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第一章 算法初步


第一章

算法初步

复 备 记

授课时间:第

1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念 周 年 月 日(星期



教学分析 算法在中学数学课程中是一个新的概念, 但没有一个精确化的定义, 教科书只对它作了 如下描述:“在数学中,算法通常是指按照一

定规则解决某一类问题的明确有限的步骤 .”为 了让学生更好理解这一概念,教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发, 归纳出了二元一次方程组的求解步骤, 这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中, 应从学生非常熟悉的例子引出算法,再通过例题加以巩固. 三维目标 1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点. 2.通过例题教学,使学生体会设计算法的基本思路. 3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时,激发学生学习数学的兴趣. 重点难点 教学重点:算法的含义及应用. 教学难点:写出解决一类问题的算法. 教学过程 导入新课 思路 1(情境导入) 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有 人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请 同学们写出解决问题的步骤,解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路 2(情境导入) 大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧, 宋丹丹说了一个笑话, 把大象装进冰箱总共分 几步? 答案:分三步,第一步:把冰箱门打开;第二步:把大象装进去;第三步:把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法,今天我们开始学习算法的概念. 思路 3(直接导入) 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分, 也是计算机科学的重要基础.在现代社会里, 计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画 卡通画、 处理数据, 计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题, 算法的学习是一个开始. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)解二元一次方程组有几种方法? (2)结合教材实例 ?

? x ? 2 y ? ?1,(1) 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤. ?2 x ? y ? 1, (2) ? x ? 2 y ? ?1,(1) 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤. ?2 x ? y ? 1, (2)

(3)结合教材实例 ?

(4)请写出解一般二元一次方程组的步骤. (5)根据上述实例谈谈你对算法的理解. (6)请同学们总结算法的特征. (7)请思考我们学习算法的意义.

备 记 录

讨论结果: (1)代入消元法和加减消元法. (2)回顾二元一次方程组

? x ? 2 y ? ?1,(1) 的求解过程,我们可以归纳出以下步骤: ? ?2 x ? y ? 1, (2)
第一步,①+②× 2,得 5x=1.③ 第二步,解③,得 x=

1 . 5 3 . 5

第三步,②-①× 2,得 5y=3.④ 第四步,解④,得 y=

1 ? x? , ? ? 5 第五步,得到方程组的解为 ? ?y ? 3. ? 5 ?
(3)用代入消元法解二元一次方程组

? x ? 2 y ? ?1,(1) 我们可以归纳出以下步骤: ? ?2 x ? y ? 1, (2)
第一步,由①得 x=2y-1.③ 第二步,把③代入②,得 2(2y-1)+y=1.④ 第三步,解④得 y=

3 .⑤ 5 3 5 1 . 5

第四步,把⑤代入③,得 x=2× -1=

1 ? x? , ? ? 5 第五步,得到方程组的解为 ? ?y ? 3. ? 5 ?
(4)对于一般的二元一次方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 , (1) ? a 2 x ? b2 y ? c 2 , ( 2 )

其中 a1b2-a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤: 第一步,①× b2-②× b1,得 (a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2.③ 第二步,解③,得 x=

b2 c1 ? b1c2 . a1b2 ? a 2 b1 a1c2 ? a 2 c1 . a1b2 ? a 2 b1

第三步,②× a1-①× a2,得(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1.④ 第四步,解④,得 y=

b2 c1 ? b1c 2 ? x ? , ? a1b2 ? a 2 b1 ? 第五步,得到方程组的解为 ? ? y ? a1c 2 ? a 2 c1 . ? a1b2 ? a 2 b1 ?
(5)算法的定义:广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,那么我们可以说洗衣机的使 用说明书是操作洗衣机的算法,菜谱是做菜的算法等等. 在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在,算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题. (6)算法的特征:①确定性:算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是 可有可无的,甚至无用的步骤,“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性:算法从 开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣, 分工明确, “前一步”是“后一步”的前提, “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性: 算法要有明确的开始和结束, 当到达终止步骤时所要 解决的问题必须有明确的结果, 也就是说必须在有限步内完成任务, 不能无限制地持续进行. (7)在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题,这些步骤称 为解决这些问题的算法.也就是说,算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是 机械的,有时需进行大量重复的计算,它的优点是一种通法,只要按部就班地去做,总能得 到结果.因此算法是计算科学的重要基础. 应用示例 思路 1 例 1 (1)设计一个算法,判断 7 是否为质数. (2)设计一个算法,判断 35 是否为质数. 算法分析: (1)根据质数的定义,可以这样判断:依次用 2—6 除 7,如果它们中有一个能 整除 7,则 7 不是质数,否则 7 是质数. 算法如下: (1)第一步,用 2 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 2 不能整除 7. 第二步,用 3 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 3 不能整除 7. 第三步,用 4 除 7,得到余数 3.因为余数不为 0,所以 4 不能整除 7. 第四步,用 5 除 7,得到余数 2.因为余数不为 0,所以 5 不能整除 7. 第五步,用 6 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 6 不能整除 7.因此,7 是质数. (2)类似地,可写出“判断 35 是否为质数”的算法:第一步,用 2 除 35,得到余数 1.因为 余数不为 0,所以 2 不能整除 35. 第二步,用 3 除 35,得到余数 2.因为余数不为 0,所以 3 不能整除 35. 第三步,用 4 除 35,得到余数 3.因为余数不为 0,所以 4 不能整除 35. 第四步,用 5 除 35,得到余数 0.因为余数为 0,所以 5 能整除 35.因此,35 不是质数. 点评:上述算法有很大的局限性,用上述算法判断 35 是否为质数还可以,如果判断 1997 是否为质数就麻烦了,因此,我们需要寻找普适性的算法步骤. 变式训练 请写出判断 n(n>2)是否为质数的算法. 分析:对于任意的整数 n(n>2),若用 i 表示 2—(n-1)中的任意整数,则“判断 n 是否为质数” 的算法包含下面的重复操作: 用 i 除 n,得到余数 r.判断余数 r 是否为 0, 若是, 则不是质数; 否则,将 i 的值增加 1,再执行同样的操作. 这个操作一直要进行到 i 的值等于(n-1)为止. 算法如下:第一步,给定大于 2 的整数 n. 第二步,令 i=2.

复 备 记

备 记 录

第三步,用 i 除 n,得到余数 r. 第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则 n 不是质数,结束算法;否则,将 i 的值增加 1, 仍用 i 表示. 第五步,判断“i>(n-1)”是否成立.若是,则 n 是质数,结束算法;否则,返回第三步. 例 2 写出用“二分法”求方程 x2-2=0 (x>0)的近似解的算法. 分析:令 f(x)=x2-2,则方程 x2-2=0 (x>0)的解就是函数 f(x)的零点. “二分法”的基本思想是:把函数 f(x)的零点所在的区间[a,b](满足 f(a)· f(b)<0)“一分 为二”,得到[a,m]和[m,b].根据“f(a)·f(m)<0”是否成立,取出零点所在的区间[a,m]或 [m,b] ,仍记为[a,b].对所得的区间[a,b]重复上述步骤,直到包含零点的区间[a,b]“足 够小”,则[a,b]内的数可以作为方程的近似解. 解:第一步,令 f(x)=x2-2,给定精确度 d. 第二步,确定区间[a,b] ,满足 f(a)· f(b)<0. 第三步,取区间中点 m=

a?b . 2

第四步,若 f(a)· f(m)<0,则含零点的区间为[a,m] ;否则,含零点的区间为[m,b].将新得 到的含零点的区间仍记为[a,b]. 第五步,判断[a,b]的长度是否小于 d 或 f(m)是否等于 0.若是,则 m 是方程的近似解; 否则,返回第三步. 当 d=0.005 时,按照以上算法,可以得到下表. a 1 1 1.25 1.375 1.375 1.406 25 1.406 25 1.414 062 5 1.414 062 5 b 2 1.5 1.5 1.5 1.437 5 1.437 5 1.421 875 1.421 875 1.417 968 75 |a-b| 1 0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.031 25 0.015 625 0.007 812 5 0.003 906 25

于是,开区间(1.414 062 5,1.417 968 75)中的实数都是当精确度为 0.005 时的原方程的 近似解.实际上,上述步骤也是求 2 的近似值的一个算法. 点评:算法一般是机械的,有时需要进行大量的重复计算,只要按部就班地去做,总能算出 结果,通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完 成,实际上处理任何问题都需要算法.如:中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判 准则;而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;再比如申请出国有一系列的 先后手续,购买物品也有相关的手续…… 思路 2 例 1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没 有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请 设计算法. 分析: 任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量, 还应考虑到两岸的动物都得 保证狼的数量要小于羚羊的数量, 故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼, 这样才能 使得两岸的羚羊数量占到优势.

解:具体算法如下: 算法步骤: 第一步:人带两只狼过河,并自己返回. 第二步:人带一只狼过河,自己返回. 第三步:人带两只羚羊过河,并带两只狼返回. 第四步:人带一只羊过河,自己返回. 第五步:人带两只狼过河. 点评: 算法是解决某一类问题的精确描述, 有些问题使用形式化、 程序化的刻画是最恰当的. 这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达,要善于分析任何可能出现的情况,体 现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决,在现 实生活中,很多较复杂的情境经常遇到这样的问题,设计算法的时候,如果能够合适地利用 某些步骤的重复,不但可以使得问题变得简单,而且可以提高工作效率. 知能训练 设计算法判断一元二次方程 ax2+bx+c=0 是否有实数根. 解:算法步骤如下: 第一步,输入一元二次方程的系数:a,b,c. 第二步,计算 Δ=b2-4ac 的值. 第三步,判断 Δ≥0 是否成立.若 Δ≥0 成立,输出“方程有实根”;否则输出“方程无实根”,结 束算法. 点评:用算法解决问题的特点是:具有很好的程序性,是一种通法.并且具有确定性、逻辑 性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点. 拓展提升 中国网通规定:拨打市内电话时,如果不超过 3 分钟,则收取话费 0.22 元;如果通话 时间超过 3 分钟, 则超出部分按每分钟 0.1 元收取通话费, 不足一分钟按一分钟计算.设通话 时间为 t(分钟) ,通话费用 y(元) ,如何设计一个程序,计算通话的费用. 解:算法分析: 数学模型实际上为:y 关于 t 的分段函数. 关系式如下:

复 备 记

?0.22, (0 ? t ? 3), ? y= ?0.22 ? 0.1(t ? 3), (t ? 3, t ? Z ), ?0.22 ? 0.1([T ? 3] ? 1), (T ? 3, t ? Z ). ?
其中[t-3]表示取不大于 t-3 的整数部分. 算法步骤如下: 第一步,输入通话时间 t. 第二步,如果 t≤3,那么 y=0.22;否则判断 t∈Z 是否成立,若成立执行 y=0.2+0.1× (t-3);否则执行 y=0.2+0.1× ( [t-3]+1). 第三步,输出通话费用 c. 课堂小结 (1)正确理解算法这一概念. (2)结合例题掌握算法的特点,能够写出常见问题的算法. 作业 课本本节练习 1、2.


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