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湖北省武汉市部分重点中学2013-2014学年高一上学期期末考试


高一期末考试

数 学 试 卷 时间 120 分钟
第Ⅰ 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1、已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0}, B ? {x | x ? 1},则 A ? B ? A. {x | x ?

1} B. {x | x ? 3} C. {x |1 ? x ? 3} D. {x | ?1 ? x ? 1}

x ? 2、函数 f ( x) = 3 tan( ? ) , x ? R 的最小正周期为 2 4 ? A. B. ? C. 2? 2

D. 4?

3、如果偶函数 f ( x) 在 [3,7] 上是增函数且最小值是 2,那么 f ( x) 在 [?7,?3] 上是 A. 减函数且最小值是 2 C. 增函数且最小值是 2 4、 函数 f ( x) ? 2 x ? tan x 在 ( ? B.. 减函数且最大值是 2 D. 增函数且最大值是 2 .

? ?

, ) 上的图像大致为 2 2

? 3 ? 5、已知 sin( ? x) ? ,则 cos( x ? ) ? 3 5 6 3 4 3 4 A. B. C. ? D. ? 5 5 5 5 5? 6、 函数 y=sin(2x+ )图象的一条对称轴方程是: 2 ? ? ? 5? A. x ? ? B. x ? ? C. x ? D. x ? 2 4 8 4
7、在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正 方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形的面积是 1,小正方形 1 的面积是 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于 25 A.1 B. ? 7 C. 7 D. ? 24
-1-

25

25

25

8、 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 平移

?
2

) 的部分图象如图示, 则将 y ? f ( x) 的图象向右

? 个单位后,得到的图象解析为 6
B. y ? cos 2 x
2? ) 3

A. y ? sin 2 x C. y ? sin( 2 x ?

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

9、某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额: (1)如果不超过 200 元,则不给予优惠; (2)如果超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; (3)如果超过 500 元,其 500 元内的按第(2)条给予优惠,超过 500 元的部分给予 7 折优惠. 某人两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则 应付款是 A .413.7 元 B. 513.7 元 C. 546.6 元 D .548.7 元 10、给出以下命题:
① 若 ? 、 ? 均为第一象限角,且 ? ? ? ,且 sin ? ? sin ? ; ② 若函数 y ? 2 cos? ax ?

? ?

??

1 ? 的最小正周期是 4? ,则 a ? ; 2 3?

③ 函数 y ?

sin 2 x ? sin x 是奇函数; sin x ? 1
1 | 的周期是 ? 2

④ 函数 y ?| sin x ?

⑤ 函数 y ? sin x ? sin | x | 的值域是 [0,2]

其中正确命题的个数为: A. 3 B. 2

C. 1

D. 0

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 11、 sin 480? ? tan300? 的值为________.

? 1 ? 12.、已知 sin(? ? ) ? , ? ? (? , 0), 则 tan ? 的值为________. 2 3 2
13、已知函数 y ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在 (??, 4) 上是减函数,则实数 a 的取值范围是________.

-2 -

14 、已知函数 f ( x) 的最小正周期为 ? , 有一条对称轴为 x ?
f ( x) ? ________.

?
3

,试写出一个满足条件的函数

15 、 定义在 R 上的函数 f ( x) , 对任意 x∈ R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) , 当 x ? (?2,0) 时 , f ( x ) ? 2 x , 则
f (2013) ? ________.

16 、如图所示 , 为了研究钟表与三角函数的关系 , 建立如图所示的坐标系 , 设秒针针尖位置
P( x, y ) ,若初始位置为 P0 (

3 1 , ) ,当秒针从 P0 (注此时 2 2

t ? 0 )正常开始走时,那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函

数关

系为________. 17、 已知函数 f (x)=
2 ? ax (a≠1). a ?1

(1) 若 a>0, 则 f (x)的定义域为 ; (2) 若 f (x)在区间(0, 1]上是减函数, 则实数 a 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 5 个小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18、 (本题满分 12 分) (Ⅰ )化简:

1 ? 2 sin 20? cos 20? sin 160? ? 1 ? sin 2 20?
2 cos(

;

(Ⅱ )已知: tan ? ? 3 ,



3? ??) 2 2 的值. 4 cos( ?? ) ? sin( 2? ? ? ) ? ? ) ? 3 sin(

?

19 、 (本 题满 分 12 分 ) 已知 全集 为 R , 函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的 定义 域为 集合 A , 集 合
B ? {x | x( x ? 1) ? 6} ,
(Ⅰ )求 A U B, A ? (C R B) ; (Ⅱ )若 C ? {x | ?1 ? m ? x ? 2m} ,且 C ? ? , C ? ( A ? (C R B)) ,求实数 m 的取值范围.

? 2 ? 3? , x ? ( , ). 20、 (本题满分 13 分)已知 cos( x ? ) ? 4 10 2 4
(1)求 sin x 的值;
-3-

? (2)求 sin(2 x ? ) 的值. 3

21、 (本题满分 14 分)已知 f ( x) ? 3 sin 4 x ? (sin x ? cos x) 2 ? 3 cos4 x (1)求 f ( x) 的最小值及取最小值时 x 的集合;

? (2)求 f ( x) 在 x ? [0, ] 时的值域; 2 ? ? (3)求 f ( x) 在 x ? [ ? , ] 时的单调递减区间; 2 2

22、(14 分) 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? a) ? 1 过点 (4,4) . (1)求实数 a ; (2)将函数 f ( x) 的图象向下平移 1 个单位,再向右平移 a 个单位后得到函数 g ( x) 图象, 设函数 g ( x) 关于 y 轴对称的函数为 h( x) ,试求 h( x) 的解析式; (3) 对于定义在 (?4,0) 上的函数 y ? h( x) , 若在其定义域内, 不等式 [h( x) ? 2]2 ? h( x)m ?1 恒成立,求实数 m 的取值范围.

-4-

答案
一、选择题 1 C 2 C 3 A 4 C 5 A 6 A 7 B 8 D 9 C 10 D

二.填空题 11、 ?

3 2

12、 ?2 2

、13、 (??, ?3]

14、 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

)

15、

1 2

16、 y ? sin( ? 三、解答题

?
30

t?

?
6

)

17、 (?? , ] ; (??,0) ? (1,2]

2 a

18、解: (Ⅰ )原式= (Ⅱ )解:原式=

1 ? 2 sin 20? cos 20? cos 20? ? sin 20? = =?1 sin 20? ? cos 20? sin 20? ? cos 20?
2 sin ? ? 3 cos ? 2 tan ? ? 3 ?9 = 4 cos ? ? sin ? 4 ? tan ?

6分 6分 ……2 分

19.解:(1)由 1 ? x ? 0 得,函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域 A ? ?x | x ? 1?

x 2 ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)(x ? 2) ? 0 ,得 B ? {x | x ? 3或x ? ?2}
∴ A ? B ? ?x | x ? 1或x ? 3?,

……4 分 ……5 分 ……6 分

CR B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,? A ? (C R B) ? ?x | ?2 ? x ? 1?
?? 1 ? m ? 2 m ? (2) ? C ? ?x | ?2 ? x ? 1?,且 C ? ? , ?? 1 ? m ? ?2 , ?2 m ? 1 ?
?1 ? m ? 1 2

……10 分

12 分

20 、 . ( 1 ) 因 为 x ? ( 3分

? 3?
2 , 4

), 所 以 x ?

?
4

?(

? ?
4 ,

? ? 7 2 ), 于 是 sin( x ? ) ? 1 ? cos 2 ( x ? ) ? 2 4 4 10
? ?

sin x ? sin[( x ? ) ? ] ? sin( x ? ) cos ? cos( x ? ) sin 4 4 4 4 4 4

?

?

?

?

?

7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5

6分

(2)因为 x ? (

? 3?
2 ,

4 3 ). 故 cos x ? ? 1 ? sin 2 x ? ? 1 ? ( )2 ? ? . 4 5 5

8分

-5-

sin 2 x ? 2sin x cos x ? ?
所以中 sin(2 x ?

24 7 .cos 2 x ? 2 cos 2 ? ?1 ? ? . 25 25

10 分

?
3

) ? sin 2 x cos

?
3

? cos 2 x sin

?
3

??

24 ? 7 3 . 50
4分 5分

12 分

21、化简得 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 最小值为 ? 1

?
3

) ?1

x 的集合为 {x | x ? k? ?
(2)当 x ? [0,

?
12

, k ? Z}

7分

, ] , f ( x) ?[? 3 ? 1,3] 10 分 3 3 ? ? 3? 5? 11? ? x ? k? ? ,k ? Z (3)当 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 即 k? ? 2 3 2 12 12 ? ? 5? ? [ ? ,? ], [ , ] 14 分 ? 2 12 12 2 2 3
22. 解: (1)由已知 log2 (4 ? a) ? 1 ? 4 . a ? 4 3分 ,

?

] 时, 2 x ?

?

? [?

? 2?

(2)f ( x) ? log2 ( x ? 4) ? 1 向下平移 1 个单位后再向右平移 4 个单位后得到函数 g ( x) ? log2 x 函数 g ( x) 关于 y 轴对称的函数为 h( x)

? h( x) ? log2 (? x)(x ? 0)
(3)? (log2 (? x) ? 2) 2 ? m log2 (? x) ? 1在 (?4,0) 恒成立

6分

? 设 t ? log2 (? x)(?4 ? x ? 0)

则t ? 2

?(t ? 2)2 ? tm ?1 即: t 2 ? (4 ? m)t +5 ? 0 ,在 t ? 2 时恒成立. 8 分
令 g (t ) ? t 2 ? (4 ? m)t ? 5

?m ? 2 ?2 ? ?? 2 ?? ? (4 ? m) 2 ? 20 ? 0 ? ?m ? 2 ?2 ? 或? 2 ? ? g (2) ? 17 ? 2m ? 0
综合得: 4 ? 2 5 ? m ?

?4 ? 2 5 ? m ? 8

11 分

?8 ? m ? 17 2

17 2
14 分

13 分

-6-


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