棱长组成以 1 为首项,
n ??

1 2

为公比的等比数列,体积分别记为
8 7

V1,V2,?,Vn,?,则 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ?
1 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? 1V ?8 . 7 ?1 8

.

[解析] 易知 V1,V2,?,Vn,?是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,所以
n ??

7.已知函数 f ( x) ? e (a 为常数).若 f ( x) 在区间[1,+?)上是增函数,则 a 的取值范 围是 (-?, 1] . [解析]令 g ( x) ?| x ? a | ,则 f ( x) ? e g ( x ) ,由于底数 e ? 1 ,故 f ( x) ↑? g ( x) ↑, 由 g ( x) 的图像知 f ( x) 在区间[1,+?)上是增函数时,a≤1. 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2?的半圆面,则该圆锥的体积为 [解析] 如图, 1 ?l 2 ? 2? ?l=2,又 2?r2=?l=2??r=1, 2 所以 h= 3 ,故体积 V ? 1 ?r 2h ? 3
3 3

| x ?a|

P

3 3

? .
P l

l r

?.

h O 2?r

9.已知 y ? f ( x) ? x 2 是奇函数,且 f (1) ? 1 .若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ?
2 2 2

-1

.

[解析] y ? f ( x) ? x 是奇函数,则 f (?1) ? (?1) ? ?[ f (1) ? 1 ] ? ?4 ,所以 f (?1) ? ?3 , 1. l 10.如图,在极坐标系中,过点 M (2, 0) 的直线 l 与极轴的夹角 .若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的形式,则 ??? 6 O f (? ) ? sin( ?1 ?? ) .
6

?
M x

[解析] M (2, 0) 的直角坐标也是(2,0),斜率 k ?

1 3

,所以其直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 , .(或 f (? ) ?
3 2 1 cos( ? ? ? ) 3

? s i n6(? ? ) ? 1 , ? ?
?

化为极坐标方程为: ? cos? ? ? 3 sin ? ? 2 , ? ( 1 cos? ? 2
sin( ? ?? ) 6 1

sin? ) ? 1,
)

,即 f (? ) ?

sin( ? ?? ) 6

1

11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 2 (结果用最简分数表示). 3
2 2 2 [解析] 设概率 p= k ,则 n ? C3 ? C3 ? C3 ? 27 ,求 k,分三步:①选二人,让他们选择的 n

2 1 项目相同,有 C3 种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有 C3 种;③确定另一
1 2 1 1 人所选的项目,有 C2 种. 所以 k ? C3 . ?2 ? C3 ? C2 ? 18,故 p= 18 27 3

12.在平行四边形 ABCD 中,∠A= 3 , 边 AB、AD 的长分别为 2、1. 若 M、N 分别 是边 BC、CD 上的点,且满足

?

| BM | | CN | ,则 AM ? AN 的取值范围是 [2, 5] ? | BC | | CD | y
3 2

.
C M x

[解析] 如图建系,则 A(0,0),B(2,0),D( 1 , 2 设

),C( 5 , 2

3 2

).

D

N

| BM | | CN | ? ? t ?[0,1],则 | BM |? t , | CN |? 2t , | BC | | CD |
3t 2

A

B

t 所以 M(2+ 2 ,

),N( 5 -2t, 2

3 2 3t 2

), ?
3 2

t 故 AM ? AN =(2+ 2 )( 5 -2t)+ 2

= ? t ? 2t ? 5 ? ?(t ? 1) ? 6 ? f (t ) ,
2 2

因为 t?[0,1],所以 f (t)递减,( AM ? AN )max= f (0)=5,( AM ? AN )min= f (1)=2. [评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在 B(N 在 C)和 M 在 C(N 在 D),而本案恰是在这两 点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了! 13.已知函数 y ? f ( x) 的图像是折线段 ABC,若中 A(0,0),B( 1 ,5),C(1,0). 2 函数 y ? xf ( x) (0 ? x ? 1) 的图像与 x 轴围成的图形的面积为 5 . 4
y 5 B 5 P M y

5

[解析]如图 1, f ( x) ? ?

0? x? 1 ?10x, 2 , 1 10 ? 10 x , ? x ? 1 2 ?
? 10x 2 , 0 ? x ?
1 2 2 1 ?? 10x ? 10x, 2 ? x ? 1

所以 y ? xf ( x) ? ?



易知,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如 图 2,封闭图形 MND 与 OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形 ODMP 的面积 S= 1 ?5 ? 2 2
5 4

.

[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极 D 大部分考生,等积变换是唯一的出路。 14.如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC=2. 若 AD=2c,且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a、c 为 E C 2 2 c a ? c ? 1 常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 2 . 3 B A [解析] 作 BE⊥AD 于 E,连接 CE,则 AD⊥平面 BEC,所以 CE⊥AD, D 由题设,B 与 C 都是在以 AD 为焦距的椭球上,且 BE、CE 都 垂直于焦距 AD,所以 BE=CE. 取 BC 中点 F,
E

连接 EF,则 EF⊥BC,EF=2, S ?BEC ? BC ? EF ? BE ? 1 ,
1 2 2

B

A

C

AD ? S ?BEC ? 四面体 ABCD 的体积 V ? 1 3

2c 3

BE 2 ? 1 ,显然,当 E 在 AD 中点,即
2c 3

B 是短轴端点时,BE 有最大值为 b= a 2 ? c 2 ,所以 Vmax ?

a2 ? c2 ? 1 .

[评注] 本题把椭圆拓展到空间,对缺少联想思维的考生打击甚大!当然,作为填空押轴题,区分度还是 要的,不过,就抢分而言,胆大、灵活的考生也容易找到突破点:AB=BD(同时 AC=CD),从而致 命一击,逃出生天! 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 15.若 1 ? 2 i 是关于 x 的实系数方程 x ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则 (A) b ? 2, c ? 3 . (B) b ? ?2, c ? 3 . (C) b ? ?2, c ? ?1 .(D) b ? 2, c ? ?1 .
2

(

B )

[解析] 实系数方程虚根成对,所以 1 ? 2 i 也是一根,所以-b=2,c=1+2=3,选 B. 16.在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是 (A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形.
2 2 2

( (D)不能确定.
a 2 ?b 2 ?c 2 2 ab

C )

[解析] 由条件结合正弦定理,得 a ? b ? c ,再由余弦定理,得 cosC ?
2 2 2

? 0,

所以 C 是钝角,选 C. 17.设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 104 , x5 ? 105 . 随机变量 ? 1 取值 x1 、 x2 、 x3 、 x4 、 x5 的 概率均为 0.2,随机变量 ?2 取值 (A) D?1 > D?2 . 若记 D?1 、 D?2 分别为 ? 1 、 ?2 的方差,则 (B) D?1 = D?2 .
x1 ? x 2 2



x 2 ? x3 2



x3 ? x 4 2



x 4 ? x5 2



x5 ? x1 2

的概率也为 0.2. ( A )

(D) D?1 与 D?2 的大小关系与 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的取值有关. [解析] E?1 ? 0.2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) =t, E?2 ? 0.2(
2 2

(C) D?1 < D?2 .

D?1 ? 0.2[(x1 ? t ) + ( x2 ? t ) + ( x3 ? t ) + ( x4 ? t ) + ( x5 ? t ) ]
2
2

x ?x x1 ? x2 + 22 3 2 2

+

x3 ? x 4 2

+

x 4 ? x5 2

+

x5 ? x1 2

)=t,

2 2 2 2 ? 0.2[(x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? 2( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 )t ? 5t 2 ] ;

x3 ? x1 ? , x2 ? ? ,?, x5 2 ? ,同理得 ? x1 ? x2 ? x5 2 ?2 ? x2 ?2 ? x3 ?2 ? x4 ?2 ? x5 ?2 ) ? 2( x1 ? ? x2 ? ? x3 ? ? x4 ? ? x5 ? )t ? 5t 2 ] , D?2 ? 0.2[(x1



x1 ? x 2 2

6
2 2 2 2 ?2 ? x2 ?2 ? x3 ?2 ? x4 ?2 ? x5 ?2 与 x12 ? x2 只要比较 x1 有大小, ? x3 ? x4 ? x5

?2 ? x2 ?2 ? x3 ?2 ? x4 ?2 ? x5 ?2 ? 1 x1 [(x1 ? x2 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ? ? ( x1 ? x2 )2 ] 4
2 2 2 2 ?1 [2( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? (2x1x2 ? 2x2 x3 ? 2x3 x4 ? 2x4 x5 ? 2x5 x1)] 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?1 [2( x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ) ? ( x12 ? x2 ) ? ( x2 ? x3 ) ? ( x3 ? x4 ) ? ( x4 ? x5 ) ? ( x5 ? x12 )] 4 2 2 2 2 ,所以 D? 2 ? D?1 ,选 A. ? x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5

[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项 D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算, 考生会发现 E?1 和 E?2 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值, 故比第一组更“集中” 、更“稳定” ,根据方差的涵义,立得 D?1 > D?2 而迅即攻下此题。 D )
? 18.设 an ? 1 , Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an . 在 S1, S2 ,?, S100 中,正数的个数是 ( sin n n 25 (A)25. (B)50. (C)75. (D)100. y [解析] 对于 1≤k≤25,ak≥0(唯 a25=0),所以 Sk(1≤k≤25)都为正数. 13? 12? ? ? 当 26≤k≤49 时,令 25 ? ? ,则 k ? k? ,画出 k?终边如右, 25

其终边两两关于 x 轴对称,即有 sin k? ? ? sin(50 ? k? ) ,
1 1 所以 Sk ? 1 sin ? + 1 sin 2? +?+ 23 sin 23? + 24 sin 24? +0 1 2 1 1 + 26 sin 26? + 27 sin 27? ?+ 1 k sin k?

23? 24?

?

?

2?

?

26? 27? ?
1 27

?

49? 48?

x

37? 38?
1 24 1 26 1 23

= sin ? + sin 2? +?+ (
1 1 1 50 ? k 1 2 1 k

? ) sin 24? + ( ? ) sin 23? +? +( ? ) sin(50 ? k )? ,其中 k=26,27,?,49,此时 0 ? 50 ? k ? k , 所以 501 ?1 ? 0 ,又 0 ? (50 ? k )? ? 24? ? ? ,所以 sin(50 ? k )? ? 0 , ?k k

从而当 k=26,27,?,49 时,Sk 都是正数,S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 对于 k 从 51 到 100 的情况同上可知 Sk 都是正数. 综上,可选 D. [评注] 本题中数列难于求和,可通过数列中项的正、负匹配来分析 Sk 的符号,为此,需借助分类讨论、 数形结合、先局部再整体等数学思想。而重中之重,是看清楚角序列的终边的对称性,此为攻 题之关键。 P 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) 19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2, E D AD=2 2 ,PA=2.求: A (1)三角形 PCD 的面积;(6 分) B (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.(6 分) C [解](1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD, 从而 CD⊥PD. ……3 分 因为 PD= 2 ? (2 2 ) ? 2 3 ,CD=2,
2 2

所以三角形 PCD 的面积为 1 ? 2? 2 3 ? 2 3 . 2 (2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系, 则 B(2, 0, 0),C(2, 2 2 ,0),E(1, 2 , 1),

z ……6 分 P E A B x ……12 分 C D y

AE ? (1, 2, 1) , BC ? (0, 2 2, 0) .
设 AE 与 BC 的夹角为?,则
AE ? BC cos? ? | AE ? || BC | 4 2? 2 2

……8 分

?

2 2

,?= ? . 4

由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4 [解法二]取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 ……8 分 在 ?AEF 中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2 知 ?AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF= ? . 4 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4

……12 分

7

20.已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . (1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围;(6 分) (2)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求函数

y ? g ( x) ( x ? [1, 2]) 的反函数.(8 分) ?2 ? 2 x ? 0 [解](1)由 ? ,得 ? 1 ? x ? 1 . ? x ?1 ? 0 ?2 x 由 0 ? lg(2 ? 2x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x ? 1 得 1 ? 2x??21x ? 10 . ?1 因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 10 x ? 10 , ? 2 . ?x?1 3 3
由?

……3 分

? ?1 ? x ? 1 得? 2 . ?x?1 3 3 2 1 ? ? x ? 3 3 ?

……6 分

(2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此

y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x) . 由单调性可得 y ? [0, lg 2] .
y

……10 分

因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10x , x ?[0, lg 2] . ……14 分 21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴 正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度), 则救援船恰在失 南方向 12 海里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛 y P 12 2 y ? 49 x ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出 后,失事船所在位置的横坐标为. (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6 分) (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8 分) [解](1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t ? 中 yP=3. 由|AP|= ,
949 2
7 2

事船的正 物 线 发 t 小时

O
12 49

x

,代入抛物线方程 y ? 纵 坐 ……2 分

x2


A



P



,得救援船速度的大小为 949 海里/时.
7 2

……4 分

由 tan∠OAP= 3 ?12 ?

7 30

7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向

7 为北偏东 arctan 30 弧度.

……6 分
2

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t ) . 由 vt ? 因为 t 2 ?
2

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? 12 ) ? 337 .……10 分 t
1 t2

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,
2

所以 v ? 144? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x ? y ? 1 .
2 2

……14 分

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积;(4 分) (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,求证: OP⊥OQ;(6 分)
2 2

(3)设椭圆 C2 : 4 x ? y ? 1. 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON, 求证:O 到直线 MN 的距离是定值.(6 分)
2 2

[解](1)双曲线 C1 :

x2
1 2

? y 2 ? 1,左顶点 A(?

2 2

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x . 2 (x ?
2 2

过点 A 与渐近线 y ? 2 x 平行的直线方程为 y ?

) ,即 y ? 2 x ? 1.

8

解方程组 ?

?y ? ? 2 x ?y ? 2 x ?1

,得 ?

? ?x ? ? 1 ? ?y ? 2

2 4

.
2 8

……2 分 . ……4 分 ……6 分

所以所求三角形的面积 1 为 S ? 1 | OA || y |? 2 故
| b| 2

(2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b .因直线与已知圆相切,

? 1 ,即 b2 ? 2 .

由?

? y ? x?b 2 2 ,得 x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

? x1 ? x2 ? 2b . 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1

又 y1 y2 ? ( x1 ? b)(x2 ? b) ,所以

OP ? OQ ? x1x2 ? y1 y2 ? 2x1x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b2 ? 2(?b2 ? 1) ? b ? 2b ? b2 ? b2 ? 2 ? 0 ,
故 OP⊥OQ. (3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|=
2 2

……10 分
3 3

,则 O 到直线 MN 的距离为
2 2

.

当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |? 由?
2 ? ? y ? kx ?x ? ,得 ? 2 2 2 ? ?4 x ? y ? 1 ?y ?
1? k 2 2 k 2 ?1

),则直线 OM 的方程为 y ? ? 1 x. k
1? k 2 4? k 2

1 4? k 2 k2 4? k 2

2 ,所以 | ON | ?

. ……13 分

2 同理 | OM | ?

.
3k 2 ? 3 k 2 ?1

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 (| OM |2 ? | ON |2 )d 2 ?| OM |2 | ON |2 , 所以 d12 ?
1 |OM | 2 1 ? |ON ? |2

? 3 ,即 d=

3 3

.

综上,O 到直线 MN 的距离是定值. ……16 分 23.对于数集 X ? {?1, x1, x2 , ?, xn } ,其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集

Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ?Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P. (1)若 x>2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值;(4 分)
(2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1;(6 分) (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数),求有穷数列 x1, x2 , ?, xn 的通 项公式.(8 分) [解](1)选取 a1 ? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) . 所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ? Y .设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X. ……7 分 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 a1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 x1 ? txn ? t ? x1 ,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. 所以 x1=1. (3)[解法一]猜测 xi ? q
i ?1

……2 分 ……4 分

……10 分 ,i=1, 2, ?, n. ……12 分

9

记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, ?, n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 ? (s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与

s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P.
现用数学归纳法证明: xi ? q 当 n=2 时,结论显然成立;
i ?1

……15 分

,i=1, 2, ?, n.

假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, k; 当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} . 取 a1 ? ( xk ?1, q) ,并设 a2 ? (s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t 中有且只有一个为- 1. 若 t ? ?1 ,则 s ? 1 ,所以 xk ?1 ? 所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? q
k ?1

q s

? q ,这不可能;
……18 分
s1 t1 t2 ??s 2

? qk ,又 xk ?1 ? qk ?1 ,所以 xk ?1 ? q k .
.

综上所述, xi ? qi ?1 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, ?, n. [解法二]设 a1 ? (s1, t1 ) , a2 ? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于

记 B ? {s | s ? X , t ? X ,| s |?| t |} , 则 数 集 X 具 有 性 质 P 当 且 仅 当 数 集 B 关 于 原 点 对 t 称. ……14 分 注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn }共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn x n ?1
x n ?1 x n?2 x2 x1
xn xn?1

?

xn xn ?2

???

xn x2

?

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

?
?

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

xn x2
x n ?1 x1

?

xn x1

??

注意到

xn x1

?

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 xn?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为 ……18 分

2 k ?1 xk ? x1 ( x ) ? q k ?1 ,k=1, 2, ?, n. x1

2013 年上海高考数学(理科)试卷解答
一、填空题 1. 【解答】根据极限运算法则, lim 2. 【解答】 ?
n ??

n ? 20 1 ? . 3n ? 13 3

?m2 ? m ? 2 ? 0
2 ? m ?1 ? 0

? m ? ?2 .

10

3. 【解答】 x2 ? y 2 ? ?2xy ? x ? y ? 0 . 4.【解答】 3a ? 2ab ? 3b ? 3c ? 0 ? c ? a ? b ?
2 2 2 2 2 2

2 1 1 ab ,故 cos C ? ? , C ? ? ? arccos . 3 3 3

5.【解答】 Tr ?1 ? C5 ( x )
r

2 5? r

a 1 ( ) r , 2(5 ? r ) ? r ? 7 ? r ? 1 ,故 C5 a ? ?10 ? a ? ?2 . x

6.【解答】原方程整理后变为 32 x ? 2 ? 3x ? 8 ? 0 ? 3x ? 4 ? x ? log3 4 . 7. 【解答】联立方程组得 ? ( ? ? 1) ? 1 ? ? ?

1? 5 1? 5 ,又 ? ? 0 ,故所求为 . 2 2

8.【解答】9 个数 5 个奇数,4 个偶数,根据题意所求概率为 1 ?

C52 13 ? . C92 18

9.【解答】不妨设椭圆 ? 的标准方程为

x2 y 2 4 4 6 ? 2 ? 1 ,于是可算得 C (1,1) ,得 b 2 ? , 2c ? . 4 b 3 3

10.【解答】 E? ? x10 , D? ? 11.【解答】 cos( x ? y ) ?

d2 2 2 (9 ? 8 ? ? ? 12 ? 02 ? 12 ? ? ? 92 ) ? 30 | d | . 19

1 2 2 , sin 2 x ? sin 2 y ? 2sin( x ? y ) cos( x ? y ) ? ,故 sin( x ? y ) ? . 2 3 3

12.【解答】 f (0) ? 0 ,故 0 ? a ? 1 ? a ? ?1 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 即 6 | a |? a ? 8 ,又 a ? ?1 ,故 a ? ?

a2 ? 7 ? a ?1 x

13. 【解答】根据提示,一个半径为 1,高为 2? 的圆柱平放,一个高为 2,底面面积 8? 的长方体,这 两个几何体与 ? 放在一起,根据祖暅原理,每个平行水平面的截面面积都相等,故它们的体积相等,即

8 . 7

? 的体积值为 ? ?12 ? 2? ? 2 ? 8? ? 2? 2 ? 16? .

14.【解答】根据反函数定义,当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? (2, 4] ; x ? [1, 2) 时, f ( x) ? [0,1) ,而 y ? f ( x) 的定义域为 [0,3] , 故当 x ? [2,3] 时, f ( x ) 的取值应在集合 (??,0) ? [1, 2] ? (4, ??) , 故若 f ( x0 ) ? x0 , 只有 x0 ? 2 .

二、选择题 15.【解答】集合 A 讨论后利用数轴可知, ?

? a ?1 ? a ?1 或? ,解答选项为 B. ? a ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? a
D A D1 B C1 B1 C

16.【解答】根据等价命题,便宜?没好货,等价于,好货?不便宜,故 选 B. 17.【解答】 ai , j ? ai ? a j ? ai ? a j ? 2
i? j

?1 ,而 i ? j ? 2, 3,? ,19,故

A1

11

不同数值个数为 18 个,选 A. 18.【解答】作图知,只有 AF ? DE ? AB ? DC ? 0 ,其余均有 ai ? dr ? 0 ,故选 D. 三、解答题 19.

??? ? ??? ?

??? ? ????

?? ?? ?

【解答】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体,故 AB // C1D1 , AB ? C1D1 , 故 ABC1D1 为平行四边形,故 BC1 // AD1 ,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1 平行于平面 DA1C; 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h

1 1 1 ? ( ?1? 2) ?1 ? 3 2 3 3 而 ?AD1C 中, AC ? DC ? 5, AD1 ? 2 ,故 S ?AD1C ? 1 2 2 1 3 1 2 所以, V ? ? ? h ? ? h ? ,即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 . 3 3 2 3 3
考虑三棱锥 ABCD1 的体积,以 ABC 为底面,可得 V ? 20. 【解答】(1)根据题意, 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? 又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 (2)设利润为 y 元,则 y ?

3 x

3 ?0 x

900 3 1 1 61 ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] x x x 6 12

故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元.

21. 【解答】(1)因为 ? ? 0 ,根据题意有

? ? ? ? ??? ? 3 ? 4 2 ?0?? ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? 2 ? 3
(2) f ( x) ? 2sin(2 x) , g ( x) ? 2sin(2( x ?

)) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 3 ? 1 ? 7 g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z , 3 2 3 12 ? 2? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , 3 3 2? ? 43? ? 15 ? ? 故若 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,则 b ? a 的最小值为 14 ? . 3 3 3

?

?

22. 【解答】 : (1)C1 的左焦点为 F (? 3,0) ,过 F 的直线 x ? ? 3 与 C1 交于 (? 3, ? ,且直线可以为 x ? ? 3 ; (? 3, ?( 3 ?1)) ,故 C1 的左焦点为“C1-C2 型点”

2 ) ,与 C2 交于 2

12

(2)直线 y ? kx 与 C2 有交点,则

? y ? kx ? (| k | ?1) | x |? 1 ,若方程组有解,则必须 | k |? 1 ; ? ?| y |?| x | ?1
直线 y ? kx 与 C2 有交点,则

? y ? kx 1 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ,若方程组有解,则必须 k 2 ? ? 2 2 2 ?x ? 2 y ? 2
故直线 y ? kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点,即原点不是“C1-C2 型点” 。 (3)显然过圆 x ? y ?
2 2

1 内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点,则斜率必存在; 2

根据对称性,不妨设直线 l 斜率存在且与曲线 C2 交于点 (t , t ? 1)(t ? 0) ,则

l : y ? (t ? 1) ? k ( x ? t ) ? kx ? y ? (1 ? t ? kt ) ? 0
直线 l 与圆 x ? y ?
2 2 2

1 |1 ? t ? kt | 2 内部有交点,故 ? 2 2 2 k ?1 1 2 (k ? 1) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。① 2

化简得, (1 ? t ? tk ) ?

若直线 l 与曲线 C1 有交点,则

? y ? kx ? kt ? t ? 1 1 ? ? (k 2 ? ) x 2 ? 2k (1 ? t ? kt ) x ? (1 ? t ? kt )2 ? 1 ? 0 ? x2 2 2 ? y ?1 ? ? 2
1 ? ? 4k 2 (1 ? t ? kt ) 2 ? 4(k 2 ? )[(1 ? t ? kt ) 2 ? 1] ? 0 ? (1 ? t ? kt ) 2 ? 2(k 2 ? 1) 2
化简得, (1 ? t ? kt )2 ? 2(k 2 ?1) 。 。 。 。 。②

1 2 (k ? 1) ? k 2 ? 1 2 1 2 2 但此时,因为 t ? 0,[1 ? t (1 ? k )] ? 1, (k ? 1) ? 1 ,即①式不成立; 2 1 2 当 k ? 时,①式也不成立 2 1 2 2 综上,直线 l 若与圆 x ? y ? 内有交点,则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点, 2 1 2 2 即圆 x ? y ? 内的点都不是“C1-C2 型点” . 2
由①②得, 2(k ? 1) ? (1 ? t ? tk ) ?
2 2

23. 【解答】 : (1)因为 c ? 0 , a1 ? ?(c ? 2) ,故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? 2 ,

a3 ? f (a1 ) ? 2 | a2 ? c ? 4 | ? | a2 ? c |? c ? 10

13

(2)要证明原命题,只需证明 f ( x) ? x ? c 对任意 x ? R 都成立,

f ( x) ? x ? c ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |? x ? c
即只需证明 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c 若 x ? c ? 0 ,显然有 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c=0 成立; 若 x ? c ? 0 ,则 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c ? x ? c ? 4 ? x ? c 显然成立 综上, f ( x) ? x ? c 恒成立,即对任意的 n ? N , an?1 ? an ? c
*

(3)由(2)知,若 {an } 为等差数列,则公差 d ? c ? 0 ,故 n 无限增大时,总有 an ? 0 此时, an?1 ? f (an ) ? 2(an ? c ? 4) ? (an ? c) ? an ? c ? 8 即d ? c?8 故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? a1 ? c ? 8 , 即 2 | a1 ? c ? 4 |?| a1 ? c | ?a1 ? c ? 8 , 当 a1 ? c ? 0 时,等式成立,且 n ? 2 时, an ? 0 ,此时 {an } 为等差数列,满足题意; 若 a1 ? c ? 0 ,则 | a1 ? c ? 4 |? 4 ? a1 ? ?c ? 8 , 此时, a2 ? 0, a3 ? c ? 8,?, an ? (n ? 2)(c ? 8) 也满足题意; 综上,满足题意的 a1 的取值范围是 [?c, ??) ? {?c ? 8} .

2014 年上海市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、填空题(共 14 题,满分 56 分) 1. (4 分) (2014?上海)函数 y=1﹣2cos (2x)的最小正周期是
2



考点: 专题: 分析: 解答:

二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 三角函数的求值. 由二倍角的余弦公式化简,可得其周期. 2 解:y=1﹣2cos (2x)

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14

=﹣[2cos (2x)﹣1] =﹣cos4x, ∴函数的最小正周期为 T= 故答案为: 点评: 本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题. 2. (4 分) (2014?上海)若复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则(z+ )? = 6 . =

2

考点: 专题: 分析: 解答:

复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可. 解:复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,
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则(z+ )? = =(1+2i) (1﹣2i)+1 2 =1﹣4i +1 =2+4 =6. 故答案为:6 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查.

3. (4 分) (2014?上海)若抛物线 y =2px 的焦点与椭圆 程为 x=﹣2 . 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:
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2

+

=1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方

由题设中的条件 y =2px(p>0)的焦点与椭圆

2

+

=1 的右焦点重合,故可以先求出椭圆的右焦点坐标,

根据两曲线的关系求出 p,再由抛物线的性质求出它的准线方程 解答: 解:由题意椭圆 + =1,故它的右焦点坐标是(2,0) ,

又 y =2px(p>0)的焦点与椭圆

2

+

=1 的右焦点重合,

故 p=4, ∴抛物线的准线方程为 x=﹣2. 故答案为:x=﹣2 点评: 本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些 性质与几何特征解答问题.

15

4. (4 分) (2014?上海)设 f(x)= 2] . 考点: 专题: 分析: 解答:

,若 f(2)=4,则 a 的取值范围为 (﹣∞,

分段函数的应用;真题集萃. 分类讨论;函数的性质及应用. 可对 a 进行讨论,当 a>2 时,当 a=2 时,当 a<2 时,将 a 代入相对应的函数解析式,从而求出 a 的范围. 解:当 a>2 时,f(2)=2≠4,不合题意; 2 当 a=2 时,f(2)=2 =4,符合题意; 2 当 a<2 时,f(2)=2 =4,符合题意; ∴a≤2, 故答案为: (﹣∞,2]. 点评: 本题考察了分段函数的应用,渗透了分类讨论思想,本题是一道基础题.
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5. (4 分) (2014?上海)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x +2y 的最小值为 2 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由已知可得 y= ,代入要求的式子,由基本不等式可得.
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2

2



解答:

解:∵xy=1,∴y= ∴x +2y =x +
2 2 2 2

≥2

=2



当且仅当 x =

,即 x=±

时取等号,

故答案为:2 点评: 本题考查基本不等式,属基础题. 6. (4 分) (2014?上海)若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面角的大小为 arccos 果用反三角函数值表示) . 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,可得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍,在轴截面中,求出母线 与底面所成角的余弦值,进而可得母线与轴所成角. 解答: 解:设圆锥母线与轴所成角为 θ, ∵圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,
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(结



= =3,

即圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍, 故圆锥的轴截面如下图所示:

16

则 cosθ= = , ∴θ=arccos , 故答案为:arccos 点评: 本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍,是解答的关键. 7. (4 分) (2014?上海)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ(3cosθ﹣4sinθ)=1,则 C 与极轴的交点到极点的 距离是 .

考点: 专题: 分析: 解答:

简单曲线的极坐标方程. 计算题;坐标系和参数方程. 由题意,θ=0,可得 C 与极轴的交点到极点的距离. 解:由题意,θ=0,可得 ρ(3cos0﹣4sin0)=1,
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∴C 与极轴的交点到极点的距离是 ρ= . 故答案为: . 点评: 正确理解 C 与极轴的交点到极点的距离是解题的关键.

8. (4 分) (2014?上海)设无穷等比数列{an}的公比为 q,若 a1=

(a3+a4+…an) ,则 q=



考点: 极限及其运算. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件推导出 a1=
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,由此能求出 q 的值.

解答: 解:∵无穷等比数列{an}的公比为 q, a1= (a3+a4+…an)

=



﹣a1﹣a1q)

= ∴q +q﹣1=0,
2



17

解得 q= 故答案为:

或 q= .

(舍) .

点评: 本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用.

9. (4 分) (2014?上海)若 f(x)=



,则满足 f(x)<0 的 x 的取值范围是 (0,1) .

考点: 指、对数不等式的解法;其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接利用已知条件转化不等式求解即可. 解答: 解:f(x)= ﹣ ,若满足 f(x)<0, 即 ∴ ∵y= ∴ < , , 是增函数, 的解集为: (0,1) .

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故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查指数不等式的解法,函数的单调性的应用,考查计算能力. 10. (4 分) (2014?上海)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散 演练,则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 (结果用最简分数表示) .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 要求在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率,须先求在 10 天中随机选择 3 天的情况, 再求选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况,即可得到答案. 解答: 解:在未来的连续 10 天中随机选择 3 天共有 种情况,
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其中选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况有 8 种, ∴选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 故答案为: . ,

点评: 本题考查古典概型以及概率计算公式,属基础题. 11. (4 分) (2014?上海)已知互异的复数 a,b 满足 ab≠0,集合{a,b}={a ,b },则 a+b= ﹣1 . 考点: 集合的相等. 专题: 集合. 分析: 根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论.
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2

2

18

解答: 解:根据集合相等的条件可知,若{a,b}={a2,b2}, 则 ①或 ②,

由①得



∵ab≠0,∴a≠0 且 b≠0,即 a=1,b=1,此时集合{1,1}不满足条件. 2 2 2 2 若 b=a ,a=b ,则两式相减得 a ﹣b =b﹣a, ∵互异的复数 a,b, ∴b﹣a≠0,即 a+b=﹣1, 故答案为:﹣1. 点评: 本题主要考查集合相等的应用,根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键,注意要进行分类讨论. 12. (4 分) (2014?上海)设常数 a 使方程 sinx+ x1+x2+x3= . cosx=a 在闭区间[0,2π]上恰有三个解 x1,x2,x3,则

考点: 正弦函数的图象;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先利用两角和公式对函数解析式化简,画出函数 y=2sin(x+
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)的图象,方程的解即为直线与三角函数图

象的交点,在[0,2π]上,当 a= 相加即可. 解答: 解:sinx+ cosx=2( sinx+

时,直线与三角函数图象恰有三个交点,进而求得此时 x1,x2,x3 最后 cosx)=2sin(x+ )=a, 时,直线与三角函数图象恰有三个

如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在[0,2π]上,当 a= 交点, 令 sin(x+ )= ,x+ =2kπ+ ,即 x=2kπ,或 x+ =2kπ+

,即 x=2kπ+



∴此时 x1=0,x2= ∴x1+x2+x3=0+ 故答案为:

,x3=2π, +2π= .

点评: 本题主要考查了三角函数图象与性质.运用了数形结合的思想,较为直观的解决问题.

19

13. (4 分) (2014?上海)某游戏的得分为 1,2,3,4,5,随机变量 ξ 表示小白玩该游戏的得分,若 E (ξ)=4.2,则小白得 5 分的概率至少为 0.2 . 考点: 专题: 分析: 解答: 离散型随机变量的期望与方差. 概率与统计. 设小白得 5 分的概率至少为 x,则由题意知小白得 4 分的概率为 1﹣x,由此能求出结果. 解:设小白得 5 分的概率至少为 x, 则由题意知小白得 4 分的概率为 1﹣x, ∵某游戏的得分为 1,2,3,4,5,随机变量 ξ 表示小白玩该游戏的得分, E(ξ)=4.2, ∴4(1﹣x)+5x=4.2, 解得 x=0.2. 故答案为:0.2. 点评: 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意离散型随机变量的数学期望的合理运用.
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14. (4 分) (2014?上海)已知曲线 C:x=﹣ 点 P 和 l 上的 Q 使得 +

,直线 l:x=6,若对于点 A(m,0) ,存在 C 上的 .

= ,则 m 的取值范围为 [2,3]

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 通过曲线方程判断曲线特征,通过
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+

= ,说明 A 是 PQ 的中点,结合 x 的范围,求出 m 的范围即可.

解答:

解:曲线 C:x=﹣

,是以原点为圆心,2 为半径的圆,并且 xP∈[﹣2,0], + = ,

对于点 A(m,0) ,存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得 说明 A 是 PQ 的中点,Q 的横坐标 x=6, ∴m= ∈[2,3].

故答案为:[2,3]. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,函数思想的应用,考查计算能力以及转化思想. 二、选择题(共 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,选对得 5 分,否则一律得零分 15. (5 分) (2014?上海)设 a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的( ) A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分又非必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判定. 解:当 a=5,b=0 时,满足 a+b>4,但 a>2 且 b>2 不成立,即充分性不成立, 若 a>2 且 b>2,则必有 a+b>4,即必要性成立, 故“a+b>4”是“a>2 且 b>2”的必要不充分条件, 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,比较基础.
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20

16. (5 分) (2014?上海) 如图, 四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱, P( 2, …8) i i=1, 是上底面上其余的八个点,则 ? (i=1,2,…,8)的不同值的个数为( )

A.1 考点: 专题: 分析: 解答:

B.2

C.3

D.4

平面向量数量积的运算. 计算题;平面向量及应用. 建立空适当的间直角坐标系,利用坐标计算可得答案. 解:如图建立空间直角坐标系,
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则 A(2,0,0) ,B(2,0,1) ,P1(1,0,1) ,P2(0,0,1) ,P3(2,1,1) ,P4(1,1,1) ,P5(0,1, 1) ,P6(2,2,1) ,P7(1,2,1) , P8(0,2,1) , , =(﹣2,1,1) , =(﹣1,2,1) , 易得 ∴ ? ? =(﹣1,0,1) , =(0,2,1) , =(﹣2,2,1) , =(﹣2,0,1) , =(0,1,1) , =(﹣1,1,1) ,

=1(i=1,2,…,8) , (i=1,2,…,8)的不同值的个数为 1,

故选 A.

点评: 本题考查向量的数量积运算,建立恰当的坐标系,运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段. 17. (5 分) (2014?上海)已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点, 则关于 x 和 y 的方程组 A.无论 k,P1,P2 如何,总是无解 C. 存在 k,P1,P2,使之恰有两解 的解的情况是( ) B. 无论 k,P1,P2 如何,总有唯一解 D.存在 k,P1,P2,使之有无穷多解

21

考点: 专题: 分析: 解答:

一次函数的性质与图象. 函数的性质及应用;直线与圆.
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判断直线的斜率存在,通过点在直线上,推出 a1,b1,P2,a2,b2 的关系,然后求解方程组的解即可. 解:P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,直线 y=kx+1 的斜率存在, ∴k= ,即 a1≠a2,并且 b1=ka1+1,b2=ka2+1,∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1

, ①× b2﹣②× b1 得: (a2b1﹣a1b2)x=b2﹣b1, 即(a2﹣a1)x=b2﹣b1.∴方程组有唯一解. 故选:B. 点评: 本题考查一次函数根与系数的关系,直线的斜率的求法,方程组的解额指数的应用.

18. (5 分) (2014?上海)设 f(x)=

,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取值

范围为( ) A.[﹣1,2] 考点: 专题: 分析: 解答:

B.[﹣1,0]

C.[1,2]

D.[0,2]

分段函数的应用. 函数的性质及应用. 2 当 a<0 时,显然 f(0)不是 f(x)的最小值,当 a≥0 时,解不等式:a ﹣a﹣2≤0,得﹣1≤a≤2,问题解决. 解;当 a<0 时,显然 f(0)不是 f(x)的最小值,
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当 a≥0 时,f(0)=a , 由题意得:a ≤x+ +a≤2+a, 解不等式:a ﹣a﹣2≤0,得﹣1≤a≤2, ∴0≤a≤2, 故选:D. 点评: 本题考察了分段函数的问题,基本不等式的应用,渗透了分类讨论思想,是一道基础题. 三、解答题(共 5 题,满分 72 分) 19. (12 分) (2014?上海)底面边长为 2 的正三棱锥 P﹣ABC,其表面展开图是三角形 P1P2P3,如图,求 △ P1P2P3 的各边长及此三棱锥的体积 V.
2 2

2

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用侧面展开图三点共线,判断△ P1P2P3 是等边三角形,然后求出边长,利用正四面体的体积求出几何体 的体积.
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解答: 解:根据题意可得:P1,B,P2 共线,∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2,∠ABC=60° , ∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60° , ∴∠P1=60° ,同理∠P2=∠P3=60° , ∴△P1P2P3 是等边三角形,P﹣ABC 是正四面体, ∴△P1P2P3 的边长为 4, VP﹣ABC= =

点评: 本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力,几何体的侧面展开图和体积的求法.

20. (14 分) (2014?上海)设常数 a≥0,函数 f(x)=
﹣1



(1)若 a=4,求函数 y=f(x)的反函数 y=f (x) ; (2)根据 a 的不同取值,讨论函数 y=f(x)的奇偶性,并说明理由. 考点: 反函数;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据反函数的定义,即可求出, (2)利用分类讨论的思想,若为偶函数求出 a 的值,若为奇函数,求出 a 的值,问题得以解决. 解答: 解: (1)∵a=4,
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∴ ∴

, , ,x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) .

∴调换 x,y 的位置可得

(2)若 f(x)为偶函数,则 f(x)=f(﹣x)对任意 x 均成立, ∴
x

=
﹣x

,整理可得 a(2 ﹣2 )=0.

x

﹣x

∵2 ﹣2 不恒为 0, ∴a=0,此时 f(x)=1,x∈R,满足条件; 若 f(x)为奇函数,则 f(x)=﹣f(﹣x)对任意 x 均成立, ∴ ∴a=± 1, ∵a≥0, ∴a=1, 此时 f(x)= ,满足条件; =﹣ ,整理可得 a ﹣1=0,
2

综上所述,a=0 时,f(x)是偶函数,a=1 时,f(x)是奇函数. 点评: 本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性,利用了分类讨论的思想,属于中档题.

23

21. (14 分) (2014?上海)如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD,其中 D 为顶 端,AC 长 35 米,CB 长 80 米,设点 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 α 和 β. (1)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 α≥2β,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)? (2)施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 α=38.12°,β=18.45°,求 CD 的长(结果精确到 0.01 米) .

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形. 分析: (1)设 CD 的长为 x,利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论. (2)利用正弦定理,建立方程关系,即可得到结论. 解答: 解: (1)设 CD 的长为 x 米,则 tanα= ,tanβ= ,
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∵0 ∴tanα≥tan2β, ∴tan







=



解得 0 ≈28.28, 即 CD 的长至多为 28.28 米. (2)设 DB=a,DA=b,CD=m, 则∠ADB=180° ﹣α﹣β=123.43°, 由正弦定理得 即 a= ∴m= , , ≈26.93,

答:CD 的长为 26.93 米. 点评: 本题主要考查解三角形的应用问题,利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键. 22. (16 分) (2014?上海)在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l:ax+by+c=0 和点 P1(x1,y1) ,P2(x2, y2) ,记 η=(ax1+by1+c) (ax2+by2+c) ,若 η<0,则称点 P1,P2 被直线 l 分隔,若曲线 C 与直线 l 没有 公共点,且曲线 C 上存在点 P1、P2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线. (1)求证:点 A(1,2) ,B(﹣1,0)被直线 x+y﹣1=0 分隔; 2 2 (2)若直线 y=kx 是曲线 x ﹣4y =1 的分隔线,求实数 k 的取值范围; (3)动点 M 到点 Q(0,2)的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为曲线 E,求证:通过原 点的直线中,有且仅有一条直线是 E 的分隔线. 考点: 直线的一般式方程;真题集萃.

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24

专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)把 A、B 两点的坐标代入 η=(ax1+by1+c) (ax2+by2+c) ,再根据 η<0,得出结论. 2 2 2 2 2 (2)联立直线 y=kx 与曲线 x ﹣4y =1 可得 (1﹣4k )x =1,根据此方程无解,可得 1﹣4k ≤0,从而求得 k 的范围. 2 2 2 (3)设点 M(x,y) ,与条件求得曲线 E 的方程为[x +(y﹣2) ]x =1 ①.由于 y 轴为 x=0,显然与方程① 联立无解.把 P1、P2 的坐标代入 x=0,由 η=1×(﹣1)=﹣1<0,可得 x=0 是一条分隔线. 解答: (1)证明:把点(1,2) 、 (﹣1,0)分别代入 x+y﹣1 可得(1+2﹣1) (﹣1﹣1)=﹣4<0, ∴点(1,2) 、 (﹣1,0)被直线 x+y﹣1=0 分隔. 2 2 2 2 2 (2)解:联立直线 y=kx 与曲线 x ﹣4y =1 可得 (1﹣4k )x =1,根据题意,此方程无解,故有 1﹣4k ≤0, ∴k≤﹣ ,或 k≥ . (3)证明:设点 M(x,y) ,则 y 轴为 x=0,显然与方程①联立无解. 又 P1(1,2) 、P2(﹣1,2)为 E 上的两个点,且代入 x=0,有 η=1×(﹣1)=﹣1<0, 故 x=0 是一条分隔线. 若过原点的直线不是 y 轴,设为 y=kx,代入[x +(y﹣2) ]x =1,可得[x +(kx﹣2) ]x =1, 2 2 2 令 f(x)=[x +(kx﹣2) ]x ﹣1, ∵f(0)f(2)<0, ∴f(x)=0 有实数解,即 y=kx 与 E 有公共点, ∴y=kx 不是 E 的分隔线. ∴通过原点的直线中,有且仅有一条直线是 E 的分隔线. 点评: 本题主要考查新定义,直线的一般式方程,求点的轨迹方程,属于中档题. 23. (16 分) (2014?上海)已知数列{an}满足 an≤an+1≤3an,n∈N ,a1=1. (1)若 a2=2,a3=x,a4=9,求 x 的取值范围; (2)设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn=a1+a2+…an,若 Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N ,求 q 的取值范围. (3)若 a1,a2,…ak 成等差数列,且 a1+a2+…ak=1000,求正整数 k 的最大值,以及 k 取最大值时相应 数列 a1,a2,…ak 的公差. 考点: 等比数列的性质;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)依题意: ,又
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?|x|=1,故曲线 E 的方程为[x +(y﹣2) ]x =1 ①.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

*

*

将已知代入求出 x 的范围; 求出 ,对 q 分类讨论求出 Sn 分别代入不等式

(2)先求出通项:

,由

Sn≤Sn+1≤3Sn,得到关于 q 的不等式组,解不等式组求出 q 的范围. (3)依题意得到关于 k 的不等式,得出 k 的最大值,并得出 k 取最大值时 a1,a2,…ak 的公差. 解答: 解: (1)依题意: ∴ ;又 ,

∴3≤x≤27, 综上可得:3≤x≤6

25

(2)由已知得, ∴ ,





当 q=1 时,Sn=n, Sn≤Sn+1≤3Sn,即

,成立.

当 1<q≤3 时,

, Sn≤Sn+1≤3Sn,即





不等式 ∵q>1,故 3q ﹣q ﹣2=q (3q﹣1)﹣2>2q ﹣2>0 对于不等式 q ﹣3q +2≤0,令 n=1, 2 得 q ﹣3q+2≤0, 解得 1≤q≤2,又当 1≤q≤2,q﹣3<0, n+1 n n ∴q ﹣3q +2=q (q﹣3)+2≤q(q﹣3)+2=(q﹣1) (q﹣2)≤0 成立, ∴1<q≤2, 当 时,
n+1 n n n n+1 n

, Sn≤Sn+1≤3Sn,即



∴此不等式即 3q﹣1>0,q﹣3<0,



3q ﹣q ﹣2=q (3q﹣1)﹣2<2q ﹣2<0, n+1 n n q ﹣3q +2=q (q﹣3)+2≥q(q﹣3)+2=(q﹣1) (q﹣2)>0 ∴ 时,不等式恒成立, . ,且 a1=1,

n+1

n

n

n

上,q 的取值范围为:

(3)设 a1,a2,…ak 的公差为 d.由 得



当 n=1 时,﹣ ≤d≤2; 当 n=2,3,…,k﹣1 时,由 所以 d≥ , ,得 d≥ ,

26

所以 1000=k 得 k≤1999

,即 k ﹣2000k+1000≤0,

2

所以 k 的最大值为 1999,k=1999 时,a1,a2,…ak 的公差为﹣



点评: 本题考查等比数列的通项公式及前 n 项和的求法;考查不等式组的解法;找好分类讨论的起点是解决本题 的关键,属于一道难题.


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