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几何证明选讲高考题


考点 51 几何证明选讲
一、选择题 1.(2012·北京高考理科·T5)如图. ∠ACB=90?,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则( A. CE·CB=AD·DB C. AD·AB=CD?
C

)

B. CE·CB=AD·AB D.CE·EB=CD?

E A

D B

【解题指南】利用切割线定理及直角三角形中的射影定理.
2 ? ? 【解析】 A.? CD ? AB , 以 BD 为直径的圆与 CD 相切, CD ? CE ? CB 。 选
2 在 Rt ?ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,有 CD ? AD ? DB ,

因此,CE·CB=AD·DB. 二、填空题 2. (2012· 湖北高考理科· T15) 如图, D 在⊙O 的弦 AB 上移动, 点 AB=4, 连接 OD,过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于点 C,则 CD 的最大值为 _____________.

【解题指南】本题考查直线与圆的位置关系,解答本题的关键是利用直 线与圆的位置关系,取 AB 的中点,连 OC,把 CD 表示出来. 【 解 析 】 取
C D ?
2 O ? C 2

AB
O ?D 4

的 中 点 为
?
2

E , 连 接

CD , OE , 则

O? E 2 OCD 的最大值,则点 D 与 E 重合. ,要求 D

可知结果为:2. 【答案】2. 3.(2012·陕西高考理科·T15)如图,在圆 O 中,直径 AB 与 弦 CD 垂 直 , 垂 足 为 E , F 则 DF ? DB ? .
EF ? DB

, 垂 足 为

,若 AB ? 6 , AE ? 1 ,

【解题指南】围绕 Rt△BDE 和圆的有关性质列出成比例线段. 【解析】连接 AD,因为 AB ? 6 , AE ? 1 ,所以 BE=5, 在 Rt△ABD 中,
DE 2 ? AE ? BE ? 1 ? 5 ? 5 ,,在
2 Rt△BDE 中,由射影定理得 DF ? DB ? DE ? 5 .

【答案】5. 4. (2012·广东高考文科·T15)如图所示,直线 PB 与圆 O 相切于点 B,D 是弦 AC 上的点, ?PBA ? ?DBA .若 AD=m,AC=n,则 AB= .

【解题指南】本小题要注意利用圆的几何性质。判断出
?ABP ? ?ACB ? ?ABD ,从而证出 ?ABD ? ?ACB 是解决此问题的关键.

【解析】由题意知 ?ABP ? ?ACB ? ?ABD ,所以 ?ABD ? ?ACB ,
AD AB ? , 所以 AB AC 所以 AB ? AD ? AC ? mn .

【答案】 mn . 5.(2012·广东高考理科·T15)如图,圆 O 的半径为 1,A、B、C 是 圆周上的三点,满足 ?ABC ? 30 ,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交
?

于点 P,则 PA=_____________. 【解题指南】本小题要注意利用圆的几何性质。连接 OA,AC 从而可得 ?AOC ? 60 ,
?

?AOC 为等边三角形, ?PAC ? 30? , ?PAC 为等腰三

角形,并且 AC=CP=1,到此问题基本得以解决.
? ? ? 【解析】连接 AO、AC,因为 ?ABC ? 30 ,所以 ?CAP ? 30 , ?AOC ? 60 , ?AOC

为 等边三角 形,则 ?ACP ? 120 ,??APC ? 30 ,??ACP 为 等腰三 角形, 且
? ?

AC ? CP ? 1,? AP ? 2 ?1? sin 60? ? 3 .

【答案】 3 .

6.(2012·天津高考文科·T13)与(2012·天津高考理科·T13)相 同 如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线 相交于点 D,过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 AB 相交于点 F, AF=3,FB=1, EF = ,则线段 CD 的长为_________.
C A F B

3 2

D

【解题指南】利用相交线及切线的比例关系求解。 【解析】设 CD=x,则 AD=4x,因为 AF·FB=CF·FE,所以 CF=2, 又
CF AF 3 8 ? ? ? BD ? BD AB 4 3

E

,又 BD 2 ? x.4 x ? x ?

4 3

.

【答案】

4 3.

考点 49
一、选择题

几何证明选讲
E C F O G

1. (2011· 北京高考理科· 如图, T5) AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F, 延长 AF 与圆 O 交于另一点 G.给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA; ② AF ? AG ? AD ? AE ;③ ?AFB∽?ADG .其中正确结论的序号 是( A.①② C.①③ ) B.②③ D.①②③ A

B D

【思路点拨】利用切割线定理、割线定理、弦切角定理. 【精讲精析】选 A.AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD+AE,故①正确;因为

AE 2 ? AF ? AG, AD2 ? AF ? AG ,? AE 2 ? AD2 ? ( AF ? AG)2 ,? AE ? AD ? AF ? AG ,故
0 ②正确; ?AFB ? ?BFG ? ?FDG ? ?BFG ? 180 ,??AFB ? ?FDG ? ?ADG ,

??AFB与?ADG 不相似,故③不正确.

二、填空题
? 2. (2011· 陕西高考理科· T15B) (几何证明选做题) 如图, ∠B=∠D,AE ? BC ,?ACD ? 90 ,

且 AB=6,AC=4,AD=12,则 BE=



【思路点拨】寻找两个三角形相似的条件,再根据相似三角形的 对应边成比例求解. 【精讲精析】答案: 4 2
? 因为 AE ? BC ,所以∠AEB= ?ACD ? 90 ,

又因为∠B=∠D,所以△AEB∽△ACD,所以 所以 AE ?

AC AD ? , AE AB

AB ? AC 6 ? 4 ? ? 2 ,在 Rt△AEB 中, BE ? AB2 ? AE 2 ? 62 ? 22 ? 4 2 . AD 12

3. (2011·陕西高考文科·T15B) (几何证明选做题)如图,∠B=
? ∠ D , AE ? BC , ?ACD ? 90 , 且 AB=6 , AC=4 , AD=12 , 则

AE=



【思路点拨】寻找两个三角形相似的条件,再根据相似三角形的对 应边成比例求解. 【精讲精析】答案:2
? 因为 AE ? BC ,所以∠AEB= ?ACD ? 90 ,

又 因 为 ∠ B= ∠ D , 所 以 △ AEB ∽ △ ACD , 所 以

AC AD ? ,所以 AE AB

AE ?

AB ? AC 6 ? 4 ? ?2. AD 12

4.(2011·广东高考理科·T15) (几何证明选讲选做题)如图 4, 过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A, B ,且 PB

? 7,
.

C 是圆上一点使得 BC ? 5 , ?BAC ? ?APB ,则 AB ?
【思路点拨】利用相似三角形对应边成比例,求得 AB 的值. 【精讲精析】答案: 35

? ?PAB ? ?ACB , 又?BAC ? ?APB , ??ABP ~

AB ?ABC , ? BC ? PB ,从而 AB 2 ? PB ? BC ? 7 ? 5 ? 35 . ? AB ? 35 AB

.

5.(2011·广东高考文科·T15) (几何证明选讲选做题)如图 4,在梯形 ABCD 中,AB∥CD, AB=4,CD=2. E,F 分别为 AD,BC 上的点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比 为 .

【思路点拨】利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解. 【精讲精析】答案:

7 5

延长 AD、BC 相交于点 G..由已知 ? GAB∽ ? GDC, ? GEF∽ ? GDC,所以

S ?GAB 16 ? ? 4 , S ?GEF ? 9 , S ?GCD 4 S ?GCD 4
5 从而 S ABCD ? 3S ?GCD , S EFCD ? S ?GCD ,所以梯形 ABCD 与梯形 EFCD 的面积 4
比为 3:

5 12 4= 5

,从而得梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为

7 5

6. (2011· 湖南高考理科· T11) 如图 2, E 是半圆周上的两个三等分点, A, 直径 BC=4, ? BC , AD 垂足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长 为______ 【思路点拨】本题主要考查平面几何的推理和证明.考查圆的切割弦以及三 角形的相似和直角三角形的射影定理. 【精讲精析】答案:

2 3 .连结 AB、AO、CE、OE,则 ?OAB , ?OCE 是边长 3
?

为 2 的等边三角形,?ABD ? 60 , AD=

3 2 3 所以得到 AF= . ?2 ? 3, 2 3

7.(2011.天津高考理科.T12)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , E 是 AB 延长线 上 一 点 , 且 DF = CF = 2, AF : FB : BE = 4: 2:1. 若 CE 与 圆 相 切 , 则 线 段 CE 的 长 为 _________ 【思路点拨】利用相交线及切线的比例关系求解。 【精讲精析】答案:

7 2
F B D F 所 C 8x2 = 2 ? x , F 以



BE=x, 则

? AF=4x,FB=2x, 因 为 A F

1 , 又 2

CE 2 =BE?AE,即CE

7.x=

7 2

考点 30
BD ? DA

几何证明选讲

1. (2010·陕西高考理科·T15)如图,已知 Rt ?ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D, 则 .

【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法,属送分题 【思路点拨】 条件 ? Rt ?ADC ? Rt ?ADC ? Rt ?ACB ?

AD AC ? ? AD ? BD ? 结论 AC AB

【规范解答】因为以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,所以 ?ADC ? 900 , ?ADC为Rt ?ADC,

? Rt ?ADC ? Rt ?ACB,?
? BD 16 ? DA 9
16 9

AD AC AC 2 9 9 16 ? , AD ? ? , BD ? AB ? AD ? 5 ? ? , AC AB AB 5 5 5

【答案】

2. (2010·陕西高考文科·T15)如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的 长分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD= 【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法,属送分题 【思路点拨】 条件 ? Rt ?ADC ? Rt ?ADC ? Rt ?ACB ? cm.

AD AC ? ? AD ? BD AC AB

0 【规范解答】因为以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,所以 ?ADC ? 90 , ?ADC为Rt ?ADC,

? Rt ?ADC ? Rt ?ACB,?
【答案】

AD AC AC 2 9 9 16 ? , AD ? ? , BD ? AB ? AD ? 5 ? ? , AC AB AB 5 5 5

16 5

D

3. (2010·北京高考理科·T12)如图, ? O 的弦 ED,CB 的延长线 交于点 A。若 BD ? AE,AB=4, BC=2, AD=3, 则 DE= ;CE= 。
A O B C

【命题立意】本题考查几何证明的知识。 运用割线定理是解决本题的突破口。 【思路点拨】本题可由相交弦定理求出 DE,再利用三个直角三角形 Rt ?ABD, Rt ?BDE

, Rt ?BCE 中求 CE。
? 【 规 范 解 答 】 由 割 线 定 理 得 , AB ? AC ? AD ? AE , 即 4 ? 6 ? 3 AE , 得 AE ? 8 。 DE ? 8 ? 3 ? 5 。连接 BE,因为 BD ? AE ,所以 BE 为直径,所以 ?BCE ? 900 。在 Rt ?ABD
中, BD ? 42 ? 32 ? 7 。 在 Rt ?BDE 中 BE ? 52 ? 7 ? 4 2 。在 Rt ?BCE 中, CE ? 32 ? 7 ? 2 7 。
E
D
3

A 4 B
2
C

【答案】5

2 7

4. (2010·天津高考文科·T11)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形, 延长 AB 和 DC 相交于点 P。若 PB=1,PD=3,则 【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。 【思路点拨】利用相似三角形的性质转化。 【规范解答】由题意可知 ? BCP ∽ ? ADP 相似, 所以

BC 的值为 AD



BP PD 1 3 BC 1 ? ? ? ? ? 。 BC AD BC AD AD 3
1 3

【答案】

5. (2010·天津高考理科·T14)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内 接四边形, 延长 AB 和 DC 相交于点 P, 若 值为 【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。 【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。 【规范解答】由题意可知 ? BCP ∽ ? ADP 相似, 所以

P 1P 1 B C = , = P 2P 3 A D

,则

BC 的 AD

PC PB BC PC PB PB 1 PC 1 ? ? ? = , = ,由 及已知条件 AP PD AD AP PD PA 2 PD 3

BC PC PC2 2 PC 6 BC 6 ? 可得 ,又 ,? 。 = ? = ? 2 AD PB PB 3 PB 3 AD 3
【答案】

6 6

6. (2010·广东高考文科·T14)如图 3,在直角梯形 ABCD 中,DC∥

AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=
则 EF= .

a ,点 E,F 分别为线段 AB,CD 的中点, 2

【命题立意】本题主要考察平面几何中直角梯形以及三角形中位线的性质. 【思路点拨】利用直角梯形的性质,求出 DB ,再利用三角形中位线的性质,求出 EF . 【规范解答】过连接 DE ,则四边形 EBCD 为矩形,所以 DE ? AB 且

EB ? DC ?

a a ,所以,? AB ? a , ? AE ? EB ? , 所以 ?ABD 是以 AB 为底的等腰三 2 2

角形,即: DA ? DB = a ,又点 E,F 分别为线段 AB,CD 的中点,所以 EF 为 ?ABD 的中位线, 所以 EF ? 【答案】 2

1 a DB ? . 2 2

a

7. (2010·广东高考理科·T14)如图 3,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P,PD=

2a ,∠OAP=30°,则 CP=______. 3

【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理. 【思路点拨】由垂径定理得 OP ? AB ,算出 AP ,再由相交弦定理求出 CP. 【规范解答】因为 P 为 AB 的中点,由垂径定理得 OP ? AB ,在 Rt ?OPA 中,

BP ? AP ? a ? cos30? ?
解得 CP ? 【答案】

3 2 2 3 由相交弦定理得:BP ? AP ? CP ? DP , ( 即 a) ? CP ? a , a, 2 3 2

9 a. 8

9a . 8


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