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指数与对数函数


(1) 指数运算:分式与指数式的转化
1 正分数指数幂
0

a

n m

? m an

20 负 分 数 指 数 幂

a

?

n m

?

1
m

an

30 公式: x a ? x b ? x a ?b

( x a ) b ? x a?b

( xy) a ? x a ? y b

x 2 ? y 2 ? ( x ? y)(x ? y) ( x ? y) 3 ? ( x 3 ? 3x 2 y ? 3xy 2 ? y 3 ) x 3 ? y 3 ? ( x ? y)(x 2 ? xy ? y 2 )

( x ? y) 2 ? ( x 2 ? 2 xy ? y 2 )

(2) 指数函数性质:形如 y ? a x , (a ? 0且a ? 1) 性质:解析式 分 类 定义域 值 域 单调性 物殊点
?1

y ? a x , (a ? 0且a ? 1)
0 ? a ?1 a ?1

R
(0,??)

减函数 (0,1)
2 ?2 1 2 ? 1 2

增函数

① 已知 x ? x ? 3 ,求 x ? x , x ? x 的值; ② 比大小: (1) 6 2.5 (3) 1.5 0.5
63
0.51.5

(2) 0.6 2.5 (4) 0.8 0.9

0.6 3

0 .9 0 .8

③ 求 y ? 1 ? 2 x , x ? [1,4] 的值域 ④ 求 y ? 22 x ?x?1 的单调区间与值域 ⑤ 求 y ? 9 x ? 2 ? 3 x ? 4 (?1 ? x ? 2) 的值域 ⑥ 函数 y ? a x?2 ? 1, (a ? 0且a ? 1) 过定点 P,求 P 点 ⑦ 解不等式 ⑧ 解不等式
1 2 ( )x ?5 ? 4 2
2

ax

2

?5 x

? a 3 x , (a ? 0且a ? 1)
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(3) 对数运算:

ax ? N ? l o a gN ? x
N

loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , loga a N ? N , a log a
loga M ? loga N ? loga M ? N
loga M ? n loga M ,
n

?N
M N

log a M ?l o g a N ?l o g a

loga b ?

logc b 1 n ? log a b n ? log a b logc a logb a , m
m

(4) 对数函数: 形如: 性质:解析式 分 类 定义域 值 域 单调性 物殊点

y ? loga x , (a ? 0且a ? 1) y ? loga x , (a ? 0且a ? 1)
0 ? a ?1 a ?1

(0,??)
R 减函数 (1,0) 增函数

1? 2x log ( ) ? 0 ,求 x 的值; 1 ① 3 3
的值

log4 [log3 (log2 x)] ? 0 ,求 x

② log3 4 log4 8 log8 m ? log4 16 ,求 x 的值 ③ 比大小

lo6 g2.5 log6 3

lo0 g .6 2.5

lo0 g .6 3

2 ④ 求 y ? log2 (? x ? 4x ? 5) 的值域与单调区间 2 ⑤ f ( x) ? (log2 x) ? 2 log2 x ? 3 的定义域为[1,4]求值域

⑥ y ? log2 ( x ? 2) ? 1 , (a ? 0且a ? 1) 过定点 P ⑦ 解不等式 2 log1 ( x ? 5) ? 3
3

⑧解不等式 loga ( x ? 5x) ? loga 3x , (a ? 0且a ? 1)
2

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指数与对数函数
姓名:___________得分:___________ 一、选择题(5*10=50) 1.[2014·太原模拟]函数 y=( A.(-∞,4) B.(0,+∞)

1 2 )x +2x-1 的值域是( 2
C.(0,4]

)

D.[4,+∞)

x ? 0, ?log 1 x , ? 2 2.已知函数 f ( x ) ? ? 若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不等的实根, x ? 2 , x ? 0, ?
则实数 k 的取值范围是 ( A. (0, ??) 3. f ? x ? ? a A. 1
2
x

) C. (1, ??) D. (0,1]

B. (??,1)

? 0 ? a ? 1? 在区间[0,2]上的最大值比最小值大 4 ,则 a 的值为(
C.

3



B.

7 2

2 2

D.

3 2
,则实数 ( )

4.已知函数

,若

A.

B.

C.2

D.9 ( )

5.若 0 ? m ? n ,则下列结论正确的是 A. 2 ? 2
m n
m n B. ( ) ? ( )

1 2

1 2

C. log 1 m ? log 1 n
2 2

D. log2 m ? log2 n

6.函数

的定义域是(

)

A. 7.函数 y ?

B.

C.

D.

log 2 (2 x ?1) 的定义域是
3

A.[1,2] B. [1, 2)
x

C. ( ,1]

1 2

D. [ ,1]

1 2

8.函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为( ) (A)(0,+∞) (B)[0,+∞) (C)(1,+∞) 9.函数 f ( x) ? log 1 ( x ? 3 x ? 2) 的递增区间是(
2 2

(D)[1,+∞) ) D. ( , ??)

A. (??,1)

B. (2, ??)

C. (??, )
? 1 3

3 2

3 2

10.已知 log5 ?log3 (log 2x )? ? 0 ,那么 x A.

?
C.

? ?

B.

? ?

1 2

D.

? ?

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二、填空题(5*4=20) 11.已知 f ( x) ? ?

?

3e x ?1 , x ? 3 ,则 f ( f (3)) 的值为 2 ?log 3 ( x ? 6), x ? 3

.

2 ? ? x ? 1 , x ? 1, f ( x) ? k 有三个不同的实根, 12.已知函数 f ( x) ? ? 若关于 x 的方程 log 1 x , x ≥ 1. ? ? 2 则实数 k 的取值范围是 .

13. y ? loga (a ? 0, 且a ? 1)在x ??2,4? 上的最大值比最小值多 1,则 a=
x



? x,x ? 0, ? 14.设函数 f(x)= ?? 1 ? x 则 f(f(-4))=________. , x < 0 , ?? ? ?? 2 ?
三、解答题(4*10=40) 15.已知 A ? {x | (1)求 A

1 ? 3x ? 9} , B ? {x log2 x ? 0} . 3

B和A B; (2)定义 A ? B ? {x x ? A 且 x ? B} ,求 A ? B 和 B ? A .

?1? 16.已知 9 -10×3 +9≤0,求函数 y= ? ? ?4?
x x

x ?1

?1? -4 ? ? +2 的最大值和最小值. ?2?

x

x 17.已知函数 f ? x ? ? log a a ? 1 ? a ? 0, 且a ? 1?,

?

?

(1)求 f ? x ? 的定义域; (2)当 x 为何值时,函数值大于 1.

18. 求证:当 a>1 时,有

loga (a ? 1) ? log( a?1) a

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参考答案 1.C【解析】设 t=x +2x-1,则 y=( 因为 t=(x+1) -2≥-2,y=( 所以 0<y=(
2 2

1 t ). 2

1 t ) 为关于 t 的减函数, 2

1 t 1 -2 ) ≤( ) =4,故所求函数的值域为(0,4]. 2 2

2.D 试题分析:在 x ? (??,0] 时, f ( x ) 是增函数,值域为 (0,1] ,在 x ? (0, ??) 时, f ( x ) 是减函数,值域是 (??, ??) ,因此方程 f ( x) ? k 有两个不等实根,则有 k ? (0,1] . 3. C 指数函数性质, 当 0 ? a ? 1, 函数为减函数.则当 x ? 0 时, 函数有最大值 f (0) ? a ? 1 , 当 x ? 2 时,函数有最小值 f (2) ? a ,则 1 ? a ?
2
2

o

2 3 ,解得 a ? ? (负舍). 4 2


4.C【解析】因为

,所以



.即 a ? 2 .
m n

x 5.C∵ y ? 2 与 y ? log 2 x 是增函数,∴ 2 ? 2 , log2 m ? log2 n ,所以 A、D 错误;∵

1 1 1 y ? ( ) x 与 y ? log 1 x 是减函数,∴ ( ) m ? ( ) n ,log2 m ? log2 n ,所以 B 错 D 对,选 D. 2 2 2 2
6.C【解析】由 得 且 .

7.C 根据函数定义域的要求得: ?

?log 2 (2 x ? 1) ? 0 ? 3 ? ? 2 x ? 1>0
x

1 ? 0<2 x ? 1 ? 1 ? <2 x ? 1 ? 1 . 2

8.A【解析】∵3 >0,∴3 +1>1,∴log2(3 +1)>0.∴f(x)∈(0,+∞).故选 A. 9.A【解析】解:因为该函数是复合函数,外层是递减函数,要是复合后递增,只要求解内 层的减区间即可。因为定义域 x ? 2, 或x ? 1 ,因此在定义域内满足 x<1 是递减的,故选 A. 10.C【解析】由已知 log3 ?log2 x ? ? 1,? log2 x ? 3,? x ? 8,8
? 1 3

x

x

?

1 ,所以选 C 2
1?1

2 11.3 试题分析:因为 f ? 3? ? log 3 3 ? 6 ? log 3 3 ? 1 ,所以 f

?

?

? f ?3?? ? f ?1? ? 3e

?3.

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12 .

(?1, 0) 试题分析:画出原函数的图像,要使 f ( x) ? k 有三个不同的实根,则需要

?1 ? k ? 0 ,故实数 k 的取值范围为 (?1, 0)
loga 4 ? loga 2 ? 1, a ? 2. 当 0 ? a ? 1 时, 13.当 a ? 1 时,
14.4【解析】f(-4)= ?

1 log a 2 ? log a 4 ? 1, a ? . 2

? 1 ? -4 ? =16,所以 f(f(-4))=f(16)= 16 =4 ?2?
B ? (1, 2) ; A B ? (?1, ??) .

15. (1) A ? {x ? 1 ? x ? 2} , B ? {x x ? 1} , A (2) A ? B ? ? ?1,1? , B ? A ? ? 2, ??? .

16.ymax=2.ymin=1【解析】由 9 -10·3 +9≤0,得(3 -1)(3 -9)≤0, 解得 1≤3 ≤9,∴0≤x≤2.令( 当 t=
x

x

x

x

x

1 x 1 1 2 2 ) =t,则 ≤t≤1,y=4t -4t+2=4(t- ) +1, 2 4 2

1 即 x=1 时,ymin=1;当 t=1 即 x=0 时,ymax=2. 2

17. (1)当 a ? 1 时,定义域为 ? 0, ??? ,当 0 ? a ? 1 时,定义域为 ? ??,0? . (2)当 a ? 1 时, x ? loga ? a ?1? 时,函数值大于 1; 当 0 ? a ? 1 时, x ? loga ? a ?1? 时,函数值大于 1.
x x 试题分析: (1)由已知,a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 ,当 a ? 1 时, x ? 0 ,当 0 ? a ? 1 时, x ? 0 .

? 当 a ? 1 时,定义域为 ? 0, ??? ,当 0 ? a ? 1 时,定义域为 ? ??,0? .

6分

x x x (2)当 a ? 1 时,由 log a a ? 1 ? 1 得 a ? 1 ? a ,即 a ? a ? 1 ,? x ? loga ? a ? 1? . x x x 当 0 ? a ? 1 时,由 log a a ? 1 ? 1 得 a ? 1 ? a ,即 a ? a ? 1 ,? x ? loga ? a ?1? .

?

?

?

?

? 当 a ? 1 时, x ? loga ? a ?1? 时,函数值大于 1;
当 0 ? a ? 1 时, x ? loga ? a ?1? 时,函数值大于 1.

18.

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