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第三章推理与证明章末检测试题(文科)(周末练习题)(教师版)


第三章推理与证明章末检测试题(文科)
一、填空题 1.下列说法中正确的是( A.合情推理是正确的推理 D ) B.合情推理就是归纳推理

C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理 2. 下面几种推理是合情推理的是( ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°,归纳出所有三角形

的内角和都是 180°; ③张军某次考试成绩是 100 分,由此推出全班同学的成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°, 由此得凸多边形内角和是(n-2)·180°. A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ C )

3.我们把 4,9,16,25,…这些数称做正方形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图),

则第 n-1 个正方形数是( C A.n(n-1)

) C.n
2

B.n(n+1)

D.(n+1)

2

4.把 3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图),

试求第六个三角形数是( B A.27 B.28

) C.29 D.30

5.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律 继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的●的个数是( C ) A.12 B.13 C.14 D.15

6.在某次考试中甲、乙、丙三人成绩互不相等,且满足:①如果乙的成绩不是最高,那么甲的成绩最低;②如果 丙的成绩不是最低,那么甲的成绩最高,则三人中成绩最低的是( C ) A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定 7.当 n ? 1,2,3,4,5,6 时,比较 2 和 n 的大小并猜想
n

2



D



n 2 n 2 n 2 A. n ? 1 时, 2 ? n B. n ? 3 时, 2 ? n C. n ? 4 时, 2 ? n

n 2 D. n ? 5 时, 2 ? n

8.如果 f (a ? b) ? f (a) f (b)且f (1) ? 2, 则 A.

f (2) f (4) f (6) ? ? ?( f (1) f (3) f (5)
D.8

C

)

12 5

B.

37 5

C.6

9.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ?密文(加密) ,接受方由密文 ?明文(解密) ,已知加
1

密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b,2b ? c,2c ? 3d ,4d ,例如,明文 1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16 .当接 受方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为( A. 4,6,1,7 B. 7,6,1,4 C. 6,4,1,7 ) . D. 1,6,4,7

?a ? 2b ? 5 ?a ? 6 ?2b ? c ? 7 ?b ? 4 ? ? [解析] 由 ? 得? ,选 C 2 c ? 3 d ? 18 c ? 1 ? ? ? ? 4 d ? 16 ? ?d ? 7
10. 设 a,b∈R ,且 a≠b,a+b=2,则必有( B ) a2+b2 a2+b2 a2+b2 A.1≤ab≤ B.ab<1< C.ab< <1 2 2 2 二、填空题


D.

a2+b2
2

<ab<1

11. 如图所示,图(a)是棱长为 1 的小正方体,图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成.按照这样的方法继 续摆放,自上而下分别叫第 1 层,第 2 层,…,第 n 层.第 n 层的小正方体的个数记为 Sn.解答下列问题:

(1)按照要求填表:

n Sn
(2)S10=_55_. (3)Sn=__

1 1

2 3

3 6

4 10

… …

n?n+1?
2

____.

12.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式: 2 =1+3 2 =3+5
3 2

3 =1+3+5 3 =7+9+11
2 3 3

2

4 =1+3+5+7 4 =13+15+17+19
* 3

2

根据上述分解规律,则 5 =________,若 m (m∈N )的分解中最小的数是 21,则 m 的值为________. 解析:第一空易得;从 2 起,k 的分解规律恰为数列 3,5,7,9,…若干连续项之和,2 为前两项和,3 为接下来 三项和,…,21 是 5 的分解中最小的数,∴m=5.
3 3 3 3 3

答案:1+3+5+7+9 5

13.在求函数 y= log2x-2的定义域时,第一步推理中大前提是当 a有意义时,a≥0;小前提是 log2x-2有 意义;结论是__ y= log2x-2的定义域是[4,+∞)________. 14.当 a ? 0, b ? 0 时,① ? a ? b ? ? ③

?1 1? ? ? ? 4 ;② a 2 ? b2 ? 2 ? 2a ? 2b ?a b?
.

2ab ? ab ,以上 3 个不等式恒成立的是 a?b

2

解析:①②;① ? a ? b ? ?

b a 2 2 ? 1 1? ? ? ? 2 ? ? ? 4 ;故成立;② a 2 ? b 2 ? 2 ? 2a ? 2b ? ? a ? 1? ? ? b ? 1? ? 0 ,故 a b ?a b?

成立;③

2ab 2 ab ? ab ,则可得 ? 1 ,从而 a ? b ? 2 ab ,显然是错误的。 a?b a?b

三、解答题 1 2 15. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= (an+1) ,且 an>0(n∈N+),求出 a1,a2,a3,并归纳这个数列的通项 4 公式.解析:n=1 时,a1=1;n=2 时,a2=3;n=3 时,a3=5.综上归纳,可得 an=2n-1. 16.在 △ ABC 中,已知 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab ,且 2 cos A sin B ? sin C .判断 △ ABC 的形状. 解:∵ A ? B ? C ? 180° ,∴ sin C ? sin( A ? B) .又 2 cos A sin B ? sin C , ∴ 2 cos A sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ,∴sin( A ? B) ? 0 . 又 A 与 B 均为 △ ABC 的内角,∴A ? B .又由 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab , 得 (a ? b)2 ? c2 ? 3ab , a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ,又由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C , 得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab cos C ,∴ 2ab cos C ? ab , cos C ? 又∵A ? B ,∴ △ ABC 为等边三角形. 17.已知正数 a, b, c 成等差数列,且公差 d ? 0 ,求证: 证明:假设 ∴

1 ,∴ C ? 60° . 2

1 1 1 , , 不可能是等差数列。 a b c

1 1 1 , , 为等差数列,则 2/b=1/a+1/c,∴ a b c

2ac=b(c+a)=2
2

b

2

,∴

ac=

b

2

(b-d)(b+d)=

b

2

,∴

b

2

+bd-bd- d

2

=

b

2

,∴ d

=0

即 d=0 这与已知 d ? 0 矛盾

故 假设错误,原命题成立。 18. 已知△ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,求证: 证明:要证
2 2

1 1 3 + = a+b b+c a+b+c

1 1 3 a+b+c a+b+c + = 需证: + =3,即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c), a+b b+c a+b+c a+b b+c
2 0 2 2 2

即证:c +a =ac+b ,因为△ABC 中,角 A、B、C 成等差数列,所以 B=60 ,由余弦定理 b = c +a -2cacosB, 即 b = c +a -ca 所以 c +a =ac+b ,因此
2 2 2 2 2 2

1 1 3 + = a+b b+c a+b+c

19. (1)求证:当 a、b、c 为正数时, (a ? b ? c)( (1)证明:左边= 3 ? ?

1 1 1 ? ? ) ? 9. a b c

?a b? ?c b? ?a c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为:a、b、c 为正数 ?b a? ?b c? ? c a?

所以:左边 ? 3 ? 2

a b c b a c ? ?2 ? ?2 ? ? 3? 2? 2? 2 ? 9 b a b c c a

? 1 1 1? ? ?a ? b ? c ?? ? ? ? ? 9 ?a b c?
(2)已知 n ? 0, 试用分析法证明 : n ? 2 ? n ?1 ?

n ?1 ? n

3

(2)证明:要证上式成立,需证 n ? 2 ? n ? 2 n ? 1 ,需证 ( n ? 2 ? n ) 2 ? (2 n ? 1) 2 需证 n ? 1 ?

n 2 ? 2n ,需证 (n ? 1) 2 ? n 2 ? 2n ,需证 n 2 ? 2n ? 1 ? n 2 ? 2n ,
cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 。 2 2 a b a b

只需证 1>0, 因为 1>0 显然成立,所以原命题成立 20.在△ABC 中,证明:

证明:

? sin 2 A sin 2 B ? cos 2 A cos 2 B 1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? a2 ? b2 ? ? a2 b2 a2 b2 a2 b2 ? ?
cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

sin 2 A sin 2 B ? ? 由正弦定理得: a2 b2

1 1 1 21.已知 a、b、c∈R,且 a+b+c=1,求证:( -1)( -1)·( -1)≥8.

b c 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c b+c a+c a+b 证明: ( -1)( -1)( -1)=( -1)( -1)( -1)= · · a b c a b c a b c ?b+c??a+c??a+b? 2 bc·2 ac·2 ab = ≥ =8, abc abc 当且仅当 a=b=c 时取等号,所以原不等式成立. a+b b+c a+c 22.已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0<x<1.求证:logx +logx +logx <logxa+logxb+logxc.
2 2 2 证明:要证 logx

a

a+b
2

+logx

b+c
2

+logx ·

a+c
2

<logxa+logxb+logxc,只需证 logx( 2 >abc.由公式 2

a+b b+c a+c
2 · 2 · 2 ≥ bc>0,

)<logx(abc).

由已知 0<x<1,得只需证

a+b b+c a+c
2 2 ·

a+b
2

≥ ab>0,

b+c
2

a+c
2

· > a b c =abc. 2 2 a+b b+c a+c a+b b+c a+c 即 · · >abc 成立.∴ logx +logx +logx <logxa+logxb+logxc 成立. 2 2 2 2 2 2 ·

≥ ac>0.又∵a,b,c 是不全相等的正数,∴

a+b b+c a+c

2 2 2

4


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