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《导数的概念与运算》教案


个性化教学方案
教师姓名 学科 阶段 课题名称 陈贻阳 数学 第(2)周 学生姓名 年级 观察期:□ 陈景瑜 三 维护期:□ 填写时间 教材版本 上课时间 课时计划 2010-9-9 新课标

2010-9-11
第( 2)次课 共( )次课

导数的概念与运算

1.了解导数的概念,能利用导数定义求

导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的 概念. 2.熟记基本导数公式(c,x m (m 为有理数),sin x, cos x, e x , a x , lnx, log a x 的导数) 。掌握两 教学目标 个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数,能够利用导数 求单调区间,求一个函数的最大(小)值的问题,掌握导数的基本应用. 3.了解函数的和、差、积的求导法则的推导,掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函 数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。 4.了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复 合函数的求导法则,并会用法则解决一些简单问题。 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念。掌握两个函数四则运 算的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值

教学重点 难 点

一 基础知识详析
导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数 的学习,主要是以下几个方面: 1.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微) ; (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线) ; (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于 n 次多项式 的导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快 捷简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的 一个方向,应引起注意。 4.曲线的切线 在初中学过圆的切线,直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆 的切线,惟一的公共点叫做切点.圆是一种特殊的曲线,能不能将圆的切线的概念推广为一段 曲线的切线,即直线和曲线有惟一公共点时,直线叫做曲线过该点的切线,显然这种推广是不 妥当的.如图 3—1 中的曲线 C 是我们熟知的正弦曲线 y=sinx.直线 l1 与曲线 C 有惟一公共点 M,但我们不能说直线 l1 与曲线 C 相切;而直线 l 2 尽管与曲线 C 有不止一个公共点,我们还是

教学过程

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说直线 l 2 是曲线 C 在点 N 处的切线. 因此, 对于一般的曲线, 须重新寻求曲线的切线的定义. 所 以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.

5.瞬时速度 在高一物理学习直线运动的速度时,涉及过瞬时速度的一些知识,物理教科书中首先指 出:运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度,然后从实际测量速度出发,结 合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明.物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了 极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度. 6.导数的定义 导数定义与求导数的方法是本节的重点,推导导数运算法则与某些导数公式时,都是以 此为依据. 对导数的定义,我们应注意以下三点: (1)△ x 是自变量 x 在 x 0 处的增量(或改变量). (2)导数定义中还包含了可导或可微的概念, 如果△ x→0 时, 在点 x 0 处可导或可微,才能得到 f(x)在点 x 0 处的导数. (3)如果函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,那么函数 y=f(x)在点 x 0 处连续(由连续函数定义可 知).反之不一定成立.例如函数 y=|x|在点 x=0 处连续,但不可导. 由导数定义求导数,是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行: (1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

?y 有极限, 那么函数 y=f(x) ?x

(2)求平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x
?x ?0

(3)取极限,得导数 f ' ( x0 ) ? lim 7.导数的几何意义

?y 。 ?x

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函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数, 就是曲线 y=(x)在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率. 由此, 可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步: (1)求出函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数,即曲线 y=f(x)在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为

y ? y 0 ? f ' ( x0 )( x ? x0 )
特别地,如果曲线 y=f(x)在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线平行于 y 轴,这时导数不存,根据 切线定义,可得切线方程为 x ? x0 8.和(或差)的导数 对于函数 f ( x) ? x ? x 的导数,如何求呢?我们不妨先利用导数的定义来求。
3 2

f ' ( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 3 ? ( x ? ?x) 2 ? ( x 3 ? x 2 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x

3 x 2 ? ?x ? 3 x(?x) 2 ? (?x) 3 ? 2 x ? ?x ? (?x) 2 ? lim ?x ? 0 ?x 2 ? lim (3 x ? 2 x ? 3 x ? ?x ? (?x) 2 ? ?x)
?x ? 0

? 3x 2 ? 2 x
我们不难发现 ( x ? x )' ? 3x ? 2 x ? ( x )'?( x )' ,即两函数和的导数等于这两函数的导
3 2 2 3 2

数的和。 由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想,这就是两个函 数的和(或差)的求导法则。 9.积的导数 两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点,证明过程中变形的关键是依据导数 定义的结构形式。 (具体过程见课本 P120) 说明: (1) (uv)' ? u ' v' ; (2)若 c 为常数,则(cu) ′=cu′。 10.商的导数 两个函数的商的求导法则,课本中未加证明,只要求记住并能运用就可以。现补充证明 如下: 设 y ? f ( x) ?

u ( x) v( x)

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?y ?

u(x ? ?x) u ( x) u ( x ? ?x)v( x) ? u ( x)v( x ? ?x) ? ? v( x ? ?x) v( x) v( x ? ?x)v( x) ?u ( x ? ?x) ? u ( x)?v( x) ? u ( x)?v( x ? ?x) ? v( x)? ? v( x ? ?x)v( x)

u ( x ? ?x) ? u ( x) v( x ? ?x) ? v( x) v( x) ? u ( x) ?y ?x ?x ? ?x v( x ? ?x)v( x)
因为 v(x)在点 x 处可导,所以它在点 x 处连续,于是△x→0 时,v(x+△x)→v(x),从而

?y u ' ( x)v( x) ? u ( x)v' ( x) ? ?x ?0 ?x ?v( x)?2 lim
说明: (1) ? ?' ?

即 y ' ? ? ?' ?

?u? ?v?

u ' v ? uv' 。 v2

?u? ?v?

u' ; v'

(2) ? ?' ?

?u? ?v?

u ' v ? uv' v2

学习了函数的和、差、积、商的求导法则后,由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、 乘、除运算得到的简单的函数,均可利用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义 去求。 11. 导数与函数的单调性的关系 ㈠ f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系。

f ?( x) ? 0 能推出 f (x) 为增函数,但反之不一定。如函数 f ( x) ? x 3 在 (??,??) 上单调
递增,但 f ?( x) ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的充分不必要条件。 ㈡ f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系。 若将 f ?( x) ? 0 的根作为分界点,因为规定 f ?( x) ? 0 ,即抠去了分界点,此时 f (x) 为增 函数,就一定有 f ?( x) ? 0 。∴当 f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的充分必要条件。 ㈢ f ?( x) ? 0 与 f (x) 为增函数的关系。 一定可以推出 f ?( x) ? 0 , 但反之不一定, 因为 f ?( x) ? 0 , 即为 f ?( x) ? 0 f (x) 为增函数, 或 f ?( x) ? 0 。当函数在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数,函数不具有单调性。∴

f ?( x) ? 0 是 f (x) 为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三 个关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区 间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问

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题,要谨慎处理。 ㈣单调区间的求解过程,已知 y ? f (x) (1)分析 y ? f (x) 的定义域; (2)求导数 y ? ? f ?(x)

(3)解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间 (4)解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系, 才能准确无误地判断函数的单 调性。以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数 y ? f (x) 在某个区间内可导。 ㈤函数单调区间的合并 函数单调区间的合并主要依据是函数 f (x) 在 (a, b) 单调递增,在 (b, c) 单调递增,又知 函数在 f ( x) ? b 处连续,因此 f (x) 在 (a, c) 单调递增。同理减区间的合并也是如此,即相邻 区间的单调性相同,且在公共点处函数连续,则二区间就可以合并为以个区间。

y ? f (x)

x ? [a , b]
∴ y ? f (x) 为 (a , b) 上 ?

(1) f ?( x) ? 0 恒成立

∴ 对任意 x ? (a , b) 不等式 (2) f ?( x) ? 0 恒成立

f (a) ? f ( x) ? f (b)

恒成立

∴ y ? f (x) 在 (a , b) 上 ? 恒成立

∴ 对任意 x ? (a , b) 不等式 f (a) ? f ( x) ? f (b)

注意事项
1.导数概念的理解. 2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值. 复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例,引出复合函数的 求导法则,接下来对法则进行了证明。 对于复合函数,以前我们只是见过,没有专门定义和介绍过它,课本中以描述性的方式对 复合函数加以直观定义,使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识,再结合以后的例题、 习题就可以逐步了解复合函数的概念。 3.要能正确求导,必须做到以下两点: (1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则,复合函数的 求导法则。 (2)对于一个复合函数,一定要理清中间的复合关系,弄清各分解函数中应对哪个变量 求导。 4.求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行:

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(1)适当选定中间变量,正确分解复合关系; (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导) ; (3)把中间变量代回原自变量(一般是 x)的函数。 也就是说,首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系 y=f(μ ),μ =f(x);然后 将已知函数对中间变量求导 ( y ' ? ) ,中间变量对自变量求导 ( ? ' x ) ;最后求 y ' ? ?? ' x ,并将中间 变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后,可以省略中 间过程。若遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。

二 常见题型
题型 1------求函数的导数
例题 1 2 3 4 求下列函数的导数 f(x)=x 1 ? x 2 f(x)= ㏑(cot
x ) 2

f(x)= ㏑(x+ 1 ? x 2

)

ax ? b f(x)= x (a ? 0,a ? 1) a ?b

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题型 2------函数的可导性分析
? 1? x2 ?1 ( x ? 0) ? ? x 设函数 f(x)= ? ,试推断 f(x)在点 x=o 处是否可导 ? ? 0( x ? 0) ?

例题

题型 3-------抽象函数的导数
例 题 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且 对 任 何 x 1 ,x
2

?R,都有

f(x 1 + x 2 )=f( x 1 )f( x 2 ),若 f(0)= ? 0, f ' (0)=1,证明:对任意 x ? R,都有 f ' (x)=f(x).

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题型 4------在导数的条件下求参数的值
例 已知函数 f(x)=x 3 +ax 2 4a (a 为实常数),若存在 x 0 ? R,使得 f ' ( x 0 )=0 3

且 f (x 0 )=0,求 a 的值

题型 5-------利用导数求切线的方程以及分析切线的性质
例 已知抛物线 C 1 :y=x 2 +2x 和 C 2 :y=-x 2 +a,求当 a 取何值时, C 1 和 C 2 有

且仅有一条公切线

【拓展变式】

m (m ? 0,为常数)和点 M(1,1) x (1)证明:过点 M 可作两条直线与曲线 C 相切 (2)设(1)中两条切线的切点分别为 A,B.证明:A,B 两点关于直线 y=x 对称.

已知曲线 C:y=

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题型 6--------与切线有关的证明
例 已知 a ? 0,为常数,函数 f(x)=
2 1 ? ax ,x ? (0,+∞),设 0 ? x1 ? ,曲线 y=f(x)在 a x

点 M(x 1 ,f(x 1 ))处的切线 L 与 x 轴的交点为 N(x 2 ,0)证明: (1) 0 ? x 2 ? (2) 若 x 1 ?
1 a

1 1 ,则 x 1 ? x 2 ? a a

【拓展变式】求证:双曲线 xy=a 2 (a>0)上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三 角形的面积为定值

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三 范例分析
例 1.已知 f(x)在 x=a 处可导,且 f′(a)=b,求下列极限: (1) lim

h ?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) f (a ? 3h) ? f (a ? h) ; (2) lim h ?0 h 2h

分析:在导数定义中,增量△x 的形式是多种多样,但不论△x 选择哪种形式,△y 也必须选

择相对应的形式。利用函数 f(x)在 x ? a 处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等变形转化 为导数定义的结构形式。 解: (1) lim
h ?0

f (a ? 3h) ? f (a ? h) f (a ? 3h) ? f (a) ? f (a) ? f (a ? h) ? lim h ?0 2h 2h

f (a ? 3h) ? f (a) f ( a ) ? f ( a ? h) ? lim h ?0 h ?0 2h 2h 3 f (a ? 3h) ? f (a ) 1 f ( a ? h) ? f ( a ) ? lim ? lim 2 h ?0 3h 2 h ?0 ?h 3 1 ? f ' (a) ? f ' (a) ? 2b 2 2 ? lim
(2) lim

h ?0

? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim ? h? h ?0 h h2 ? ?

? lim

h ?0

f (a ? h 2 ) ? f (a) ? lim h ? f ' (a) ? 0 ? 0 h ?0 h2

说明:只有深刻理解概念的本质,才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变 形,使极限式转化为导数定义的结构形式。 例 2.观察 ( x )? ? nx
n n ?1

, (sin x)? ? cos x , (cos x)? ? ? sin x ,是否可判断,可导的奇

函数的导函数是偶函数,可导的偶函数的导函数是奇函数。

解:若 f (x) 为偶函数

f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f ?( x) ?x ?0 ?x f (? x ? ?x) ? f (? x) f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?(? x) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ? ?x ? ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ? ? ? f ?( x) ?x ?0 ??
f ( ? x) ? f ( x)
令 lim

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证: f ? ? [ f (? x)]? ? f ?(? x) ? (? x)? ? ? f ?( x) ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

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例 3. (1)求曲线 y ?

2x 在点(1,1)处的切线方程; x ?1 t ?1 (2)运动曲线方程为 S ? 2 ? 2t 2 ,求 t=3 时的速度。 t
2

分析: 根据导数的几何意义及导数的物理意义可知, 函数 y=f(x)在 x 0 处的导数就是曲线 y=f(x) 在点 p( x0 , y 0 ) 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对时间的导数。 解: (1) y ' ?

2( x 2 ? 1) ? 2 x ? 2 x 2 ? 2x 2 ? 2 , ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2

2?2 ? 0 ,即曲线在点(1,1)处的切线斜率 k=0 4 2x 因此曲线 y ? 2 在(1,1)处的切线方程为 y=1 x ?1 y' | x ?1 ?
(2) S ' ? ?

? t ? 1? '?(2t 2 )' 2 ? ? t ?

t 2 ? 2t (t ? 1) 1 2 ? ? 4t ? ? 2 ? 3 ? 4t 4 t t t

1 2 26 S ' | t ?3 ? ? ? ? 12 ? 11 。 9 27 27
例 4. 求下列函数单调区间 (1) y ? f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2x ? 5 2

(2) y ?

x2 ?1 x
k2 ? x (k ? 0) x
2

(3) y ?

(4) y ? 2 x ? ln ? 解: (1) y ? ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ? 1) x ? (?? , ? ) ? (1 , ? ?) 时 y ? ? 0
2

2 3

x ? (?

2 , 1) y ? ? 0 3
(2) y ? ?

∴ ( ?? , ? ) , (1 , ? ?) ? (?

2 3

2 , 1) ? 3

x2 ?1 x2

∴ (?? , 0) , (0 , ? ?) ?

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k2 (3) y ? 1 ? 2 x
∴ x ? (?? , ? k ) ? (k , ? ?) ∴ (?? , ? k ) , (k , ? ?) ? (4) y? ? 4 x ?

y? ? 0

x ? (?k , 0) ? (0 , k ) y ? ? 0

(?k , 0) , (0 , k ) ?
定义域为 (0 , ? ?)

1 4x2 ?1 ? x x
?

1 x ? (0 , ) y ? ? 0 2

1 x ? ( , ? ?) y ? ? 0 2

?


1

2010 年高考导数应用综合题选
2010 年安徽卷 (第 20 题)
设函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? x ? 1,0 ? x ? 2? ,求函数 f ( x) 的单调区间与极值.

2

2010 年数学(文) (北京卷)(18) (本小题共 14 分)
设定函数 f ( x) ?

a 3 ' 且方程 f ( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1, 4。 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) , 3

(Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围。

3

2010 浙江省数学(文科)试题(21) (本题满分 15 分)
已知函数 f(x)=(x-a)2(x-b) (a,b∈R,a<b). (Ⅰ)当 a=1,b=2 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)设 x1,x2 是 f(x)的两个极值点,x3 是 f(x)的一个零点,且 x3≠x1,x3≠x2. 证明:存在实数 x4,使得 x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列 后构成等差数列,并求 x4.

4

2010 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学
(21)本小题满分 12 分)

设函数 f ? x ? ? x e ? 1 ? ax
x

?

?

2

(Ⅰ)若 a=

1 ,求 f ? x ? 的单调区间;[来源:学科网] 2

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(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ? x ? ≥0,求 a 的取值范围

5

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科数学 试卷
22.(本小题 满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? b 的图象在点 P(0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 3x ? 2 . 3 m 是 ? 2, ?? ? 上的增函数. x ?1

(Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ?

(i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取最大值时, 是否存在点 Q, 使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图 形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

四、强化训练
1 若 lim
?x ?0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ' ( x0 ) 等于 3?x





A.

2 3
3

B.

3 2

C.3

D.2 ( )

2.曲线 y ? x ? 3x 上切线平行于 x 轴的点的坐标是

A. (-1,2) B. (1,-2) C. (1,2) D. (-1,2)或(1,-2) 3. 若函数 f(x)的导数为 f′(x)=-sinx, 则函数图像在点 (4,(4) 处的切线的倾斜角为 f ) ( A.90° B.0° C.锐角 D.钝角 4.函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 5 在[0,3]上的最大值、最小值分别是 (
3 2





A.5,-15

B.5,-4

C.-4,-15

D.5,-16

5.一直线运动的物体,从时间 t 到 t+△t 时,物体的位移为△s,那么 lim A.从时间 t 到 t+△t 时,物体的平均速度 B.时间 t 时该物体的瞬时速度 C.当时间为△t 时该物体的速度 D.从时间 t 到 t+△t 时位移的平均变化率

?s 为( ?t ?0 ?t



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6.设 f(x)在 x 0 处可导,下列式子中与 f ' ( x0 ) 相等的是 (1) lim





?x ?0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) ; 2?x

(2) lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? ?x) ; ?x

(3) lim

?x ?0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ? ?x) ?x
B. (3) (1)

(4) lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? 2?x) 。 ?x
D. (2) (4) (1) (3)

A. (2) (1)

C. (3) (2)

7.已知曲线 y ? x ?

1 x

,则 y ' | x ?1 ? _____________。

8.y=x2ex 的单调递增区间是 9.求曲线 y=xcosx 在 x ?

?
2

处的切线方程。

10.已知曲线 C1

: y ? x 2 与 C 2 : y ? ?( x ? 2) 2 。直线 l 与 C1 、 C 2 都相切,求直线 l 的方程。

11.设 f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100),求 f′(1)。 12.求证方程 x ? lg x ? 1 在区间 (2 , 3) 内有且仅有一个实根 13. a 、 b 、 x 、 y 均为正数 且 a ? b ? 1 n ? N n ? 1 求证: ax ? by ? (ax ? by)
n n n

本节课教学计划完成情况:照常完成□ 学生的接受程度:完全能接受□ 学生的课堂表现:很积极□ 课后记 学生上次的作业完成情况:数量 配合需求:家 长: 学管师: 班主任签字 家长或学生签字

提前完成□

延后完成□

部分能接受□ 一般□

不能接受□ 不积极□ 分 存在问题

比较积极□

% 完成质量

教研主任审批

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五、参考答案
1-5 BDCABB 7.

1 2

8.(-∞,-2)与(0,+ ∞) 9.Y’=x'cosx+x·(cosx)'=cosx-xsinx

y'|

x?

?
2

??

?
2

,切点为 ?

?? ? ,0 ? , ?2 ?

∴切线方程为: y ? 0 ? ?

?

(x ? ) 2 2
2

?

即 2?x ? 4 y ? ?

2

? 0。

10.解:设 l 与 C1 相切于点 P( x1 , x1 ) ,与 C 2 相切于 Q( x 2 ,?( x 2 ? 2) ) 。对 C1 : y ' ? 2 x ,则与 C1 相切于
2

点 P 的切线方程为 y ? x1 ? 2 x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 2 x1 x ? x1 。
2
2



对 C 2 : y ' ? ?2( x ? 2) ,则与 C 2 相切于点 Q 的切线方程为
2 y ? ( x2 ? 2) 2 ? ?2( x2 ? 2)( x ? x2 ) ,即 y ? ?2( x2 ? 2) x ? x2 ? 4 。



∵ 两切线重合,∴ ?

?2 x1 ? ?2( x 2 ? 2)
2 2 ?? x1 ? x 2 ? 4



解得 ?

? x1 ? 0, ? x1 ? 2 或? , ? x 2 ? 2; ? x 2 ? 0

∴直线方程为 y=0 或 y=4x-4。

11.解: ∴

令 x=1 得

12 解: y ? f ( x) ? x lg x ? 1

y ? ? lg x ? lg 10 ? lg 10 x

x ? (2 , 3) y ? ? 0

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y ? f (x) 在 (2 , 3) ?

f (2) ? lg

4 ?0 10

f (3) ? lg 2.7 ? 0

∴ y ? f (x) 在 (2 , 3) 内与 x 轴有且仅有一个交点 ∴ 方程 x ? lg x ? 1 在 (2 , 3) 内仅有一解

13.证:由对称性不妨设 x ? y (1)若 x ? y 显然成立 (2)若 x ? y ∴ f ?( x) ? nax 设 f ( x) ? ax ? by ? (ax ? by)
n n
n ?1

n

? n(ax ? by)n?1 ? a

? na[( a ? b) n?1 x n?1 ? (ax ? by) n?1 ] ? na[( ax ? bx) n?1 ? (ax ? by) n?1 ]
∵ x? y ∴ f ?( x) ? 0
n

∴ x ? ( y , ? ?) 时 f (x) ?
n n

∴ f ( x) ? f ( y) ? 0

∴ ax ? by ? (ax ? by)

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