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江苏省如东县2013届高三12月四校联考数学(文)试题 Word版含答案


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2012

2013 学年度第一学期 高三联考试卷 数学

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.设集合 A ? x y ? log2 ( x ? 2) , B ? x x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ,则 A ? B = ▲ . 2.已知复数 z 满足 z ? ?1 ? i ? ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z ? ▲ .

?

?

?

?

??? ? ? ? 3.已知点 A(?1, ?5) 和向量 a ? (2,4) ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为 ▲.
4.已知函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 3) x ? 3, x ? [2a ? 3,4 ? a] 是偶函数,则 a ? b ? 5.已知 x ? R ,那么 x2 ? 1是x ? 1 的 “既不充分又不必要”) 6.为了得到函数 y ? sin( 2 x ? 单位长度 7.若存在实数 x ? [1, 2] 满足 2 x ? ax ? 2 ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 ▲ .
2





▲ 条件(“充要”“充分不必要”“必要不充分” , ,

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移 ▲ 个

8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 ▲ . 9.已知 sin ? x ?

? ?

??

1 ? 5? ? ?? ? ? x ? ? sin 2 ? ? x ?的值为 ? ? ,则 sin ? 6? 4 ? 6 ? ?3 ?

▲ .

10.定义 min?a, b, c? 为 a, b, c 中的最小值,设 f ( x) ? min{ x ? 4, x 2 ? 1,5 ? 3x} ,则 f (x) 2 的最大值是 ▲ . 11.在直角三角形 ABC 中, AB ? AC , AB ? AC ? 1, BD ? 于 12.若 a ? ▲ .

??? ?

? 1 ???? ???? ??? DC , 则 AD ? CD 的值等 2

ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? ,则 a,b,c 的大小关系是 ▲ . 2 3 5

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长 13.椭圆 4 3
最大时, ?FAB 的面积是 ▲ .

? 2 x3 ?1 ? ? x ? 1 , x ? ? 2 ,1? , π ? ? ? 14.已知函数 f ( x ) ? ? 函数 g ( x) ? a sin( x) ? 2a ? 2(a ? 0) ,若存 6 ? ? 1 x ? 1 , x ? ?0, 1 ? . ? 2? ? 3 6 ? ? ?
在 x1 , x2 ? ? 0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ .
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二.解答题:(本大题共 6 个小题,共 90 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分) 已知 A ? {x | 求: (1) A

1 2x ?1 ? 0} B ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} , A ?B ? x | ? ? 3 , { x } 且 x?2 2
(2)实数 a ? b 的值.

,A ? B ? R ,

16. (本小题满分 14 分) 如图,斜三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC, 侧面 AA1C1C 是菱形, ?A1 AC ? 60? ,E、F 分别是 A1C1 、AB 的中点. 求证: (1)EF∥平面 BB1C1C ; (2)平面 CEF⊥平面 ABC. A1 E B1 C1

A F B

C

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17. (本小题满分 14 分) 若 a、b、c 是△ABC 三个内角 A、B、C 所对边,且 a sin A sin B ? b cos A ? 3a ,
2

(1)求

b 3 ; (2)当 cos C ? 时,求 cos( B ? A) 的值。 a 3

18. (本题满分 16 分) 如图,开发商欲对边长为 1km 的正方形 ABCD 地段进行市场开发,拟在该地段的一角 建设一个景观,需要建一条道路 EF (点 E、F 分别在 BC、CD 上) ,根据规划要求 ?ECF 的周长为 2km . (1)设 ?BAE ? ? , ?DAF ? ? ,求证: ? ? ? ?

?

(2)欲使 ?EAF 的面积最小,试确定点 E、F 的位置.

4



A

D

F

B

E

C

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19. (本小题满分 16 分) 2 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,一条准线 l : x ? 2 . 2 a b (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 O 为坐标原点, M 是 l 上的点, F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线 与以 OM 为直径的圆 D 交于 P, Q 两点. ①若 PQ ? 6 ,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证:点 P 在定圆上,并求该定圆的方程. y Q M

O

F P

x

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? b, g ( x) ? a ln x , (1)若 f (x) 在 x ? ??

3 ? 1 ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 ? 2 ?

(2)若对任意 x ? ? , e? ,都有 g ( x) ? ? x 2 ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 (3) (1) 在 的条件下, F ( x) ? ? 设

? f ?x ?, x ? 1 , 对任意给定的正实数 a , 曲线 y ? F (x) ? g ?x ?, x ? 1

上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三 角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?请说明理由。

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2012------2013 学年度第一学期 高三联考试卷
置上)

数学参考答案

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位

? ; 7. (??,5) ; 3 2 3 19 ?1 4? 8. ;10. 2;11. ;12. b>a>c;13. 3 ;14. ? ;9. ?2 , 3? 9 16 3 ? ?
1. (1,??) ;2. 1 ? i ;3. (5,7) ;4. 25.必要不充分; 6. 二.解答题:本大题共 6 个小题,共 90 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.解: (1)依题意 A ? ( ??,? 2) ? ( ,? ?)

1 2

?????4 分

A (2)由 A ? B ? R, ? B ? {x |

1 ? x ? 3} 得 ∴ B ? {x | ?2 ? x ? 3} 2
9分

??8 分,

即方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的解是 x1 ? ?2,x2 ? 3 于是 a ? ?( x1 ? x2 ) ? ?1 , b ? x1 x2 ? ?6 , ∴ a ? b ? ?7 16.证明: (1)取 BC 中点 M,连结 FM, C1M . 在△ABC 中,因为 F,M 分别为 BA,BC 的中点, 所以 FM ∥

?? 12 分 ?? 14 分

1 AC. 2

????????????2 分

因为 E 为 A1C1 的中点,AC ∥ A1C1 , 所以 FM ∥ EC1 . 所以 EF ∥C1M . 从而四边形 EFMC1 为平行四边形, ????????????????4 分

又因为 C1M ? 平面 BB1C1C , EF ? 平面 BB1C1C , 所
BB1C1C .



EF






A1 E B1 C1

????

?????6 分 (2) 在平面 AA1C1C 内,作 AO ? AC ,O 为垂足. 1 因为∠ A1 AC ? 600 ,所以
A F B
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O M

C

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AO ?

1 1 AA1 ? AC , 2 2

从而 O 为 AC 的中点.??8 分 所以 OC ∥ A1 E , 因而 EC ∥ AO . 1 ???????10 分

因为侧面 AA1C1C ⊥底面 ABC,交线为 AC, AO ? AC ,所以 AO ? 底面 ABC. 1 1 所以 EC ? 底面 ABC. 又因为 EC ? 平面 EFC, 所以平面 CEF⊥平面 ABC.
2

????????????????12 分

????????????????14 分
2

17.解:由正弦定理得 sin A sin B ? sin B cos A ? 3 sin A 即 sin B(sin 2 A ? cos2 A) ? 3sin A 故 sin B ? 3 sin A ,∴

????2 分

b ? 3 a

????7 分

(2)由余弦定理

3 a 2 ? 3a 2 ? c 2 ,得 c ? 2a ? 3 2 3a 2
∴B= 90
0

????9 分

b2 ? a 2 ? c 2

????11 分

∴ cos( B ? A) ? sin A ? cos C ?

3 3

????14 分

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D

18. 解: (1) CE ? x, CF ? y(0 ? x ? 1,0 ? y ? 1) , 则 tan ? ? 1 ? x, tan ? ? 1 ? y , 由已知得: x ? y ?
F

x ? y ? 2,
2 2

即 2( x ? y) ? xy ? 2 ??????????4 分

B

E

C

? tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1? x ?1? y 2 ? ( x ? y) 2 ? ( x ? y) ? ? ? ?1 1 ? tan ? tan ? 1 ? (1 ? x)(1 ? y) x ? y ? xy x ? y ? [2 ? 2( x ? y)] ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ,?? ? ? ? , ??????????8 分 2 4
(2)由(1)知, S?AEF ?

1 2 2 1 1 2 1 AE ? AF sin ?EAF ? AE ? AF ? ? ? ? ? 2 4 4 cos ? cos ? 4 cos ? cos ?

1 1 1 1 = 2? ? ? ? 2 ? 4 cos ? cos( ? ? ) 2 cos ? (sin ? ? cos ? ) sin 2? ? 2 cos ? sin 2? ? cos 2? ? 1 4
=

1

2 sin(2? ? ) ? 1 4 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ,? 2? ? ? ,即 ? ? 时 ?AEF 的面积最小,最小面积为 2 ? 1 . 4 4 2 8 ? 2 tan ? 8 ,? tan ? ? 2 ? 1,故此时 BE ? DF ? 2 ?1 ????14 分 ? tan ? 4 1 ? tan 2 ? 8 8 所以,当 BE ? DF ? 2 ?1 时, ?AEF 的面积最小.????????????16 分
?c 2 ? ? ? ? 2 , ? ?a ? 2 , ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 19. 解: (1)由题设: ? a ? 2 ? c ?1 ? ? a ?2 ? c ? x2 ?????????? 4 分 ? 椭圆 C 的方程为: ? y 2 ? 1 2 (2)①由(1)知: F (1,0) ,设 M (2, t ) ,

?



???????????????????12 分

t t2 则圆 D 的方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? )2 ? 1 ? , 2 4 直线 PQ 的方程: 2 x ? ty ? 2 ? 0 ,
t2 )?( 4 2? t2 ?2 2

?????????? 6 分 ?????????? 8 分

? PQ ? 6 ,? 2 (1 ?

4 ? t2

)2 ? 6 ,

?????????? 10 分

? t 2 ? 4 ,? t ? ?2 ? 圆 D 的方程: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 或 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

????? 12 分

②解法(一) :设 P( x0 , y0 ) ,

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? t 2 t2 2 ? ( x0 ? 1) ? ( y0 ? ) ? 1 ? 由①知: ? 2 4 , ? 2 x ? ty ? 2 ? 0 0 ? 0

? x 2 ? y02 ? 2 x0 ? ty0 ? 0 ? 即: ? 0 , ? 2 x0 ? ty0 ? 2 ? 0 ?
消去 t 得: x02 ? y02 =2
? 点 P 在定圆 x2 ? y 2 =2 上. 解法(二) :设 P( x0 , y0 ) , y 则直线 FP 的斜率为 k FP ? 0 , x0 ? 1

?????????? 14 分

?????????? 16 分

∵FP⊥OM,∴直线 OM 的斜率为 kOM ? ? ∴直线 OM 的方程为: y ? ?

x0 ? 1 , y0

??? ???? ? ∵MP⊥OP,∴ OP ? MP ? 0 , 2( x0 ? 1) ]?0 ∴ x0 ( x0 ? 2) ? y0 [ y0 ? y?

x0 ? 1 x, y0 2( x0 ?1) ) . 点 M 的坐标为 M (2, ? y0

??????????14 分

∴ x02 ? y02 =2,? 点 P 在定圆 x2 ? y 2 =2 上.

??????????16 分

20.解: (1)由 f ? x ? ? ? x3 ? x2 ? b ,得 f ? ? x ? ? ?3x2 ? 2x ? ? x ? 3x ? 2? , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 或 列表如下:
x

2 . 3
? 1 ? ? ? ,0 ? ? 2 ?
?

?

1 2

0 0 极小值

? 2? ? 0, ? ? 3?

2 3
0 极大值

?2 ? ? ,1 ? ?3 ?
?

f ?? x?

?
?

f ? x?

1 f (? ) 2

?

?

1 3 2 4 1 2 由 f (? ) ? ? b , f ( ) ? ? b , ? f (? ) ? f ( ) , 2 8 3 27 2 3 1 3 3 即最大值为 f (? ) ? ? b ? ,? b ? 0 . 2 8 8
????????????5 分

(2)由 g ? x ? ? ?x 2 ? ?a ? 2? x ,得 ? x ? ln x ? a ? x2 ? 2x .
? x ? ?1, e? ,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x,即x ? ln x ? 0 ,

?a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x 恒成立,即 a ? ( )min . x ? ln x x ? ln x

????????????7 分

令 t ? x? ?

? x ? 1?? x ? 2 ? ln x ? x2 ? 2 x , , x ??1, e?? ,求导得, t? ? x ? ? 2 x ? ln x ? x ? ln x ?

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当 x ??1, e? 时, x ? 1 ? 0,ln x ? 1, x ? 2 ? ln x ? 0 ,从而 t? ? x ? ? 0 ,
?t ? x ? 在 ?1,e? 上为增函数,?tmin ? x ? ? t ?1? ? ?1 ,? a ? ?1 . ???????10 分
?? x3 ? x 2 , x ? 1 (3)由条件, F ? x ? ? ? , ?a ln x, x ? 1

假设曲线 y ? F ? x ? 上存在两点 P, Q 满足题意,则 P, Q 只能在 y 轴两侧, 不妨设 P ?t, F ?t ?? ?t ? 0? ,则 Q ?t, t 3 ? t 2 ,且 t ? 1 .

?

?

? ?POQ 是以 O ( O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形, ??? ???? ? ?OP ? OQ ? 0 ,??t 2 ? f ?t ? t 3 ? t 2 ? 0 ??*? ,

?

?

是否存在 P, Q 等价于方程 ?*? 在 t ? 0 且 t ? 1 时是否有解.

???????12 分

①若 0 ? t ? 1 时,方程 ?*? 为 ?t 2 ? ?t 3 ? t 2 t 3 ? t 2 ? 0 ,化简得 t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 , 此方程无解; ②若 t ? 1 时, ?*? 方程为 ?t 2 ? a ln t ? t 3 ? t 2 ? 0 ,即

?

??

?

?

?

1 ? ? t ? 1? ln t , a

1 设 h ? t ? ? ? t ? 1? ln t ? t ? 1? ,则 h? ? t ? ? ln t ? ? 1 , t
显然,当 t ? 1 时, h? ? t ? ? 0 ,即 h ? t ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数,
? h ? t ? 的值域为 ? h ?1? , ??? ,即 ? 0, ?? ? ,
? 当 a ? 0 时,方程 ?*? 总有解. ? 对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? F ? x ? 上总存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O ( O

为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴 上.??????16 分

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