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广东省揭阳一中2014-2015学年高二数学上学期期中试卷 文


揭阳一中 2014-2015 学年度高二级第一学期期中考试 (文科)数学试卷
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的). 1.设集合 A={x|x>1},B={x|x(x-2)<0},则 A∩B 等于( A.{x|x>2} B.{x|0<x<2} C.{x|1&

lt;x<2} ) D.{x|0<x<1} )

2.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的是( (0 , +?) A. y ?

1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? lg | x | )

3.已知向量 a ? (2,1), b ? ( x, ?2) ,且 a 与 b 平行,则实数 x 的值等于( A.-1 B.1 C. ?4 ) D. 4

4.函数 y ? sin( x ? A.

1 2

?
10

) 的最小正周期是(
C. 2?

1 ? 2

B. ?

D. 4? )

5.某几何体的三视图如右图所示,则它的体积为( A.12π B.45π C.57π

D.81π

6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 A ? A.4

?
3

, a ? 2 3, b ? 2, 则 c=(
B.3 C. 3+1

) D. 3 )

7.已知数列{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=2π ,则 tan(a3+a5)的值为( A. 3 B.- 3 C. 3 3 D.- 3 3

8.已知等比数列 {a n } 的各项均为正数,公比 q ? 1 ,记 P ? 的大小关系是( A . P?Q ) B. P ? Q C. P ? Q

a3 ? a9 , Q ? a5 a 7 ,则 P 与 Q 2

D. 无法确定 )

1 9.设数列{an}满足:a1=2,an+1=1- ,记数列{an}的前 n 项之积为 Tr,则 T2013 的值为(

an

1 A.- 2

B.-1

1 C. 2

D.2

10.在 R 上定义运算⊙:x⊙y=x(1-y).若对于任意 x>2,不等式(x-a) ⊙x≤a+2 恒成立,

-1-

则实数 a 的取值范围是( A.[-1,7] +∞)

) C.(-∞,7] D . ( -∞,-1]∪[7,

B.(-∞,3]

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上). 11.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB 的值为 12.不等式组 ? . . .

?y ? 0 的解集对应的平面区域面积是 ? y ? ? | x | ?2
*

13.已知 a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N ),则数列{an}的通项公式是
2 2

14.若直线 ax-by+1=0(a>0,b>0)经过圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的圆心,则 最小值为 .

1 1 ? 的 a b

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分) 已知 △ ABC 中角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 3 sin A ? cos A ? 1 . (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 , cos B ?

3 ,求 b 的长. 3

16.(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的公差 d>0,前 n 项和为 Sn ,且满足 a2a3=45,

a1+a4=14.
(1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)设 bn= { 1

Sn

n+c

(c 为非零常数) ,若数列{bn}也是等差数列,请确定常数 c 的值,并求数列

bn·bn+1

}的前 n 项和 Tn .

17. (本小题满分 14 分)四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 面ABCD , 垂足为点 A , PA ? AB ? 2 ,点 M 是 PD 的中点. (1)求证: PB // 平面ACM ;

-2-

(2)求证: BD ? 平面PAC ; (3)求四面体 A ? MBC 的体积.

18.(本小题满分 14 分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两 种产品的市场需求量非常大, 有多少就能销售多少, 因此该公司要根据实际情况 (如资金、 劳动力)确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的 因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表: 单位产品所需资金(百元) 资 金 空调机 成 本 劳动力(工资) 单位利润 30 5 6 洗衣机 20 10 8 300 110 月资金供应量(百元)

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少?

19. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 的顶点 A(0, 1) ,BC 边所在的直线方程为 x-4y-2=0,

1 AC 边所在直线的方程为 x ? 0 , AB 边的中点坐标为 E (1, ) . 2 (1)求 ?ABC 的顶点 B 、 C 的坐标;
(2)过点 F (?1, ?2) 的直线分别交 x 轴、 y 轴的负半轴于 M, N 两点,当 FM ? FN 最小时, 求直线 l 的方程.

20.(本小题满分 14 分)已知数列 {a n } 是首项为

1 1 ,公比也为 的等比数列, 4 4 设 bn ? 2 ? 3 log 1 a n (n ? N *) ,数列 {c n }满足c n ? a n ? bn 。
4

(1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn;

-3-

(3)若 c n ?

1 2 m ? m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

-4-

揭阳一中 2014-2015 学年度高二级第一学期期中考试 (文科)数学试卷参考答案 一、选择题 CDCDC AAABC

二、填空题 11. 3 4 12. 4 13. an=n 14. 3+ 2 2

三、解答题 15.解: (1)∵ ? 3 sin A ? cos A ? 1

?? 1 ? ? sin ? A ? ? ? ……3 分 6? 2 ?
∵ 0 ? A ? ? ,? ?

?

6 6 5? ? ? 0 ? A ? ? ,? ? ? A ? ? ,? A ? ? , 6 6 6 6 6 ? ? 5? ? ? ? ? ,? ? ? A ? ? ,? A ? ? , ……5 分 6 6 6 6 6 ? ? A ? .……6 分 3 3 ? (2)在 ?ABC 中, A ? , a ? 2 , cos B ? 3 3 1 6 ? sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ? ? ……8 分 3 3

? A?

?

?

?

?

5? ? ? ,? A ? ? , 6 6 6

由正弦定理知:

a b ? , sin A sin B

?b ?

a sin B =? sin A

2?

6 3 ? 4 2 .? b ? 4 2 ……12 分 3 3 3 2

16.解:(1)依题意得?

?a2a3=45, ? ?a1+a4=a2+a3=14, ?

解得?

? ?a2=5, ?a3=9, ?

或?

? ?a2=9, ?a3=5. ?
2

(舍去),

…………………4 分

∴an=4n-3,Sn=2n -n. 2 n -n (2)由(1)知 bn= . n+c
2

…………………6 分

-5-

∵数列{bn}是等差数列, 6 1 15 ∴2b2=b1+b3,即 2· = + ,…………………8 分 2+c 1+c 3+c 1 解得 c=- ,…………………9 分 2 ∴bn=2n. ∴ 1 1

bn·bn+1 2n b1b2 b2b3
+ 1



1

n+
+…+ 1

1 1 1 = ( - ), 4 n n+1 1 1 = (1- )= n+1

∴Tn=

bnbn+1 4

n n+

.…………………12 分

17.证明:(1)连接 AC,BD,记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 MO. ∵点 O,M 分别是 BD,PD 的中点 ∴MO//PB,………… 2 分 又 PB ? 面 ACM,MO ? 面 ACM ∴PB//面 ACM. …………4 分 (2)∵PA⊥面 ABCD ∴PA⊥BD ∵底面 ABCD 是正方形 ∴AC⊥BD …………7 分 又∵PA∩AC=A ∴BD⊥面 PAC …………9 分 (3)∵ V A? MBC ? VM ? ABC ?

1 1 ? S ?ABC ? h ,且 h ? PA …………11 分 2 3

∴ V A? MBC ?

1 1 1 2 ? ( ? AB ? AD ) ? ( ? PA) ? …………14 分 3 2 2 3

18.解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台,总利润是 P, 则 P=6x+8y,………… 2 分

约束条件为

?30 x ? 20 y ? 300 ?5 x ? 10 y ? 110 ? …………6 分 ? x ? 0 , y ? 0 ? ? ?x ? N , y ? N

可行域如图所示:

3 1 3 P ? 6 x ? 8 y 可化为 y ? ? x ? P ,可看作一组斜率为 ? 的直线, 4 8 4

-6-

由图知直线 y=-

3 1 x+ P 过点 M 时,纵截距最大这时 P 也取最大值,…10 分 4 8
解得 M (4,9) …………12 分

由?

?30 x ? 20 y ? 300 ?5 x ? 10 y ? 110

? Pmax=6×4+8×9=96(百元).
故当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9600 元…14 分 19.解:(1)因为 BC 边所在的直线方程为 x-4y-2=0, AC 边所在直线的方程为 x ? 0 , 所以, C (0, ? ) ,

1 2

1 又因为 AB 边的中点坐标为 E (1, ) .所以 B (2, 0) . 2
(2)设直线 l 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) , 令 x ? 0, 得y ? k ? 2 ,则 M ( 令 y ? 0, 得x ?

…………5 分

2 ? 1,0) k
…………8 分

2 ? 1 ,则 N (0, k ? 2) k

? | FM | ? | FN |?
当且仅当 k 2 ?

4 4 ? 4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 2 ? 8 ? 4 , 2 k k

…………11 分

1 ,即 k=±1 时等号成立,…………13 分 k2 但 k<0,故直线 l 的方程为:x+y+3=0; …………14 分 1 20.解: (1)由题意知, a n ? ( ) n (n ? N *) 4 ? bn ? 3 log 1 a n ? 2, b1 ? 3 log 1 a1 ? 2 ? 1
4 4

? bn ?1 ? bn ? 3 log 1 a n ?1 ? 3 log 1 a n ? 3 log 1
4 4 4

a n ?1 ? 3 log 1 q ? 3 an 4

? bn ? 3 log 1 a n ? 又 2, b1 ? 3 log 1 a1 ? 2 ? 1
4 4

∴数列 {bn }是首项b1 ? 1, 公差d ? 3 的等差数列……………………4 分 (2)由(1)知, a n ? ( ) n , bn ? 3n ? 2(n ? N *)

1 4

1 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) …………………………5 分 4
? S n ? 1? 1 1 1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 ……6 分

-7-

于是

1 1 1 1 1 1 S n ? 1 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? 7 ? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 7分 3 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4 …………8 分 ?

两式相减得

1 1 ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 . 2 4 2 12n ? 8 1 n ?1 ? Sn ? ? ? ( ) (n ? N *) ……………………9 分 3 3 4 1 1 (3)? c n ?1 ? c n ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 4 4 1 ? 9(1 ? n) ? ( ) n ?1 , (n ? N *) 4 …………10 分
∴当 n=1 时, c 2 ? c1 ?

1 4

当 n ? 2时, c n ?1 ? c n , 即c1 ? c 2 ? c3 ? c 4 ? ? ? c n ∴当 n=1 时, c n 取最大值是 又 cn ?

1 4 …………12 分

1 2 m ? m ? 1对一切正整数n恒成立 4 1 1 ? m2 ? m ?1 ? 4 4
即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 ……………………14 分
2

-8-


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