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【苏教版】数学必修四:1.3.1《三角函数的周期性》练习(含解析)


数学备课大师 www.eywedu.net【全免费】 1 .3 三角函数的图象和性质 三角函数的周期性 1.3.1 情景:自然界中存在着许多周而复始的现象,如地球的自转和公转,物理学中的单摆运 动和弹簧振动,圆周运动等.从正弦函数、余弦函数的定义可知,角 α 的终边每转一周又 会与原来的位置重合,故 sin α ,cos α 的值也具有周而复始的变化规律. 思考: 正弦函数、 余弦函数及正切函数它们都是周期函数吗?其周期分别为多少?你能 给周期函数下一个定义吗? 1.对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域 内的每一个值时,都 有 ________________ ,那么函数 f(x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的 ____________.对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那 么这个最小正数就叫做 f(x)的______________. 2 . 正 弦 函 数 是 ______________ , ______________ 都 是 它 的 周 期 , 最 小 正 周 期 是 ________________. 3 .余弦函数是 ________________ , ________________ 都是它的周期,最小正周期是 __________________. 4.函数的周期与解析式中__________________有关. 答案:1.f(x+T)=f(x) 周期 最小正周期 2.周期函数 2kπ (k∈Z 且 k≠0) 2π 3.周期函数 2kπ (k∈Z 且 k≠0) 2π 4.自变量的系数 备课大师全科【9 门】 :免注册,不收费!http://www.eywedu.cn/ 数学备课大师 www.eywedu.net【全免费】 最小正周期 对于函数 f(x),如果存在一 个非零的常数 T,使得定义域内的每一个 x 值,都满足 f(x +T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 的正数就叫做 f(x)的最小正周期. 根据上述定义,我们有: 正弦函数是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π . 余弦函数是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π . 说明:(1)周期函数不一定存在最小正周期,例如,对于常数函数 f(x)=c(c 为常数,x ∈R),所有非零实数 T 都是它的周期,而最小正数是不存在的,所以常数函数没有最小正周 ? ?1,x是有理数, 期,又如,函数 D(x)=? ?0,x是无理数. ? 设 r 是任意一个有理数,那么,当 x 是有理数时,x+r 也是有理数,而当 x 是无理数 时,x+r 也是无理数,即 D(x)与 D(x+r)或者都等于 1,或者都等于 0,因此在两种情况下 都有: D(x+r)=D(x). 所以 D(x)是周期函数,任何非零有理数 r 都是它的周期,而最小正有理数不存在,所 以 D(x)也没有最小正周期. (2)如果不加特别说明,教材中提到的周期,一般都是指最小正周期. 难点释疑:对周期函数概念的理解: (1)设 f(x)的定义域为 A,对任意 x∈A,存在常数 T≠0,则 x+T∈A. 例如 f(x)=sin x(x≠0)不是周期函数,我们可用反证法证之. 若 f(x) =sin x(x≠0)的周期为 T(T

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