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13.4 最短路径问题例题与讲解


13.4 课题学习

最短路径问题

1.最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题, 只要连接这两点,与直线的交点即为所求. 如图所示,点 A,B 分别是直线 l 异侧的两个点,在 l 上找一个 点 C,使 CA+CB 最短,这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点.

(2)求直线同侧的两

点与直线上一点所连线段的和最小的问题, 只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个 点,则与该直线的交点即为所求. 如图所示,点 A,B 分别是直线 l 同侧的两个点,在 l 上找一个 点 C,使 CA+CB 最短,这时先作点 B 关于直线 l 的对称点 B′,则点

C 是直线 l 与 AB′的交点.

为了证明点 C 的位置即为所求, 我们不妨在直线上另外任取一点

C′,连接 AC′,BC′,B′C′,证明 AC+CB<AC′+C′B.如下:
证明:由作图可知,点 B 和 B′关于直线 l 对称, 所以直线 l 是线段 BB′的垂直平分线. 因为点 C 与 C′在直线 l 上,

所以 BC=B′C,BC′=B′ C′. 在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′, 所以 AC+B′C<AC′+B′C′, 所以 AC+BC<AC′+C′B. 【例 1】 在图中直线 l 上找到一点 M,使它到 A,B 两点的距离 和最小.

分析:先确定其中一个点关于直线 l 的对称点,然后连接对称点 和另一个点,与直线 l 的交点 M 即 为所求的点. 解:如图所示:(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B′; (2)连接 AB′交直线 l 于点 M. (3)则点 M 即为所求的点. 点拨: 运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化 到一条直线上,然后用“两点之间线段最短”解决问题.

2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质, 将所求线段之和转化为 一条线段的长,是解决距离之和最小问题的基本思路,不论题目如何 变化, 运用时要抓住直线同旁有两点, 这两点到直线上某点的距离和 最小这个核心,所有作法都相同. 警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要 求 根据轴对

称的性质、利用三角形的三边关系,通过比较来说明最值问题是常用 的一种方法.解决这类最值问题时,要认真审题,不要只注意图形而

忽略题意要求,审题不清导致答非所问. 3.利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上. 如果两点在一 条直线的同侧时,过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最 大,如果两点在一条直线的异侧时,过两点的直线与原直线的交点处 构成的线段的和最小,都可以用三角形三边关系来推理说明,通常根 据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决. 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时, 可以通过平移河岸 的方法使河的宽度变为零, 转化为求直线异侧的两点到直线上一点所 连线段的和最小的问题. 在解决最短路径问题时, 我们通常利用轴对称、 平移等变换把不 在一条直线上的两条线段转化到一条直线上, 从而作出最短路径的方 法来解决问题. 【例 2】 如图,小河边有两个村庄 A,B,要在河边建一自来水厂 向 A 村与 B 村供水.

(1)若要使厂部到 A,B 村的距离相等,则应选择在哪建厂? (2)若要使厂部到 A,B 两村的水管最短,应建在什么地方? 分析:(1)到 A,B 两点距离相等,可联想到“线段垂直平分线上 的点到线段两端点的距离相等” ,又要在河边,所以作 AB 的垂直平分 线,与 EF 的交点即为符合条件的点. (2)要使厂部到 A 村、 B 村的距离之和最短, 可联想到 “两点之 间 线段最短” ,作 A(或 B)点关于 EF 的对称点,连接对称点与 B 点,与

EF 的交点即为所求.
解:(1)如图 1,取线段 AB 的中点 G,过中点 G 画 AB 的垂线,交

EF 于 P,则 P 到 A,B 的距离相等.也可分别以 A、B 为圆心,以大于
1 AB 为半径画弧,两弧交于两点,过这两点作直线,与 EF 的交点 P 2 即为所求. (2)如图 2,画出点 A 关于河岸 EF 的对称点 A′,连接 A′B 交

EF 于 P ,则 P 到 A,B 的距离和最短.

【例 3】 如图,从 A 地到 B 地经过一条小河(河岸平行),今欲 在河上建一座与两岸垂直的桥, 应如何选择桥的位置才能使从 A 地到

B 地的路程最短?

思路导引:从 A 到 B 要走的路线是 A→M→N→B,如图所示,而

MN 是定值,于是要使路程最短,只要 AM+BN 最短即可.此时两线段
应在同一平行方向上,平移 MN 到 AC,从 C 到 B 应是余下的路程,连 接 BC 的线段即为最短的,此时不难说明点 N 即为建桥位置,MN 即为 所建的桥. 解:(1)如图 2,过点 A 作 AC 垂直于河岸,且使 AC 等于河宽. (2)连接 BC 与河岸的一边交于点 N. (3)过点 N 作河岸的垂线交另一条河岸于点 M.

则 MN 为所建的桥的位置.

4.生活中的距离最短问题 由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知, 求距 离之和最小问题,就是运用等量代换的方式,把几条线段的和想办法 转化在一条线段上,从而解决这个问题,运用轴对称性质,能将两条 线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段,如图,AO+BO=AC 的长.所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方 法.

【例 4】 (实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会,桌 子摆成如图 a 所示两直排(图中的 AO,BO),AO 桌面上摆满了橘子,

OB 桌面上摆满了糖果,站在 C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然
后到 D 处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程 最短?

图a 解:如图 b.

图b

(1)作 C 点关于 OA 的 对称点 C1, 作 D 点关于 OB 的对称点 D1, (2) 连接 C1D1,分别交 OA,OB 于 P,Q,那么小明沿 C→P→Q→D 的路线行 走,所走的总路程最短.

5.运用轴对称解决距离之差最大问题 利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的 关键.先做出其中一点关于对称轴的对称点,然后连接对称点和另一 个点,所得直线与对称轴的交点,即为所求.根据垂直平分线的性质 和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值. 破疑点 解决距离的最值问题的关键 运用轴对称变换及三角

形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法. 【例 5】 如图所示,A,B 两点在直线 l 的两侧,在 l 上找一点

C,使点 C 到点 A、B 的距离之差最大.

分析:此题的突破点是作点 A(或 B)关于直线 l 的对称点 A′(或

B′),作直线 A′B(AB′)与直线 l 交于点 C,把问题转化为三角形任
意两边之差小于第三 边来解决. 解:如图所示,以直线 l 为对称轴,作点 A 关于直线 l 的对称点

A′,A′B 的连线交 l 于点 C,则点 C 即为所求.理由:在直线 l 上
任找一点 C′(异于点 C),连接 CA,C′A,C′A′,C′B.因为点 A,

A′关于直线 l 对称,所以 l 为线段 AA′的垂直平分线,则有 CA= CA′, 所以 CA-CB=CA′-CB=A′B.又因为点 C′在 l 上, 所以 C′ A=C′A′.在△A′BC′中,C′A-C′B=C′A′-C′B<A′B,所
以 C′A′-C′B<CA-CB. 点拨:根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系,通过比较来 说明最值问题是常用的一种方法.


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