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2013年全国高中数学联赛模拟卷(1)(一试+二试


2012 年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1.不等式
4x
2

(1 ? 1 ? 2 x )
<

br />2

? 2 x ? 9 的解集为



2.过正方体外接球球心的截面截正方体所得图形可能为______________. ①三角形 ②正方形 ③梯形 ④五边形 ⑤六边形 3.直线 kx ? y ? 2 与曲线 1 ? ( y ? 1) ?| x | ? 1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是__ _______.
2

4.复数 z ,使 z ? z ? 2 z
3
a b

2

,则 z 的所有可能值为 _____
a ?1

____. .
1? c 1? a 1? b

5.所有的满足条件 a ? b ? a

?b

b ?1

? a ? b 的正整数对 ( a , b ) 的个数为
? ?

6.设 a , b , c 为方程 x 3 ? k1 x ? k 2 ? 0 的根( k1 ? k 2 ? 1 ) ,则

? __. 1? a 1? b 1? c 7.将号码分别为 1、2、…、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球,其号码为 a ,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b . 则使不等式 a ? 2b ? 10 ? 0 成立的事件发生的概率等于 . A?B A?B , 3 sin ) , | ? |? 2 .如果当 C 最大时, 8.已知 A, B, C 为△ABC 三内角, 向量 ? ? (cos 2 2

存在动点 M, 使得 | MA |, | AB |, | MB | 成等差数列, 则

| MC | | AB |

最大值是__

___.

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分)
9.对正整数 n ? 2 ,记 a n ?

? n ? k ? 2 k ?1 ,求数列{an}中的最大值.
k ?1
2

n ?1

n

1

10.给定正实数 k,圆心为( a, b )的圆至少与抛物线 y ? kx 有三个公共点,一个是原点(0, 0),另两个 点在直线 y ? kx ? b 上,求 a, b 的值(用 k 表示) .

11.已知函数 f ( x ) ? a (| sin x | ? | cos x |) ? 3 sin 2 x ? 7 , 其中 a 为实数,求所有的数对(a, n)(n∈N*), 使得函数 y ? f ( x ) 在区间 ( 0 , n ? ) 内恰好有 2011 个零点.

2012 模拟卷(1)

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2012 年全国高中数学联赛模拟卷(1)答案
1. 由 1 ? 1 ? 2 x ? 0 得 x ? ?
1 2 1 ? ? 45 ? ? 故原不等式的解集为 ? ? , 0 ? U ? 0, ? 8 ? ? 2 ? ? 2.答案:②⑤,解:由对称性可知,所得图形应为中心对称图形,且②⑤可以截得 4 4 3.提示: [ ? 2, ? ) ? ( , 2] , 曲线为两个半圆,直线过定点(0,?2) ,数形结合可得. 3 3 , x ? 0 ,原不等式可变为 1 ? 1 ? 2 x

?

?

2

? 2 x ? 9 解得 x ?

45 8

4.答案:0,1, ? 1 ? 2 i , ? 1 ? 2 i

解: z ? z ? 2 z
3
2

2

= 2 z ? z ,∴ z ( z ? 1 ? 2 z ) ? 0
2

当 z ? 0 时,满足条件,当 z ? 0 时, z ? 1 ? 2 z ? 0 设 z ? a ? b i ( a , b ? R ) ,则 a ? b ? 2 a b i ?1? 2 ( a ? b i )
2 2

? a 2 ? b2 ? 1 ? 2a ? 0 ∴ ? ? 2 ab ? 2 b ? 0 (2)

(1)
2

,由(2) 2 b ( a ? 1 ) ? 0

1) b ? 0 代入(1) 整理得: ( a ? 1) ? 0 ? a ? 1 2) b ? 0 ,则 a ? ? 1 代入(1) 得: b ? 4 ? b ? ? 2 ,经检验复数 z ? 1 , ? 1 ? 2 i 均满足条件.
2

∴ z 的所有可能值为 0,1, ? 1 ? 2 i , ? 1 ? 2 i . 5.解:显然 a ? b ? 1 .由条件得 a ? a
a b a ?1

?b

b ?1

?a?b
a ?1 a ?1

b ?1

?a?b
2

b ?1

? 1 ,从而有 ab ? b ? b
b a b a

即 b ? ab ? b ,再结合条件及以上结果,可得 a
a ? ab ? a ? a
a a ?1

?b

b ?1

?a

a ?1

??a ? b

b ?1

??a

?b

b ?1

? a ? b ? a ? b ? a ? ab ? b ,整理得
a ?1

,从而 a ? a ? a ? a ? 1 ? ? a ? ab ? a

即a

a ?3

? 1 ,所以 2 ? a ? 3 .当 a ? 2 时, b ? 1 ,不符合;当 a ? 3 时, b ? 2 ( b ? 1 不符合) .

2 综上,满足本题的正整数对 ? a , b ? 只有 ? 3,? ,故只有 1 解.

6.答案:

3 ? k1 ? 3 k 2 1 ? k1 ? k 2

,由题意, x 3 ? k1 x ? k 2 ? ( x ? a )( x ? b )( x ? c ) 由此可得

a ? b ? c ? 0 , ab ? bc ? ca ? ? k1 , abc ? k 2 以及 1 ? k1 ? k 2 ? (1 ? a )(1 ? b )(1 ? c )
1? a 1? a ? 1? b 1? b ? 1? c 1? c ? 3 ? ( a ? b ? c ) ? ( ab ? bc ? ca ) ? 3 abc (1 ? a )(1 ? b )(1 ? c )
? 3 ? k1 ? 3 k 2 1 ? k1 ? k 2

7.提示:甲、乙二人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果,故基本事件总数为 92=81 个,由不等式 a?2b+10>0 得 2b<a+10,于是,当 b=1、2、3、4、5 时,每种情形 a 可取 1、2、…、9 中每一个值, 使不等式成立,则共有 9× 5=45 种;当 b=6 时,a 可取 3、4、…、9 中每一个值,有 7 种;当 b=7 时,a 可取 5、6、7、8、9 中每一个值,有 5 种;当 b=8 时,a 可取 7、8、9 中每一个值,有 3 种; 45 ? 7 ? 5 ? 3 ? 1 61 ? 当 b=9 时,a 只能取 9,有 1 种。于是,所求事件的概率为 81 81 A?B A? B 1 3 2 2 ? 3 sin ? 2 ? cos( A ? B ) ? cos( A ? B ) ? 2 8.解: | ? |? 2 ? cos 2 2 2 2 1 ? cos( A ? B ) ? 3 cos( A ? B ) ? 2 sin A sin B ? cos A cos B ? tan A tan B ? , 2 tan A ? tan B tan C ? ? tan( A ? B ) ? ? ? 2 (tan A ? tan B ) ? ? 4 tan A tan B ? ? 2 2 , tan A tan B ? 1 等号成立仅当 tan A ? tan B ?
2 2

.令|AB|=2c,因 | MA | ? | MB |? 4 c ,
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2012 模拟卷(1)

所以 M 是椭圆 |MC|2=x2+( y ? 当 y= ?

x

2 2

?

y

2 2

4c
2

3c

? 1 上的动点.故点 C(0,
2

2 2

c ), 设 M(x,y), 则
2

2

c )2= 4 c ?

4 3

y ? y ?
2 2
2

2 cy ?

c

2

??

1 3

y ?
2

2 cy ?
max=

9c 2

2

, | y |?
2

3c .

3 c 时, |MC|2max=

7?2 6 2

c , |MC|max=
10

6 ?1 2

c. 即

| MC | | AB |

2 3? 4

.
10 3

9.解:经计算知 a 2 ? 2 , a 3 ? 3 , a 4 ? a 5 ? 假设 a n ?
10 3

? n ? 5 ? ,则 a n ?1 ?
?

n ?1 n
n ?1 n

?
?

3 n ?1
n ?1

,下面用数学归纳法证明:当 n ? 5 时,有 a n ?
? 1 2 ? n ?1 n?2 ? 1 2
2

?? ?

n ?1 1

? 2

1
n ?1

n ?1? n n 1 n 1 ? n ?1 n ?1 ? ? ? ? ? ? n?2 ? ? ? an ? 2n ? n ? 1 n ? 2 2 1 2 n 2n ? n ? 1 n ? 1 10 n ? 1 8 6 8 10 ? ? ? ? ? ? ? ? n 2n 3 n 3 5 3 3 10 所以数列{an}中的最大值是 a 4 ? a 5 ? 3

10.解:设⊙O: ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? a ? b , 即 x ? 2 ax ? y ? 2 by ? 0
2 2 2 2 2 2

抛物线与直线 y ? kx ? b 的两个交点坐标为 ( x1 , y1 , ), ( x 2 , y 2 ) ,
? x1 ? x 2 ? 1 2 ? kx1 ? kx1 ? b ? 则? 2 ,即 ? b ? kx 2 ? kx 2 ? b ? x1 x 2 ? ? k ?
2 2 2

①, 这两点亦在圆上,即
2 2 2

o ? x1 ? 2 ax 1 ? y1 ? 2 by 1 ? x1 ? 2 ax 1 ? ( kx1 ? b ) 2 ? 2 b ( kx1 ? b ), ? (1 ? k ) x1 ? 2 ax 1 ? b ? 0

同理 (1 ? k ) x 2
2

2

2a ? ? x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 , ? 2 ? 2 ax 2 ? b ? 0 , 即 ? 2 ? x x ? ?b . ? 1 2 1? k2 ?
1 2 (1 ? k ), b ?
2



比较①,②知: a ?

1? k k

2

?k?
k? 2

1 k
?

11.解:首先,函数 f ( x ) 以为 ? 周期,且以 x ?
f ( x ? ? ) ? f ( x ), f ( k ? ?
f( k? 2 ) ? a ? 7, f ( k? ?

?
4

( k ? Z ) 为对称轴,即

?
2

? x ) ? f ( x )( k ? Z ) ,其次,
2 a ? 10 , f ( k ? ? 3? 4 )? 2 a ? 4 ,∵ f ( x ) 关于 x ?

?
4

)?

k? 2

?

?
4

( k ? Z ) 对称,

k? k? ? k? ? k? ? , ? )及( ? , ? ) 上的零点个数为偶数, 2 2 4 2 4 2 2 ( 要使 f ( x ) 在区间 0, n ? ) 恰有 2011 个零点,则上述区间端点必有零点

∴ f ( x) 在 (

(1)若 a ? 7 ,则 f ( 当 x ? (0,

k? 2

) ? 0, f (

k? 2

?

?
4

) ? 0 ,考虑区间 ( 0 ,

?
2

) 及(

?
2

, ? ) 上的零点个数.

?
2

) 时, f ( x ) ? 7 (sin x ? cos x ) ? 3 sin 2 x ? 7 ,
2

令 t ? sin x ? cos x ( t ? (1, 2 ]. 则 y ? g ( t ) ? ? 3t ? 7 t ? 4 ? 0 ,

2012 模拟卷(1)

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解得 t1 ? 1 (舍) t 2 ? , 当x?(

4 3

?

2 sin( x ?

?
4

) ,故在 ( 0 ,

?
2

) 内有两解.

?
2

, ? ) 时, f ( x ) ? 7 (sin x ? cos x ) ? 3 sin 2 x ? 7 ,
2

令 t ? sin x ? cos x ( t ? (1, 2 ] ,则 y ? g ( t ) ? 3t ? 7 t ? 10 ? 0 , 解得 t1 ? 1 (舍) t 2 ? ? ,
, ? ) 内无解.因此, f ( x ) 在区间 ( 0 , ? ) 内有三个零点. 3 2 故在 ( 0 , n ? )内有 3 n ? ( n ? 1) ? 4 n ? 1 ? 2011 个零点。解得 n ? 503 . 10

(舍) ,故在 (

?

同理可得满足条件 ( a , n ) ? (7, 503), (5 2 , 2011), (2 2 , 2011) .

2012 模拟卷(1)

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