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长宁区2016年高三数学文理科合卷一模试卷(含答案)


2015 学年长宁区第一学期高三质量检测数学试卷
一、填空题(本大题有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.不等式 x ? 3 ? 5 的解集是 2.方程 9 x ? 3x ? 2 ? 0 的解是 3.若复数 z 满足 z 2 ? z ? 1 ? 0 ,则 z ? . . . .

4.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 ? a14 ? 20 ,则 S19 ? 5.若 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 sin 2? 的值是 5

.

6.若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,在 ? ??, 0 上是单调递减的,且 f (1) ? 0 ,则使

?

f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是
7 . 设 函 数 y ? f ( x) 的 反 函 数 是 y ? f
?1

.

, ? 1, ) 则 ( x) , 且 函 数 y ? f ( x ) 过 点 P ( 2

f ?1 (? 1) ?
8. 设 常 数

.

a ? 0, (ax2 ?

1 x

)4 展 开 式 中 x3 的 系 数 为

3 2

, 则

lim(a ? a 2 ? ? ? a n ) ? _ _ _ _. _ _ _ _
n ??

9.某校要求每位学生从 8 门课程中选修 5 门,其中甲、乙两门课程至多只能选修一门,则不 同的选课方案有 种(以数字作答).

10.已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别是 an ?

an 2 ? 3 1 n?1 b , bn ? b ? a ( ) ,其中 a、 2 3 bn ? 2n ? 2

limbn ? ? 是 实 常 数 , 若 lim an ? 3,
n?? n??

1 b c 成等 差数列, 则 c 的值 , 且 a,, 4


2

.

11.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ?1 ,如果使 f ( x) ? kx 对任意实数 x ?(1 , m] 都成立的 m 的最 大值是 5 ,则实数 k ? .

???? ???? ???? ? ??? ? ???? ???? ? 12.在△ABC 中,点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,若 AB ? AC ? mAM ? 0 ,则实数 m 的值





1

2 13.设命题 p:函数 f ( x) ? lg( ax ? x ?

1 a ) 的值域为 R;命题 q:不等式 3x ? 9 x ? a 对 16
.

一切正实数 x 均成立,如果命题 p 和 q 不全为真命题,则实数 a 的取值范围是

14.定义:关于 x 的两个不等式 f ( x) ? 0 和 g ( x) ? 0 的解集分别为 ( a , b ) 和 ( , ) ,则称 这 两 个 不 等 式 为 对 偶 不 等 式 . 如 果 不 等 式 x ? 4 3x cos 2? ? 2 ? 0 与 不 等 式
2

1 1 b a

2 x2 ? 4 x sin 2? ? 1 ? 0 为对偶不等式,且 ? ? (0, ? ) ,则 ? =

.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一从此正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知集合 P ? ?0, a? , Q ? ?1, 2? ,若 P ? Q ? ? ,则 a 等于 (A) 1. (B) 2. (C) 1 或 2. (D) 3. ( )

16.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 8n ,第 k 项满足 4 ? ak ? 7 ,则 k ? ( (A) 6. (B) 7. (C) 8. (D) 9. )

1)( t ? 0) 是角 ? 终边上一点,当 | OP | 最小时, cos? 的值是 17.设点 P ( ? ,
( (A) ? )

t 2 2 t

??? ?

5 . 5

(B)

5 . 5

(C)

2 5 . 5

(D) ?

2 5 . 5

18. 关于函数 f ( x) ? x ?

a (a ? 0) , 有下列四个命题: ① f ( x ) 的值域是 (??, 0) ? (0, ??) ; x

② f ( x ) 是奇函数;③ f ( x ) 在 (??, 0) ? (0, ??) 上单调递增;④方程 | f ( x)|? a 总有 四个不同的解.其中正确的是 (A) 仅①②. (B) 仅②③. [答]( (C) 仅②④. ) (D) 仅③④.

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 关于 x 的不等式

x?a 2 ? 0 的解集为 ?? 1 , b ? . 1 x

(1)求实数 a 、 b 的值; (2)若 z1 ? a ? bi , z 2 ? cos? ? i sin ? ,且 z1 z 2 为纯虚数,求 tan

? 的值.

2

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 .中, ? BAC=90 ,AB=AC=2,AA 1 =2 2 ,E, F 分别是 CC1、
0

BC 的中点.求: (1)异面直线 EF 和 A1B 所成的角. (2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

21. (本题满分 15 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 9 分.

C 所对的边分别为 a 、 B、 b、 在 ?ABC 中, 角A、 向量 m ? (a, b), n ? (cosA, cosB), c,
p ? (2 2 sin B?C , 2 sin A) ,若 m ∥ n, | p | ? 3. 2 (1)求角 A 、 B 、 C 的值;
(2)若 x ? [0,

?
2

] ,求函数 f ( x) ? sin Asin x ? cos B cos x 的最大值与最小值.

22. (本题满分 15 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 y ? f ( x), x ? D ,如果对于定义域 D 内的任意实数 x ,对于给定的非零常数

m ,总存在非零常数 T ,恒有 f ( x ? T ) ? m ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上的 m 级类
增周期函数,周期为 T .若恒有 f ( x ? T ) ? m ? f ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上的 m 级类 周期函数,周期为 T . (1) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax 是 ?3, ? ?? 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数,求实数 a 的
2

取值范围; (2)已知 T ? 1 , y ? f ( x) 是 ?0, ? ?? 上 m 级类周期函数,且 y ? f ( x) 是 ?0, ? ?? 上的 单调递增函数,当 x ? ?0, 1? 时, f ( x) ? 2 ,求实数 m 的取值范围;
x

3

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

?1? 已知点 P 1 (a1 , b1 ) , P 2 (a 2 , b2 ) ,…, P n (an , bn ) ( n 为正整数)都在函数 y ? ? ? 的 ? 2?
图像上. (1)若数列 {an } 是等差数列,证明:数列 {bn } 是等比数列; (2)设 an ? n ( n 为正整数) ,过点 Pn , Pn ?1 的直线与两坐标轴所围成的三角形面积 为 cn ,试求最小的实数 t ,使 cn ? t 对一切正整数 n 恒成立; 一个新的数列 ?d n ?, 设 S n 是数列 ?d n ?的前 n 项和, 试探究 2016 是否数列 ?S n ? 中的某一项, 写出你探究得到的结论并给出证明. (3)对(2)中的数列 {an } ,对每个正整数 k ,在 ak 与 a k ?1 之间插入 3 k ?1 个 3 ,得到

x

4

2015 学年长宁区第一学期高三质量检测数学试卷答案
一、填空题 题号 答案 题号 答案 1 2 3 1 10 4 190 11 5 6 7 2 14

(?2,8)
8 1

x?0
9 36

?

24 25
12

(?1,1)
13
(??,0) ? (2, ??)

1 4

36 5

?3

? 5?
3 , 6

二、选择题 题号 答案 15 C 16 B 17 D 18 C

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
2 解: (1)原不等式等价于 ( x ? a) x ? 2 ? 0 ,即 x ? ax ? 2 ? 0 -------------------3 分

由题意得, ?

?? 1 ? b ? ?a 解得 a ? ?1 , b ? 2 . ?? 1? b ? ?2

------------------------6 分 ------------------------8 分

(2) z1 ? ?1 ? 2i , z1 z 2 ? (? cos ? ? 2 sin ? ) ? i(2 cos ? ? sin ? ) 若 z1 z 2 为纯虚数,则 cos ? ? 2 sin ? ? 0 ,即 tan ? ? ?

1 2

----------------------------------12 分

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)连接 BC1 ,因为 E, F 分别是 CC1、BC 的中点,所以 BC1 // FE ,因此 ?A1 BC1 即为 异面直线 EF 和 A1B 所成的角.----------------------------------3 分 因为 ? BAC=90 ,AB=AC=2,所以 BC ? 2 2 ,所以 FC ?
0

2 ,又 CC1 ? AA 1 ? 2 2 ,因

此 CE ?

2 ,所以 EF ? 2 , BC1 ? 4 ,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中, BA 1 ? 2 3 ,因

此在 ?A1 BC1 中,由余弦定理得 cos?A1 BC1 ? 和 A1B 所成的角的大小为

? 3 ,因此 ?A1 BC1 ? ,即异面直线 EF 6 2

? .----------------------------------8 分 6 1 ? 2? 2? 2 2 ? 4 2 . (2)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V ? S ?ABC ? AA 1? 2
5

----------------------------------14 分 21.(本题满分 15 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 9 分. 解: (1)?m ∥ n, ?a cosB ? b cos A . ----------------------------------1 分 由正弦定理,得 sin A cos B ? sin B cos A ,? sin( A ? B) ? 0 .----------------------------------2 分 又 ? ? ? A ? B ? ? ,? A ? B . 而p ? p
2 2

----------------------------------3 分

? 8 sin 2

B?C ? 4 sin 2 A ? 9 , 2 1 . ----------------------------------5 分 2 . ----------------------------------6 分

?4(1 ? cos A) ? 4(1 ? cos2 A) ? 9 . ? cos A ?
又0 ? A ??,

?A?

?

(2) f ( x) ? sin x cos

?

3 6

. ?A? B ?C ?

?
3

? cos x sin

?
6

? sin( x ?

?
6

) ,----------------------------------9 分

? x ? [0,

? 2? ?[ , ] .----------------------------------11 分 2 6 6 3 1 ? x ? 0 时, f ( x) min ? f (0) ? ,----------------------------------13 分 2 ? ? x ? 时, f ( x) max ? f ( ) ? 1. ----------------------------------15 分 3 3
], ? x ?
22. (本题满分 15 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (1)由题意可知: f ( x ? 1) ? 2 f ( x) , 即 ? ( x ? 1) ? a( x ? 1) ? 2(? x ? ax) 对一切 ?3, ? ?? 恒成立,
2 2

?

?

?x ? 1?a ? x 2 ? 2x ? 1 ,

∵ x?3 ∴a ?

x 2 ? 2 x ? 1 ?x ? 1?2 ? 2 2 ? ? x ? 1? ? , ----------------------------------3 分 ? x ?1 x ?1 x ?1

令 x ? 1 ? t ,则 t ? ?2, ? ?? ,----------------------------------4 分

g (t ) ? t ?

2 在 ?2, ? ?? 上单调递增,∴ g (t ) min ? g (2) ? 1,----------------------------------6 分 t

∴ a ? 1 . ----------------------------------7 分 (2)∵ x ? ?0, 1? 时, f ( x) ? 2 ,
x

∴当 x ? ?1, 2? 时, f ( x) ? mf ( x ? 1) ? m ? 2

x ?1

,----------------------------------9 分

n x?n 2 n 当 x ? ?n, n ? 1? 时, f ( x) ? mf ( x ? 1) ? m f ( x ? 2) ? ? ? m f ( x ? n) ? m ? 2 ,

6

即 x ? ?n, n ? 1? 时, f ( x) ? m n ? 2 x ?n , n ? N * , ----------------------------------12 分 ∵ f ( x) 在 ?0, ? ?? 上单调递增, ∴ m ? 0 且 m n ? 2 n?n ? m n?1 ? 2 n??n?1? ,----------------------------------14 分 即 m ? 2 . ----------------------------------15 分 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由条件得 bn ? ( ) n ,
a

1 2



bn 1 1 ? ( ) an ?an ?1 ? ( ) d ? 常数,所以,数列 {bn } 是等比数列;---------------------------4 分 bn?1 2 2
1 2
n

(2) Pn (n, ( ) ) , Pn ?1 ( n ? 1, ( )

1 2

n ?1

) ,直线 Pn Pn?1 方程为

1 1 n?2 ( ) n ?1 ( x ? n) ? y ? ( ) n ? 0 ,令 x ? 0 得 y ? n ?1 . 2 2 2
令 y ? 0得 x ? n ? 2. 因此 c n ?

1 n?2 1 (n ? 2) 2 ? n?1 ? (n ? 2) ? ,----------------------------------6 分 2 2 4 2n 1 2 ? n2 ? ? ( n ? 2) ,当 n ? 2 时, cn ? cn?1 ? 0 , 4 2n

因为 c n ? c n ?1

因此 cn ? cn?1 ,所以数列 ?cn ? 单调递减,----------------------------------8 分

9 .----------------------------------9 分 8 9 因为 cn ? t 对一切正整数 n 恒成立,所以 t ? .----------------------------------10 分 8
因此当 n ? 1 时, cn 取得最大值 (3)因为 an ? n ,所以数列 ?d n ?中,从第一项 a1 开始到 ak 为止(含 ak 项)的所有项的和 是:

(1 ? 2 ? ......? k ) ? (31 ? 32 ? ......? 3k ?1 ) ?

k (k ? 1) 3k ? 3 ? ,---------------------------14 分 2 2

当 k ? 7 时,其和为 28 ?

37 ? 3 ? 1120 ? 2016,-------------------------------15 分 2 38 ? 3 ? 3315 ? 2016.--------------------------------16 分 2
7

当 k ? 8 时,其和为 36 ?

61 1 2 0 ? 8 9 6不 是 3 的 倍 数 , 因 此 2016 不 是 数 列 ?S n ? 中 的 某 一 因为 201?
项.----------------------------------18 分

8


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