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第六章 不等式6.2


1.“三个二次”的关系 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 有两相异 实根 x1,x2 (x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1< x<x2} 有两相等实 根 x1=x2 b =- 2a {x|x≠- b } 2a {x|x∈R} 没有实数根 Δ>0 Δ=0 Δ<0

?

?

2.常用结论 (x-a)(x-b)>0 或(x-a)(x-b)<0 型不等式的解法 不等式 (x-a)· (x-b)>0 (x-a)· (x-b)<0 解集 a<b {x|x<a 或 x>b} {x|a<x<b} a=b {x|x≠a} a> b {x|x<b 或 x>a} {x|b<x<a}

?

口诀:大于取两边,小于取中间. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式 ax2+bx+c<0 的解集为(x1,x2),则必有 a>0.( √ ) x-2 (2)不等式 ≤0 的解集是[-1,2].( × x+1 )

(3)若不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程 ax2+bx+c=0 的两个根 是 x1 和 x2.( √ ) (4)若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 R.( × (5)不等式 ax +bx+c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ=b -4ac≤0.( × )
2 2

)

1.(教材改编)不等式 x2-3x-10>0 的解集是( A.(-2,5) C.(-∞,-2) 答案 D 解析 解方程 x2-3x-10=0 得 x1=-2,x2=5,

)

B.(5,+∞) D.(-∞,-2)∪(5,+∞)

由 y=x2-3x-10 的开口向上,所以 x2-3x-10>0 的解集为(-∞,-2)∪(5,+∞). 2.设集合 M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N 等于( A.(0,4] C.[-1,0) 答案 B 解析 ∵M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4}, ∴M∩N=[0,4). 1 1? 2 3.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是? ?-2,-3?,则不等式 x -bx-a<0 的解集是( A.(2,3) 1 1? C.? ?3,2? 答案 A 1 1 1 1 - ?= 解析 由题意知- , - 是方程 ax2-bx-1=0 的根, 所以由根与系数的关系得- +? 2 3 2 ? 3? 1 b 1 1 - ?=- .解得 a=-6, , - ×? b=5, 不等式 x2-bx-a<0 即为 x2-5x+6<0, 解集为(2,3). a 2 ? 3? a 4. (教材改编)若关于 x 的不等式 m(x-1)>x2-x 的解集为{x|1<x<2}, 则实数 m 的值为________. 答案 2 B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1? ?1 ? D.? ?-∞,3?∪?2,+∞? ) B.[0,4) D.(-1,0] )

解析 因为 m(x-1)>x2-x 的解集为{x|1<x<2}. 所以 1,2 一定是 m(x-1)=x2-x 的解,∴m=2. 5.(教材改编)若关于 x 的方程 x2+ax+a2-1=0 有一正根和一负根,则 a 的取值范围为 ________. 答案 (-1,1) 解析 由题意可知,Δ>0 且 x1x2=a2-1<0,故-1<a<1.

题型一 一元二次不等式的求解 命题点 1 不含参的不等式 例 1 求不等式-2x2+x+3<0 的解集. 解 化-2x2+x+3<0 为 2x2-x-3>0, 3 解方程 2x2-x-3=0 得 x1=-1,x2= , 2 3 ∴不等式 2x2-x-3>0 的解集为(-∞,-1)∪( ,+∞), 2 3 即原不等式的解集为(-∞,-1)∪( ,+∞). 2 命题点 2 含参不等式 例 2 解关于 x 的不等式:x2-(a+1)x+a<0. 解 由 x2-(a+1)x+a=0 得(x-a)(x-1)=0, ∴x1=a,x2=1, ①当 a>1 时,x2-(a+1)x+a<0 的解集为{x|1<x<a}, ②当 a=1 时,x2-(a+1)x+a<0 的解集为?, ③当 a<1 时,x2-(a+1)x+a<0 的解集为{x|a<x<1}. 引申探究 将原不等式改为 ax2-(a+1)x+1<0,求不等式的解集. 解 若 a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得 x>1. 1 1 若 a<0,原不等式等价于(x- )(x-1)>0,解得 x< 或 x>1. a a 1 若 a>0,原不等式等价于(x- )(x-1)<0. a 1 1 ①当 a=1 时, =1,(x- )(x-1)<0 无解; a a 1 1 1 ②当 a>1 时, <1,解(x- )(x-1)<0 得 <x<1; a a a

1 1 1 ③当 0<a<1 时, >1,解(x- )(x-1)<0 得 1<x< . a a a 1 综上所述:当 a<0 时,解集为{x|x< 或 x>1}; a 1 当 a=0 时,解集为{x|x>1};当 0<a<1 时,解集为{x|1<x< };当 a=1 时,解集为?;当 a>1 a 1 时,解集为{x| <x<1}. a 思维升华 含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分 类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论; (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不等式, 然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; (3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. 求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 解 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0, a a 得:x1=- ,x2= . 4 3 a a? a a ? ①a>0 时,- < ,解集为?x|x<-4或x>3?; 4 3 ? ? ②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a? a a ? ③a<0 时,- > ,解集为?x|x<3或x>-4?. 4 3 ? ? 综上所述,当 a>0 时,不等式的解集为 a a? ? ?x|x<- 或x> ?; 4 3? ? 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}; a a? ? 当 a<0 时,不等式的解集为?x|x<3或x>-4?.
? ?

题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点 1 在 R 上恒成立 例3 3 (1)若一元二次不等式 2kx2+kx- <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围为( 8 B.[-3,0) D.(-3,0)
2

)

A.(-3,0] C.[-3,0]

(2)设 a 为常数,任意 x∈R,ax +ax+1>0,则 a 的取值范围是( A.(0,4) B.[0,4)

)

C.(0,+∞) 答案 (1)D (2)B

D.(-∞,4)

3 解析 (1)2kx2+kx- <0 对一切实数 x 都成立, 8 2k<0, ? ? 则必有? 解之得-3<k<0. 3 2 ?Δ=k -4×2k×?-8?<0, ?
? ?a>0, (2)任意 x∈R,ax2+ax+1>0,则必有? 或 a=0,∴0≤a<4. 2 ?Δ=a -4a<0 ?

命题点 2 在给定区间上恒成立 例 4 设函数 f(x)=mx2-mx-1.若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 解 要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立,即 1?2 3 m? ?x-2? +4m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法: 1 3 x- ?2+ m-6,x∈[1,3]. 方法一 令 g(x)=m? ? 2? 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)?7m-6<0, 6 6 所以 m< ,所以 0<m< ; 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)?m-6<0,所以 m<6,所以 m<0. 6 综上所述:m 的取值范围是{m|m< }. 7 1?2 3 方法二 因为 x2-x+1=? ?x-2? +4>0, 又因为 m(x2-x+1)-6<0,所以 m< 6 因为函数 y= 2 = x -x+1 ? 6 . x -x+1
2

6 6 6 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 m< 即可. 1?2 3 7 7 ?x-2? +4
?

6? ? 所以,m 的取值范围是?m|m<7?.
?

命题点 3 给定参数范围的恒成立问题 例 5 对任意的 k∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(k-4)x+4-2k 的值恒大于零,则 x 的取值范围是 ________.

答案 {x|x<1 或 x>3} 解析 x2+(k-4)x+4-2k>0 恒成立, 即 g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0, 在 k∈[-1,1]时恒成立.
?x2-5x+6>0, ? 只需 g(-1)>0 且 g(1)>0,即? 2 ? ?x -3x+2>0,

解之得 x<1 或 x>3. 思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定 的区间上全部在 x 轴上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴 下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞 清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. (1)若不等式 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 ( ) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.[-2,5]

A.[-1,4] C.(-∞,-1]∪[4,+∞)

(2)已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取 值范围是________. 答案 (1)A (2)(- 2 ,0) 2

解析 (1)x2-2x+5=(x-1)2+4 的最小值为 4, 所以 x2-2x+5≥a2-3a 对任意实数 x 恒成立, 只需 a2-3a≤4,解得-1≤a≤4. (2)作出二次函数 f(x)的草图,对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0,

? ?f?m?<0, 则有? ? ?f?m+1?<0,
2 2 ? ?m +m -1<0, 2 即? 解得- <m<0. 2 2 ??m+1? +m?m+1?-1<0, ?

题型三 一元二次不等式的应用 例 6 某商品每件成本价为 80 元,售价为 100 元,每天售出 100 件.若售价降低 x 成(1 成= 8 10%),售出商品数量就增加 x 成.要求售价不能低于成本价. 5 (1)设该商店一天的营业额为 y,试求 y 与 x 之间的函数关系式 y=f(x),并写出定义域;

(2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元,求 x 的取值范围. x? 8 ? 解 (1)由题意得,y=100? 100? ?1-10?· ?1+50x?. x? 因为售价不能低于成本价,所以 100? ?1-10?-80≥0. 所以 y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为 x∈[0,2]. (2)由题意得 40(10-x)(25+4x)≥10 260, 1 13 化简得 8x2-30x+13≤0.解得 ≤x≤ . 2 4 1 ? 所以 x 的取值范围是? ?2,2?. 思维升华 求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系. (2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模 型. (3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义. (4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果. 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 12 万元/辆,年销 售量为 10 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆 车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增 加的比例为 0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? 解 (1)y=[(1+0.75x)×12-(1+x)×10]×(1+0.6x)×10 000 =-6 000x2+2 000x+20 000, 即 y=-6 000x2+2 000x+20 000(0<x<1). (2)上年利润为(12-10)×10 000=20 000. ∴y-20 000>0,即-6 000x2+2 000x>0, 1 1 ∴0<x< ,即 x 的范围为(0, ). 3 3

13.转化与化归思想在不等式中的应用 典例 (1)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________.

x2+2x+a (2)已知函数 f(x)= ,若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,则实数 a 的取值范围 x 是________. 思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系; (2)将恒成立问题转化为最值问题求解. 解析 (1)由题意知 f(x)=x2+ax+b a?2 a =? ?x+2? +b- 4 . a2 a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- =0,即 b= . 4 4 a?2 ∴f(x)=? ?x+2? . a?2 又∵f(x)<c,∴? ?x+2? <c, a a 即- - c<x<- + c. 2 2
2

?-2- ∴? a ?-2+

a

c=m, c=m+6. ②



②-①,得 2 c=6,∴c=9. (2)∵x∈[1,+∞)时,f(x)= x2+2x+a >0 恒成立,即 x2+2x+a>0 恒成立. x

即当 x≥1 时,a>-(x2+2x)=g(x)恒成立. 而 g(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1 在[1,+∞)上单调递减, ∴g(x)max=g(1)=-3,故 a>-3. ∴实数 a 的取值范围是{a|a>-3}. 答案 (1)9 (2){a|a>-3} 温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想: 函数的值域和不等式的解集转化为 a, b 满足的条件;不等式恒成立可以分离常数,转化为函数值域问题. (2)注意函数 f(x)的值域为[0,+∞)与 f(x)≥0 的区别.

[方法与技巧] 1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础, 一般可把 a<0 时的情形转化为 a>0 时的情形. 2.f(x)>0 的解集即为函数 y=f(x)的图象在 x 轴上方的点的横坐标的集合,充分利用数形结合 思想.

3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式解法进行求解. [失误与防范] 1.对于不等式 ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论 a=0 时的情形. 2.当 Δ<0 时,ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集为 R 还是?,要注意区别. 3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 1.不等式(x-1)(2-x)≥0 的解集为( A.{x|1≤x≤2} C.{x|1<x<2} 答案 A 解析 由(x-1)(2-x)≥0 可知(x-2)(x-1)≤0, 所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}.
? x≤0, ?x+2, 2.已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)≥x2 的解集为( ?-x+2,x>0, ?

) B.{x|x≤1 或 x≥2} D.{x|x<1 或 x>2}

)

A.[-1,1] C.[-2,1] 答案 A

B.[-2,2] D.[-1,2]

解析 方法一 当 x≤0 时,x+2≥x2, ∴-1≤x≤0;① 当 x>0 时,-x+2≥x2,∴0<x≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x|-1≤x≤1}. 方法二 作出函数 y=f(x)和函数 y=x2 的图象,如图,由图知 f(x)≥x2 的解集为[-1,1].

3.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围是( A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} 答案 D B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

)

解析 由题意知 a=0 时,满足条件.
? ?a>0, a≠0 时,由? 2 ?Δ=a -4a≤0, ?

得 0<a≤4,所以 0≤a≤4. 4. 已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A, 不等式 x2+x-6<0 的解集是 B, 不等式 x2+ax+b<0 的解集是 A∩B,那么 a+b 等于( A.-3 B.1 C.-1 D.3 答案 A 解析 由题意,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},A∩B={x|-1<x<2}, 则不等式 x2+ax+b<0 的解集为{x|-1<x<2}. 由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2, 所以 a+b=-3,故选 A. 5.设 a>0,不等式-c<ax+b<c 的解集是{x|-2<x<1},则 a∶b∶c 等于( A.1∶2∶3 C.3∶1∶2 答案 B 解析 ∵-c<ax+b<c,又 a>0, b+c c-b ∴- <x< . a a ∵不等式的解集为{x|-2<x<1}, c =-2, ?-b+ a ∴? c-b ? a =1, B.2∶1∶3 D.3∶2∶1 ) )

?b=2, ∴? 3 ?c=2a,

a

a 3a ∴a∶b∶c=a∶ ∶ =2∶1∶3. 2 2 1? ? 6 . 已 知 一 元 二 次 不 等 式 f(x)<0 的 解 集 为 ?x|x<-1或x>2? , 则 f(10x)>0 的 解 集 为
? ?

________________. 答案 {x|x<-lg 2} 1 解析 由已知条件 0<10x< , 2 1 解得 x<lg =-lg 2. 2 1 1 7. 若不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|- <x< }, 则不等式 2x2+bx+a<0 的解集是________. 2 3 答案 {x|-2<x<3}

1 1 解析 由题意,知- 和 是一元二次方程 ax2+bx+2=0 的两根且 a<0, 2 3

?-2+3=-a, 所以? 1 1 2 ?-2×3=a,
其解集为{x|-2<x<3}.

1

1

b

?a=-12, ? 解得? ?b=-2. ?

则不等式 2x2+bx+a<0,即 2x2-2x-12<0,

ax-1 1? ? 8.已知关于 x 的不等式 <0 的解集是?x|x<-1或x>-2?,则实数 a=________. ? ? x+1 答案 -2 解析 ax-1 <0?(x+1)(ax-1)<0, x+1

1 1 依题意,得 a<0,且 =- .∴a=-2. a 2 2a-3 9.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)= ,则实数 a 的取值范 a+1 围是________. 2 答案 (-1, ) 3 解析 ∵f(x+3)=f(x), ∴f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)<-1. ∴ 2a-3 3a-2 <-1? <0?(3a-2)(a+1)<0, a+1 a+1

2 ∴-1<a< . 3 10.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小. a 解 (1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n). 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0, 即 a(x+1)(x-2)>0. 当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< , a

∴x-m<0,1-an+ax>0. ∴f(x)-m<0,即 f(x)<m. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.已知函数 f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式 f(x)>0 的解集是(-1,3),则不等式 f(-2x)<0 的解集是( )

3 1 A.(-∞,- )∪( ,+∞) 2 2 3 1 B.(- , ) 2 2 1 3 C.(-∞,- )∪( ,+∞) 2 2 1 3 D.(- , ) 2 2 答案 A 解析 f(x)=0 的两个解是 x1=-1,x2=3 且 a<0, 由 f(-2x)<0 得-2x>3 或-2x<-1, 3 1 ∴x<- 或 x> . 2 2 12.若关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a 等于( 5 A. 2 15 C. 4 答案 A 解析 由 x2-2ax-8a2<0, 得(x+2a)(x-4a)<0,因 a>0, 所以不等式的解集为(-2a,4a), 即 x2=4a,x1=-2a,由 x2-x1=15, 5 得 4a-(-2a)=15,解得 a= . 2 13.已知函数 f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1+x) 成立,当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是( A.-1<b<0 C.b<-1 或 b>2 答案 C 解析 由 f(1-x)=f(1+x)知 f(x)图象的对称轴为直线 x=1, B.b>2 D.不能确定 ) 7 B. 2 15 D. 2 )

a 则有 =1,故 a=2. 2 由 f(x)的图象可知 f(x)在[-1,1]上为增函数. ∴x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2, 令 b2-b-2>0,解得 b<-1 或 b>2. 3 x 14.设函数 f(x)=x2-1,对任意 x∈[ ,+∞),f( )-4m2· f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实 2 m 数 m 的取值范围是________________. 答案 {m|m≤- 3 3 或 m≥ } 2 2

x2 3 解析 依据题意得 2-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)在 x∈[ ,+∞)上恒成立, m 2 即 1 3 2 3 -4m2≤- 2- +1 在 x∈[ ,+∞)上恒成立. m2 x x 2

3 3 2 5 当 x= 时,函数 y=- 2- +1 取得最小值- , 2 x x 3 1 5 所以 2-4m2≤- ,即(3m2+1)(4m2-3)≥0, m 3 解得 m≤- 3 3 或 m≥ . 2 2

x+b 15.已知函数 f(x)= 为奇函数. 1+x2 (1)证明:函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数; (2)解关于 x 的不等式 f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0. x+b x (1)证明 ∵函数 f(x)= 为定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0,即 b=0,∴f(x)= 2 (经检 1+x2 x +1 验满足题意), ?x2+1?-x· 2x 1-x2 ∴f′(x)= = 2 . 2 2 ?x +1? ?x +1?2 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数. (2)解 由 f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0, 得 f(1+2x2)>-f(-x2+2x-4). ∵f(x)是奇函数,∴f(1+2x2)>f(x2-2x+4). 又∵1+2x2>1,x2-2x+4=(x-1)2+3>1,且 f(x)在(1,+∞)上为减函数, ∴1+2x2<x2-2x+4,即 x2+2x-3<0, 解得-3<x<1. ∴不等式 f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0 的解集为{x|-3<x<1}.


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