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高考数学必胜秘诀(10)排列组合二项式定理


高考数学必胜秘诀(10)

排列、组合和二项式定理
m m 1.排列数 An 中 n ? m ? 1, n、m ? N 、组合数 Cn 中 n ? m, n ? 1, m ? 0, n、m ? N .

(1)排列数公式
m An ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ?

n! n 如 (1) (m ? n) ;An ? n! ? n(n ? 1)(n ? 2)?2 ?1 。 (n ? m)!
x ?2 (答:3) ; (2)满足 A8x ? 6 A8 的x

1!+2!+3!+?+n! ( n ? 4, n ? N * )的个位数字为 = (答:8) (2)组合数公式
m Cn ?

m An n ? (n ? 1) ?? ? (n ? m ? 1) n! 0 ? ? (m ? n) ;规定 0! ? 1 , Cn ? 1 . 如 已知 m Am m ? (m ? 1) ?? ? 2 ?1 m!? n ? m ?!

m n m Cn ? Cm ?1 ? A n ? 6 ,求 n,m 的值(答:m=n=2)
m m m?1 m n?m k k ?1 ? Cn (3) 排 列 数 、 组 合 数 的 性 质 : ① Cn ; ② Cn ? Cn?1 ? Cn?1 ; ③ kCn ; ? nCn ?1

r ?1 ④ Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ;⑤ n ? n ! ? (n ? 1)!? n !;⑥ ? Cnr? 1

n 1 1 ? ? . (n ? 1)! n ! (n ? 1)!

2.解排列组合问题的依据是:分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立 的,一次的且每次得出的是最后的结果,只需一种方法就能完成这件事) ,分步相乘(一步得 出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只有各个步骤都完成了, 才能完成这件事,各步是关联的) ,有序排列,无序组合.

如(1)将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有

种(答: 3 ) ;

5

(2)从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型与乙型电视机各一 台,则不同的取法共有 种(答:70) ;

(3)从集合 ?1, 2,3? 和 ?1,4,5,6? 中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中能确 定不同点的个数是___(答:23) ;

-1-

(4)72 的正约数(包括 1 和 72)共有

个(答:12) ;

(5) ? A 的一边 AB 上有 4 个点,另一边 AC 上有 5 个点,连同 ? A 的顶点共 10 个点, 以这些点为顶点,可以构成_____个三角形(答:90) ;

(6)用六种不同颜色把右图中 A、B、C、D 四块区域分开,允许同一颜色涂不同区域, 但相邻区域不能是同一种颜色,则共有 种不同涂法(答:480) ;

A C B D

(7)同室 4 人各写 1 张贺年卡,然后每人从中拿 1 张别人送出的贺年卡,则 4 张贺年卡 不同的分配方式有 种(答:9) ;

(8) f 是集合 M ? ?a, b, c? 到集合 N ? ??1,0,1 ? 的映射,且 f (a) ? f (b)

? f (c) ,则不同的映射共有

个(答:7) ;

(9)满足 A ? B ? C ? {1,2,3,4}的集合 A、B、C 共有

组(答: 7 )

4

-2-

3.解排列组合问题的方法有: (1)特殊元素、特殊位置优先法(元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考 虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置) 。

如(1)某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地 面及楼的外墙,现有编号为 1 到 6 的 6 种不同花色的石材可选择,其中 1 号石材有微量的放 射性,不可用于办公室内,则不同的装饰效果有_____种(答:300) ;

(2)某银行储蓄卡的密码是一个 4 位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位 个位上的数字(如 2816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选 0. 千位、百位上 都能取 0. 这样设计出来的密码共有_______种(答:100) ;

(3)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成无重复数字的四位偶数_______个(答: 156) ;

(4)某班上午要上语、数、外和体育 4 门课,如体育不排在第一、四节;语文不排在第 一、二节,则不同排课方案种数为_____(答:6) ;

(5)四个不同的小球全部放入编号为 1、2、3、4 的四个盒中。 ①恰有两个空盒的放法有__________种; ②甲球只能放入第 2 或 3 号盒, 而乙球不能放入第 4 号盒的不同放法有_________种 (答: 84;96) ;

(6)设有编号为 1、2、3、4、5 的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5 的 5 个杯盖,将五 个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_________种(答:31)

(2)间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉))。
-3-

如在平面直角坐标系中,由六个点(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(-1,-2),(-2,-1)可以确 定三角形的个数为_____(答:15) 。

(3)相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余 “普通元素”全排列,最后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置上全排列) 。

如 (1) 把 4 名男生和 4 名女生排成一排, 女生要排在一起, 不同的排法种数为_____ (答: 2880) ; (2) 某人射击8枪, 命中4枪, 4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为_____ (答:20) ;

(3)把一同排 6 张座位编号为 1,2,3,4,5,6 的电影票全部分给 4 个人,每人至少 分 1 张,至多分 2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是_____(答:144)

(4)不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用 插空法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的 元素之间) 。

如 (1) 3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______ 种(答:24) ;

(2)某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如 果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为_____(答:42) 。

-4-

(5)多排问题单排法。

如若 2n 个学生排成一排的排法数为 x,这 2 n 个学生排成前后两排,每排各 n 个学生的 排法数为 y,则 x,y 的大小关系为_____(答:相等) ;

(6)多元问题分类法。

如(1)某化工厂实验生产中需依次投入 2 种化工原料,现有 5 种原料可用,但甲、乙两 种原料不能同时使用,且依次投料时,若使用甲原料,则甲必须先投放. 那么不同的实验方案 共有_______种(答:15) ;

(2)某公司新招聘进 8 名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员 不能同给一个部门;另三名电脑编程人员也不能同给一个部门,则不同的分配方案有 ______ 种(答:36) ;

(3)9 名翻译中,6 个懂英语,4 个懂日语,从中选拨 5 人参加外事活动,要求其中 3 人 担任英语翻译,选拨的方法有____________种(答:90) ;

(7)有序问题组合法。

如(1)书架上有 3 本不同的书,如果保持这些书的相对顺序不便,再放上 2 本不同的书, 有 种不同的放法(答:20) ;

(2)百米决赛有 6 名运动 A、B、C、D、E、F 参赛,每个运动员的速度都不同,则运动
-5-

员 A 比运动员 F 先到终点的比赛结果共有_____种(答:360) ;

(3)学号为 1,2,3,4 的四名学生的考试成绩 xi ?{89,90,91,92,93}(i ? 1, 2,3, 4) 且满 足 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种(答:15) ;

( 4 ) 设集合 A ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? ,对任意 x ? A ,有 f (1) ? f (2)? f (3),则映射
3 5 f : A ? A 的个数是_____(答: C8 ; 8 )

(5)如果一个三位正整数形如“ a1 a2 a3 ”满足 a1 ? a2且a3 ? a2 ,则称这样的三位数为 凸数(如 120、363、374 等) ,那么所有凸数个数为_____(答:240) ;

(6)c/a 等于 log p q (其中 1 ? p ? 9,1 ? q ? 9 且 p, q ? N * )的不同形状的的双曲线的个 数为_____(答:26) 。

(8)选取问题先选后排法。

如某种产品有 4 只次品和 6 只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一只测试, 直到 4 只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时,被发现的不同情况种数是 _____(答:576) 。

(9)至多至少问题间接法。 如从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人, 至少有 2 名女同学当选的选法有_______种 (答:
-6-

596)

(10)相同元素分组可采用隔板法。

如(1)10 个相同的球各分给 3 个人,每人至少一个,有多少种分发?每人至少两个呢? (答:36;15) ;

(2)某运输公司有 7 个车队,每个车队的车都多于 4 辆且型号相同,要从这 7 个车队中 抽出 10 辆车组成一运输车队,每个车队至少抽 1 辆车,则不同的抽法有多少种?(答:84)

4、分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成 n 组问题别忘除以 n! 。

如 4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组,若把他们分配到 4 所学校去为学生体检,每 所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种(答:37440) ;

n 0 n 1 n ?1 r n ?r r n n 5.二项式定理:(a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ,其中组合数 Cn 叫

r

r n ?r r 做第 r+1 项的二项式系数;展开式共有 n+1 项,其中第 r+l 项 Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,1, 2,

?, n) 称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项.
特别提醒: (1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为 1
r 时,系数就是二项式系数。如在 (ax ? b) 的展开式中,第r+1项的二项式系数为 Cn ,第r
n

r n ?r r +1项的系数为 Cn a b ;而 ( x ? ) 的展开式中的系数就是二项式系数;
n

1 x

(2)当 n 的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数; (3)审题时要注意区分所求的是项还是第几项?求的是系数还是二项式系数?

如(1) (2 x ?
3

1 7 ) 的展开式中常数项是____(答:14) ; x

-7-

(2) (1 ? x)3 ? (1 ? x)4 ? ? ? (1 ? x)10 的展开式中的 x 的系数为______
3

(答:330) ;

(3)数 11

100

? 1 的末尾连续出现零的个数是____(答:3) ;

(4) ( 7 x ? 3 2)40 展开后所得的 x 的多项式中,系数为有理数的项共有____项(答:7) ;

(5)若 1 ? 6 x ? 15x2 ? 20 x3 ? 15x4 ? 6 x5 ? x6 ( x ? N且x ? 21) 的值能被 5 整除,则 x 的可取值 的个数有____个(答:5) ;

(6)若 xy ? 0, 且x ? y ? 1, 二项式 ( x ? y) 按 x 降幂展开后,其第二项不大于第三项,则 x 的
9

取值范围是

(答: (1, ??) ) ;

(7)函数 f ( x) ? (1 ? sin x) ? (1 ? sin x) 的最大值是_______(答:1024).
10 10

6、二项式系数的性质:
m n ?m (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 Cn ; ? Cn

n ?1 n ?1 时,二项式系数 C r 时,C r n 的值逐渐增大,当 r ? n 2 2 n 的值逐渐减小,且在中间取得最大值。当 n 为偶数时,中间一项(第 +1 项)的二项式系数 2
(2)增减性与最大值:当 r ?

-8-

n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 2 当 n 为奇数时, 中间两项 (第 和 +1 项) 的二项式系数 Cn ? Cn 2 C 取得最大值。 2 2

n 2 n

相等并同时取最大值。

如(1)在二项式 ( x ?1)11 的展开式中,系数最小的项的系数为______(答:-426) ;

(2)在 (1 ? x) n 的展开式中,第十项是二项式系数最大的项,则 n =____(答:17,18 或 19) 。

0 1 r 0 2 1 3 (3)二项式系数的和: Cn ? Cn ? ? ? Cn ?? ? Cn ? 2 ; Cn ? Cn ???? ? Cn ? Cn ?

n

n

??? ? 2n?1 。

1 2 n 0 1 2 如 (1) 如果 1 ? 2Cn 则 Cn ? 22 Cn ? ?? 2n Cn ? 2187 , ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n

(答:

128) ;

0 1 2 n (2)化简 Cn (答: (n ? 2) ? 2 ? 2Cn ? 3Cn ??? (n ?1)Cn

n?1



7、赋值法:应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为 f (1) 、 “奇数 (偶次)项” 系数和为 [ f (1) ? f ( ?1)] ,以及“偶数 (奇次)项”系数和为 [ f (1) ? f (?1)] 。

1 2

1 2

2 9 如( 1 ) 已知 (1? 3x )9 ? a0 ? a1 x ? a2 x ?? ? a 9 x ,则 a0 ? a1 ? | a2 | ?? ? | a9 | 等于

-9-

_____(答: 4 ) ;

9

(2) (1 ? 2x)2004 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ?? a2004 x2004 ,则 (a0 ? a1 ) ? (a0 ? a2 ) + ; ? ? (a0 ? a2004 ) =_____(答:2004)

(3) 设 (1 ? x ? x 2 ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2n x 2n ,则 a0 ? a2 ? ? ? a2n ? _____ (答:

3n ? 1 ) 。 2
8、系数最大项的求法:设第 r 项的系数 Ar 最大,由不等式组 ?

? Ar ? Ar ?1 确定 r 。 ? Ar ? Ar ?1

如求 ( x ?

13 x )10 的展开式中,系数的绝对值最大的项和系数最大的项。 (答:系数绝 2
9

对值最大的项为 ?15 x 2 ,系数最大的项为

105 13 x3 ) 8

9、二项式定理的应用:二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、 应用其首尾几项进行放缩证明不等式。 如(1)(0.998)5 精确到 0.001 近似值为________(答:0.990) ;

(2) 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 被 4 除所得的余数为_____(答:0) ;
2 99

(3)今天是星期一,10045 天后是星期_____(答:二) ;

(4)求证: 3

2 n? 2

? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除;
n?1

(5)求证: 3 ? (n ? 2)2
n

(n ? N * , 且n ? 2)

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