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高三二轮复习015推理与证明(文科)


高三数学二轮学案 序号 015 高三年级 15 班 教师王德鸿 学生

课题:推理与证明
目的要求: 1、进一步体会合情推理在数学中的作用,掌握演绎推理的基本方法并能运用; 2、进一步理解证明的基本方法——综合法、分析法、反证法、数学归纳法(理)及其思考过程与特点 重难点: 要点回顾: 1、合情推理包含 推理 、 推理 。 2、演绎推理是从 3、直接证明包括 4、间接证明指的是 5、数学归纳法 (1)归纳——猜想——证明仍是高考重点; (2)常与函数、数列、不等式等知识结合,在知识的交汇处命题是热点; (3)题型以解答题为主,难度中等偏上。 数学归纳证题的步骤: (1)证明当 n 取第一值 n0 (n0 ? N ? ) 时命题成立: (2)假设 n=k(k≥ n0 ,k∈ N )时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立。 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。 注:1、第一个值 n0 是否一定为 1 呢?不一定,要看题目中 n 的要求,如当 n≥3 时,则第一个值 n0 应 该为 3。 2、数学归纳法两个步骤有何关系?数学归纳法中两个步骤体现了递推思想,第一步是递推基础,也叫 归纳奠基,第二步是递推的依据,也叫归纳递推。两者缺一不可。 例题分析: 推理部分: 1、观察下列不等式: 1 3 1+ < , 22 2 1 1 5 1+ + < , 22 32 3 1 1 1 7 1+ + + < , 22 32 42 4 ?
?



的推理。 。 证明方法

照此规律,第五个不等式为________.

2、观察下列事实|x|+|y|=1 的不同整数解(x,y)的个数为 4 , |x|+|y|=2 的不同整数解(x,y)的个数 为 8, |x|+|y|=3 的不同整数解(x,y)的个数为 12 ?.则|x|+|y|=20 的不同整数解(x,y)的个数为 A.76 B.80 C.86 D.92

3、若 S n ? sin A、16

?
7

? sin

2? n? ? ? ... ? sin (n? N ) ,则在 S1 , S2 ,..., S100 中,正数的个数是( 7 7
C、86
1



B、72

D、100

4、在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为[k],即[k]={5n+k 丨 n∈Z}, k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2011∈[1] ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④“整数 a,b 属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

5、观察下列各式: 55 ? 312556 ? 1562557 ? 78125 则 5 , , ,..., A.3125 B. 5625 C.0625

2011

的末四位数字为 ( D.8125

)

证明部分: 1、某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。 (1)sin 13°+cos 17°-sin13°cos17° (2)sin 15°+cos 15°-sin15°cos15° (3)sin 18°+cos 12°-sin18°cos12° (4)sin (-18°)+cos 48°- sin (-18°)cos 48° (5)sin (-25°)+cos 55°- sin (-25°)cos 55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2、如果 3sin ? ? sin ?2? ? ? ? ,求证 tan ?? ? ? ? ? 2tan ?

课后作业: 1. 观察下列数的特点 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,? 中,第 100 项是( ) (A) 10 (B) 13 (C) 14 (D) 100

2、有下列推理: ①A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 的轨迹为椭圆 ②由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式

x y ③由圆 x2+y2=r2 的面积π r2,猜想出椭圆 2 ? 2 ? 1 的面积 S=π ab a b
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 以上推理不是归纳推理的序号是______. (把所有你认为正确的序号都填上)

2

2

3

B

B

3 、 由 图 (1) 有 面 积 关 系 : S ?PA?B ? PA? ? PB ? 则 由 (2) 有 ? , S ?PAB PA ? PB

A' P B'
图(1)

A' C'

C

A

P B'
图(2)

A

VP ? A?B ?C ? ? VP ? ABC

.

4、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为 q 的无穷 比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 所有符合要求的组号) 其中 n 为大于 1 的整数, Sn 为{an}的前 n 项和. ①S1 与 S2; ②a2 与 S3; ③a1 与 an; ④q 与 an. 组.(出

5、设 b ? 0 ,数列 ?a n ?满足 a1 ? b , a n ? (1)求数列 ?a n ?的通项公式;

nban ?1 (n≥2) an ?1 ? n ? 1

(2)证明:对于一切正整数 n , 2an ? b n?1 ? 1。

4


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