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matlab与单样本t检验


第三章习题
安庆师范学院 胡云峰

3.1 对某地区的 6 名 2 周岁男婴的身高、胸围、上半臂进行测量。得样本数据如表 3.1 所示。
假设男婴的测量数据 X(a) (a=1,…,6)来自正态总体 N3(?,∑) 的随机样本。 根据以往的资 料,该地区城市 2 周岁男婴的这三项的均值向量?0=(90,58,16)’,试检验该地区农村男婴 与城市男婴是否有相同的均值向量。 表 3.1 某地区农村 2 周岁男婴的体格测量数据

男婴 1 2 3 4 5 6

身高(X1)cm 78 76 92 81 81 84

胸围身高(X2)cm 上半臂围身高(X3)cm 60.6 16.5 58.1 12.5 63.2 14.5 59 14 60.8 15.5 59.5 14

解 1.预备知识 ∑未知时均值向量的检验: H0:?=?0 H1:?≠?0

? ? n ( X ? ? ) ? N P (0, ?) ? ? ? (n ? 1) S ? WP (n ? 1, ?)
H0 成立时

? (n ? 1) n ( X ? ? ) '((n ? 1) S ) ?1 n ( X ? ? ) ? n( X ? ? ) ' S ?1 ( X ? ? ) ? T 2 ( p, n ? 1) ? (n ? 1) ? p ? 1 2 T ? F (P, n ? p ) (n ? 1) p



n? p 2 T ? F? ( p , n ? p ) 或者 T 2 ? T?2 拒绝 H 0 p (n ? 1) n? p 2 T ? F? ( p , n ? p ) 或者 T 2 ? T?2 接受 H 0 p (n ? 1)
2



这里 T? ?

p (n ? 1) F? ( p , n ? p ) n? p

2.根据预备知识用 matlab 实现本例题 算样本协方差和均值 程序 x=[78 60.6 16.5;76 58.1 12.5;92 63.2 14.5;81 59.0 14.0;81 60.8 15.5;84 59.5 14.0]; [n,p]=size(x); i=1:1:n; xjunzhi=(1/n)*sum(x(i,:)); y=rand(p,n); for j=1:1:n

y(:,j)= x(j,:)'-xjunzhi'; y=y; end A=zeros(p,p); for k=1:1:n; A=A+(y(:,k)*y(:,k)'); end xjunzhi=xjunzhi' S=((n-1)^(-1))*A 输出结果 xjunzhi = 82.0000 60.2000 14.5000 S= 31.6000 8.0400 0.5000 8.0400 3.1720 1.3100 0.5000 1.3100 1.900 然后 u=[90;58;16]; t2=n*(xjunzhi-u)'*(S^(-1))*(xjunzhi-u) f=((n-p)/(p*(n-1)))*t2 输出结果 t2 = 420.4447 f= 84.0889 所以 T ? n ( X ? ? ) ' S ( X ? ? ) =420.4447
2 ?1

F?

n? p 2 T =84.0889 p (n ? 1)
F3,3(0.01)=29.5<84.0889

查表得 F3,3(0.05)=9.28<84.0889

因此在 a=0.05 或 a=0.01 时拒绝 H 0 假设

3.2

相应于表 3.1 再给出该地区 9 名 2 周岁女婴的三项指标的测量数据如表 3.2 所示。 假设

女婴的测量数据 Y(a)(a=1,…,9)来自正态总体 N3(?,∑)的随机样本。试检验 2 周岁男婴与女 婴的均值是有无显著差异

表 3.2 某地区农村 2 周岁女婴体格测量数据

女婴 1 2 3 4 5 6 7 8 9

身高(X1)cm 80 75 78 75 79 78 75 64 80

胸围身高(X2)cm 58.4 59.2 60.3 57.4 59.5 58.1 58 55.5 59.2

上半臂围身高(X3)cm 14 15 15 13 14 14.5 12.5 11 12.5

解 1. 预备知识 有共同未知协方差阵 ? 时

H 0 : ?1 ? ?2

H1 : ?1 ? ?2

在 H 0 成立的情况下且两样本独立

? n?m ( X ? Y ) ? N P (0, ?) ? n?m ? ?(n ? m ? 2) S ? (n ? 1) S ? (m ? 1) S ? W (n ? m ? 2, ?) ? X Y P ? n?m ?? ? n?m ? ? (n ? m ? 2) ? ( X ? Y) ? ((n ? m ? 2) S ) ?1 ? ( X ? Y) ? ? n?m ? ? n?m ? ? n?m ?? ? n?m ? ?? ( X ? Y ) ? S ?1 ? ( X ? Y )? ? n?m ? ? n?m ? n?m ? ( X ? Y) ' S ?1 ( X ? Y) ? T 2 ( P, n ? m ? 2) n?m n ? m ? 2 ? p ?1 2 ? T ? F ( P , n ? m ? p ? 1) p (n ? m ? 2)
给定检验水平 ? ,查 F 分布表,使 p ? F ? F? ? ? ? ,可确定出临界值 F? ,再用样本值计 算出 F ,若 F ? F? ,则否定 H 0 ,否则接受 H 0 。 2.根据预备知识用 matlab 实现本例题 由上一题知道 xjunzhi = 82.0000 60.2000

14.5000 Sx = 31.6000 8.0400 0.5000 8.0400 3.1720 1.3100 0.5000 1.3100 1.900 类似程序 xjunzhi=[82;60.2;14.5]; Sx=[31.6 8.04 0.5;8.04 3.1720 1.3100;0.5 1.31 1.9]; n=6; y=[80.0 58.4 14.0;75.0 59.2 15;78 60.3 15;75.0 57.4 13.0;79 59.5 14.0;78 58.1 14.5;75 58.0 12.5;64 55.5 11.0;80 59.2 12.5]; [m,p]=size(y); i=1:1:m; yjunzhi=(1/m)*sum(y(i,:)); z=rand(p,m); for j=1:1:m z(:,j)= y(j,:)'-yjunzhi'; z=z; end B=zeros(p,p); for k=1:1:m; B=B+(z(:,k)*z(:,k)'); end Sy=((m-1)^(-1))*B; yjunzhi=yjunzhi' S=(1/(n+m-2))*((n-1)*Sx+(m-1)*Sy) 得到结果 yjunzhi = 76.0000 58.4000 13.5000 S= 27.2308 6.5615 2.8462 6.5615 2.4323 1.4000 2.8462 1.4000 1.8462 然后 t=((n*m)/(n+m))*((xjunzhi-yjunzhi)')*(S^(-1))*(xjunzhi-yjunzhi) F=((n+m-p-1)/(p*(n+m-2)))*t 输出结果 t = 5.3117 F= 1.4982 查表得 F0.05(3,11)=3.59>1.4982 F0.01(3,11)=6.22>1.4982 因此在 a=0.05 或 a=0.01 时接受 H 0 假设


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