当前位置:首页 >> 高考 >>

2016年全国普通高等学校高考数学二模试卷(理科)(衡水金卷)(解析版)


2016 年全国普通高等学校高考数学二模试卷 (理科) (衡水金卷)
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在下列每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|y= ∩B 等于( ) A.[﹣1,0] B. (﹣1,0) ,集合 B={y|y=( )x,x∈A},则(?UA) D. (1,2) )

C.[1,2]

2.已知 i 为虚数单位,若 +a=1+bi(a,b∈R) ,则 a+b 等于(

A.﹣4 B.6 C.﹣6 D.4 3.在 2015 年夏天,一个销售西瓜的个体户为了了解气温与西瓜销售之间的关系,随机统计 了四天气温与当天的销售额,其数据如表: 32 34 38 40 气温(℃) 421 446 497 520 销售额(元) 由表中数据得到线性回归方程 A.400 元 B.420 元 =12x+ ,当气温为 35℃时,预测销售额约为( D.459 元 )

C.448 元 ﹣

4.已知 F 为双曲线 C:

=1(a>0,b>0)的左焦点,且双曲线 C 的焦距为 2c,定 )

c) 点G (0, , 若双曲线 C 上存在点 P 满足|PF|=|PG|, 则双曲线的离心率的取值范围是 ( A. C.[ ,+∞) D. ( ,+∞) B. (1, ) (1, )

5.将一个球体截掉 后,所得几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )

A.

B.

C.

D. )

6.某程序框图如图所示,若输出 S=1,则判断框中 M 为(

第 1 页(共 24 页)

A.k<3?

B.k≤3? +

C.k≤4? = D.16

D.k>4? + + =12,则 + =( )

7.在数列{an}中, A.12 B.24 C.8

,且

8.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 8,则函数 f(x)的解析式为( )

<φ<

)的图象如图所示,若

?

=



A.f(x)=2sin(3x﹣



B.f(x)=2sin(3x+ )

) C.f(x)=2sin(2x+



D.f(x)=2sin(2x﹣

9.已知(m+x)7=a0+a1(1﹣x)+a2(1﹣x)2+…+a7(1﹣x)7,a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7=37, 则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=( ) A.1 B.2187 C.2188 D.﹣2187 10.设直线 y=k(x﹣2) (k>0)与抛物线 C:y2=16x 交于 A、B 两点,点 F 为直线与 x 轴 的交点,且 =2 ,则 k 的值为( ) A. B.8 C. D.4

11.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:①图象关于点(1,0)对称;②f(x)关于 x=

﹣1 对称;③当∈[﹣1,1]时,f(x)=
|x|

,则函数 y=f(x)﹣( )

在区间[﹣3,3]内的零点个数为(


第 2 页(共 24 页)

A.3

B.4

C.5

D.6

12.若数列{an}满足:存在正整数 T,对于任意正整数 n 都有 an+T=an 成立,则称数列{an} 为周期数列,周期为 T.已知数列{an}满足 a1=m(m>0) , a3=4,则 m 的所有可能取值为( A.{6, } B.{6, , ,若

) } D.{6, }

} C.{6, ,

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若函数 f(x)=x+ +2a﹣1 为奇函数,则 a=______. 14.若函数 f(x)= sinωxcosωx﹣ cos2ωx+ (x∈R,ω>0)的最小正周期为 ,则

ω 等于______. 15.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB=2AD=2DC=2,E 为 BC 边上一点, 线段 AE 的中点,则 ? =______.

=3

,F 为

16.若 a∈( ,4) ,将函数 f(x)=2x﹣

的图象向右平移 2 个单位后得曲线 C1,将函数

y=g(x)的图象向下平移 2 个单位后得曲线 C2,C1 与 C2 关于 x 轴对称,若 F(x)= g(x)的最小值为 m,且 m>2+ ,则实数 a 的取值范围是______.

三.解答题 (本大题共 5 小题, 共 70 分, 解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,已知 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且满足 =﹣ .

(1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,求 b+c 的取值范围. 18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,E、F、G 分 别为线段 BC、PA、AB 上的点,H 为△PCD 的重心,PA=AB=3,FA=BG=CE=1. (1)求证:BF∥平面 PDE; (2)求异面直线 GH 与 PE 所成角的余弦值.

第 3 页(共 24 页)

19.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,其兼具文化性和社会性,是精神文明建 设成果的一个重要指标和象征.2015 年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进 行了年龄的调查,随机抽取了 40 名广场舞者,将他们年龄分成 6 段:[20,30) ,[30,40) , [40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80],得到如图的频率分布直方图. (1)估计在 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数; (2)求 40 名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值; (3)若从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名, ①求这 2 名广场舞者年龄不都在[20,30)的概率; ②求这两名广场舞者中年龄在[30,40)的人数 X 的分布列及其数学期望.

20.已知椭圆 E:

+

=1(a>0) ,P(

,﹣ )是椭圆 E 上的一点.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 l 与椭圆相交于 B、C 两点,且满足 kOB?kOC=﹣ ,O 为坐标原点,求证:△ OBC 的面积为定值. 21.已知函数 f(x)=ex﹣ax+a,其中 a∈R,e 为自然对数的底数. (1)讨论函数 f(x)的单调性,并写出对应的单调区间; (2)设 b∈R,若函数 f(x)≥b 对任意 x∈R 都成立,求 ab 的最大值. 请考生在 22.23.24 题三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分)[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,AB 是的⊙O 直径,CB 与⊙O 相切于 B,E 为线段 CB 上一点,连接 AC、AE 分别交⊙O 于 D、G 两点,连接 DG 交 CB 于点 F. (Ⅰ)求证:C、D、G、E 四点共圆. (Ⅱ)若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E,EG=1,GA=3,求线段 CE 的长.

第 4 页(共 24 页)

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

, (t 为参数) ,以点 O

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆锥曲线 C 的极坐标方程为 ρ2= (1)求圆锥曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 交圆锥曲线 C 于 M,N 两点,求|MN|的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+m|+|x﹣3|,g(x)= .



(1)m>﹣3 时,若不等式 f(x)≥8 的解集为(﹣∞,﹣3]∪[5,+∞) ,求实数 m 的值: (2)若存在实数 x0,使得 g(x0)>log (3t+1)成立,求实数 t 的取值范围.

第 5 页(共 24 页)

2016 年全国普通高等学校高考数学二模试卷(理科) (衡 水金卷)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在下列每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|y= ∩B 等于( ) A.[﹣1,0] B. (﹣1,0) ,集合 B={y|y=( )x,x∈A},则(?UA) D. (1,2)

C.[1,2]

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出 A 补集与 B 的交 集即可. 【解答】解:由 A 中 y= ,得到﹣x2﹣x≥0,即 x(x+1)≤0,

解得:﹣1≤x≤0,即 A=[﹣1,0], ∴?UA=(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞) , 由 B 中 y=( )x,x∈A,得到 y∈[1,2], 则(?UA)∩B=[1,2], 故选:C.

2.已知 i 为虚数单位,若 +a=1+bi(a,b∈R) ,则 a+b 等于( A.﹣4 B.6 C.﹣6 D.4



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简 +a, 再由复数相等的充要条件即可求出 a, b 的值,则答案可求. 【解答】解:∵ +a= ∴a=1,b=﹣5. 则 a+b=﹣4. 故选:A. 3.在 2015 年夏天,一个销售西瓜的个体户为了了解气温与西瓜销售之间的关系,随机统计 了四天气温与当天的销售额,其数据如表: 32 34 38 40 气温(℃) 421 446 497 520 销售额(元) =1+bi,

第 6 页(共 24 页)

由表中数据得到线性回归方程 A.400 元 B.420 元

=12x+

,当气温为 35℃时,预测销售额约为( D.459 元



C.448 元

【考点】线性回归方程. 【分析】求出数据样本中心点( , ) ,代入回归方程得出 a,再利用回归方程进行数值估 计. 【解答】解:由 = 由线性回归方程 ∴ =12x+ =36, = =471,

,过样本中心点( , ) ,

= ﹣12 =39, =12x+5,

故线性回归方程为: ∴当 x=35 时,y=459, 故答案选:D.

4.已知 F 为双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左焦点,且双曲线 C 的焦距为 2c,定

c) 点G (0, , 若双曲线 C 上存在点 P 满足|PF|=|PG|, 则双曲线的离心率的取值范围是 ( ) A. C.[ ,+∞) D. ( ,+∞) B. (1, ) (1, ) 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出 F 的坐标,FG 的中点和斜率,可得线段 FG 的垂直平分线方程,由题意可得 FG 的垂直平分线与双曲线有交点, 运用渐近线的斜率可得﹣1>﹣ , 再由离心率公式计算 即可得到所求范围. 【解答】解:由题意可得 F(﹣c,0) ,FG 的中点为(﹣ , ) , 直线 FG 的斜率为 =1,可得 FG 的垂直平分线的斜率为﹣1,

即有线段 FG 的垂直平分线方程为 y﹣ c=﹣(x+ c) ,即为 y=﹣x. 由双曲线 C 上存在点 P 满足|PF|=|PG|, 可得 FG 的垂直平分线与双曲线有交点, 由双曲线的渐近线方程为 y=± , 即有﹣1>﹣ ,即 a<b,可得 a2<b2=c2﹣a2, 可得 e= > 故选:A. ,

第 7 页(共 24 页)

5.将一个球体截掉 后,所得几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单空间图形的三视图. 【分析】从正视图和俯视图分析,得出球体截掉 后的位置应该在的方位,即可得出结论. 【解答】解:由俯视图与侧视图可知球体截掉 后在原球的前右下方, 故几何体的侧视图:D; 故选:D 6.某程序框图如图所示,若输出 S=1,则判断框中 M 为( )

A.k<3?

B.k≤3?

C.k≤4?

D.k>4?

【考点】程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加并输出 S 的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答 案. 【解答】解:模拟执行程序,可得 S=0,k=1 S= , + ,

满足条件,k=2,S=

第 8 页(共 24 页)

满足条件,k=3,S=

+

+

=(

﹣1)+(



)+(



)=2

﹣1=1, 由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出 S 的值为 1, 则判断框中应该为 k<3? 故选:A.

7.在数列{an}中, A.12 B.24 C.8 【考点】数列递推式.

+

= D.16

,且

+

+

=12,则

+

=(



【分析】由已知数列递推式可得 a6 的值,再由等差数列的性质求得 【解答】解:由 即数列{ 又 ∴ + + = ,可得 ,

+

的值.

}是等差数列, + =12, ,即 ,则 ,



+

=



故选:C.

8.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 8,则函数 f(x)的解析式为( )

<φ<

)的图象如图所示,若

?

=



A.f(x)=2sin(3x﹣



B.f(x)=2sin(3x+ )

) C.f(x)=2sin(2x+



D.f(x)=2sin(2x﹣

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】根据函数 f(x)的图象得出 A 的值,设点 P(a,0) ,由此表示出 方程求出 a 的值,再求函数的最小正周期 T 与 ω、φ 的值即可.
第 9 页(共 24 页)



,列出

【解答】解:根据函数 f(x)的图象知,A=2,设 P(a,0) ,且 a<0; 则 Q( ∴ 又 ∴( =( ? = ﹣a) ( ,2) ,S( ﹣a,2) , ﹣8, ﹣2a)﹣8= ﹣8, ﹣2a,﹣2) ; =( ﹣2a,﹣4) ;

解得 a=﹣ 当 a=﹣

或 a= 时, T=

(不合题意,舍去) ; ﹣(﹣ )= ,

解得 T=π, ∴ω=2,此时 φ= ; ) .

∴函数 f(x)=2sin(2x+ 故选:C.

9.已知(m+x)7=a0+a1(1﹣x)+a2(1﹣x)2+…+a7(1﹣x)7,a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7=37, 则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=( ) A.1 B.2187 C.2188 D.﹣2187 【考点】二项式系数的性质. 【分析】由于(m+x)7=a0+a1(1﹣x)+a2(1﹣x)2+…+a7(1﹣x)7,令 x=2 可得: (m+2) 7 7 =a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7=3 ,于是 m=1.进而得到|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣ a7=37. 【解答】解:∵(m+x)7=a0+a1(1﹣x)+a2(1﹣x)2+…+a7(1﹣x)7, ∴令 x=2 可得: (m+2)7=a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7=37,∴m=1.
7 =[2﹣ ∴ (1+x) (1﹣x) ]7=

+

+… ﹣



∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7=37=2187. 故选:B. 10.设直线 y=k(x﹣2) (k>0)与抛物线 C:y2=16x 交于 A、B 两点,点 F 为直线与 x 轴 的交点,且 =2 ,则 k 的值为( ) A. B.8 C. D.4

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】先设点 A,B 的坐标,将直线方程与抛物线方程联立消去 y 得到关于 x 的一元二次 方程,运用韦达定理,再根据向量的有关知识得到坐标的关系,进而代入抛物线的方程中解 方程即可得到 k 的值. 【解答】解:直线 y=k(x﹣2)与抛物线 C:y2=16x 联立, 可得 k2(x﹣2)2﹣16x=0,即为 k2x2﹣(4k2+16)x+4k2=0,
第 10 页(共 24 页)

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,F(2,0) , 可得 x1+x2= ,y1+y2=k(x1+x2﹣4)=k( =(x2﹣2,y2) , ﹣4)= ,①

即有 =(2﹣x1,﹣y1) , 由 =2 , 可得 ,



,②

①②联立可得,x2=

,y2=﹣



代入抛物线方程 y2=16x 可得 化简可得 2k2=32, 由 k>0 可得 k=4. 故选:D.

=16?



11.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:①图象关于点(1,0)对称;②f(x)关于 x=

﹣1 对称;③当∈[﹣1,1]时,f(x)=
|x|

,则函数 y=f(x)﹣( )

在区间[﹣3,3]内的零点个数为( A.3 B.4 C.5 D.6



【考点】函数零点的判定定理. 【分析】由①可得 f(x)+f(2﹣x)=0,求得 x 在[1,3]上的 f(x)的解析式;再由②求 得 x 在[﹣3,﹣1]上的解析式,画出 f(x)和 y═( )|x|在[﹣3,3]的图象,通过图象观 察,可得它们有 5 个交点,即可得到零点的个数. 【解答】解:由题意可得 f(x)+f(2﹣x)=0, 当 1≤x≤2 时,0≤2﹣x≤1,f(2﹣x)=cos 则 f(x)=﹣f(2﹣x)=cos x; (2﹣x)=﹣cos x,

当 2<x≤3 时,﹣1≤x<0,f(2﹣x)=1﹣(2﹣x)2, 则 f(x)=﹣f(2﹣x)=(2﹣x)2﹣1. 由②f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x) ,即为 f(x)=f(﹣x﹣2) , 当﹣3≤x≤﹣2 时,0≤﹣2﹣x≤1,f(﹣2﹣x)=cos
第 11 页(共 24 页)

(﹣2﹣x)=﹣cos

x,

则 f(x)=﹣f(﹣2﹣x)=﹣cos

x;

当﹣2<x≤﹣1 时,﹣1≤﹣2﹣x<0,f(﹣2﹣x)=1﹣(﹣2﹣x)2, 则 f(x)=f(﹣2﹣x)=1﹣(﹣2﹣x)2. y=f(x)﹣( )|x|在区间[﹣3,3]上的零点 即为 y=f(x)和 y=( )|x|在[﹣3,3]的交点个数. 作出 y=f(x)和 y═( )|x|在[﹣3,3]的图象, 通过图象观察,可得它们有 5 个交点, 即有 5 个零点. 故选:C.

12.若数列{an}满足:存在正整数 T,对于任意正整数 n 都有 an+T=an 成立,则称数列{an} 为周期数列,周期为 T.已知数列{an}满足 a1=m(m>0) , a3=4,则 m 的所有可能取值为( A.{6, } B.{6, , ,若

) } D.{6, }

} C.{6, ,

【考点】数列递推式. 【分析】对 m 分类讨论,利用递推关系即可得出.

【解答】解:数列{an}满足 a1=m(m>0) ,

,a3=4,

①若 m>2,则 a2=m﹣1>1,∴a3=m﹣2=4,解得 m=6. ②若 m=2,则 a2=m﹣1=1,∴a3= =1≠4,舍去. =4,解得 m= .

③若 1<m<2,则 a2=m﹣1∈(0,1) ,∴a3= ④若 m=1,则 a2= =1,∴a3= ≠4,舍去.

⑤若 0<m<1,则 a2=

= >1,∴a3=a2﹣1= ﹣1=4,解得 m= .
第 12 页(共 24 页)

综上可得:m∈ 故选:C.



二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若函数 f(x)=x+ +2a﹣1 为奇函数,则 a= 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】令 f(﹣1)=f(1)列方程即可解出 a. 【解答】解:∵函数 f(x)=x+ +2a﹣1 为奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1) . ∴﹣1﹣1+2a﹣1=﹣(1+1+2a﹣1) , 即 2a﹣3=﹣1﹣2a,解得 a= . 故答案为: . .

14.若函数 f(x)= sinωxcosωx﹣

cos2ωx+

(x∈R,ω>0)的最小正周期为

,则

ω 等于 2 . 【考点】三角函数的周期性及其求法;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式, 利用三角函数周期公式即可计算得 解. 【解答】解:∵f(x)= sinωxcosωx﹣ = sin2ωx﹣ = sin2ωx﹣ = sin(2ωx﹣ ? cos2ωx ) , = ,可得:ω=2. + cos2ωx+

∴函数 f(x)的最小正周期为 T= 故答案为:2.

15.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB=2AD=2DC=2,E 为 BC 边上一点, 线段 AE 的中点,则 ? = .

=3

,F 为

第 13 页(共 24 页)

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】取 AB 的中点 G,连接 DG,CG,利用向量相等将 示,然后进行向量的乘法运算即可. 【解答】解:取 AB 的中点 G,连接 DG,CG,如图 则 DG∥BC,所以 所以 所以 所以 = 故答案为: . ; = = , =



分别用向量





, , =

16.若 a∈( ,4) ,将函数 f(x)=2x﹣

的图象向右平移 2 个单位后得曲线 C1,将函数

y=g(x)的图象向下平移 2 个单位后得曲线 C2,C1 与 C2 关于 x 轴对称,若 F(x)= g(x)的最小值为 m,且 m>2+ 【考点】函数的图象与图象变化. 【分析】根据 C1 推出 C2,由 C2 推出 g(x) ,再算出=( ﹣ )?2x+ 不等式即可求出实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵将的图象向右平移 2 个单位后得曲线 C1, ∴曲线 C1:p(x)=2x﹣2﹣ , +2,利用基本 ,则实数 a 的取值范围是 ( ,2) .

∵曲线 C2,C1 与 C2 关于 x 轴对称, ∴曲线 C2:q(x)= ﹣2x﹣2,

∵将函数 y=g(x)的图象向下平移 2 个单位后得曲线 C2, ∴g(x)= ﹣2x﹣2+2, ﹣2x﹣2+2=( ﹣ )?2x+

∴F(x)=

+g(x)=



+

+2,

第 14 页(共 24 页)

∵a∈( ,4) , ∴ ﹣ >0,4a﹣1>0, ∵2x>0, ∴F(x)≥2 ∵F(x)最小值为 m 且 m>2+ ∴m=2 解得: <a<2. 综上所述:实数 a 的取值范围为( ,2) . 故答案为: ( ,2) . +2, , ,

+2>2+

三.解答题 (本大题共 5 小题, 共 70 分, 解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,已知 a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且满足 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=2,求 b+c 的取值范围. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (1)根据正弦定理进行化简即可求角 A 的大小; (2)由正弦定理可得 ( = ,可得 b+c= (sinB+sinC)= sin =﹣ .

+C) ,再利用三角函数的单调性即可得出. =﹣ , ,

【解答】解: (1)∵ ∴ =﹣ =﹣

即 2sinBcosA+cosAsinC=﹣sinAcosC, 即 2sinBcosA=﹣(sinAcosC+cosAsinC)=﹣sin(A+C)=﹣sinB, ∵sinB≠0, ∴cosA=﹣ ,即 A= ;

(2)由正弦定理可得

=



∴b+c= = sin(

(sinB+sinC)= +C ) ,

[sin(

﹣C)+sinC]

第 15 页(共 24 页)

∵0<C< ∴ ∴ ∴2< <C+

, < , )≤1, +C)≤ , ].

<sin(C+ sin(

故 b+c 的取值范围为: (2,

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,E、F、G 分 别为线段 BC、PA、AB 上的点,H 为△PCD 的重心,PA=AB=3,FA=BG=CE=1. (1)求证:BF∥平面 PDE; (2)求异面直线 GH 与 PE 所成角的余弦值.

【考点】异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利 用向量法能证明 BF∥平面 PDE. (2)求出 , ,利用向量法能求出异面直线 GH 与 PE 所成角的余弦值. 【解答】证明: (1)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标 系, B(3,0,0) ,F(0,0,1) ,P(0,0,3) ,E(3,2,0) ,D(0,3,0) , =(﹣3,0,1) , =(0,3,﹣3) , =(3,2,﹣3) , 设平面 PDE 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ∵ ,取 y=3,得 =(1,3,3) , =﹣3+0+3=0,BF?平面 PDE,∴BF∥平面 PDE. =( ) ,

(2)C(3,3,0) ,G(2,0,0) ,CD 中点 M( ,3,0) , ∴ = =(1,2,﹣2) ,∴H(1,2,1) ,

=(﹣1,2,1) , =(3,2,﹣3) , 设异面直线 GH 与 PE 所成角为 θ, 则 cosθ= = = .

第 16 页(共 24 页)

∴异面直线 GH 与 PE 所成角的余弦值为



19.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,其兼具文化性和社会性,是精神文明建 设成果的一个重要指标和象征.2015 年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进 行了年龄的调查,随机抽取了 40 名广场舞者,将他们年龄分成 6 段:[20,30) ,[30,40) , [40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80],得到如图的频率分布直方图. (1)估计在 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数; (2)求 40 名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值; (3)若从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名, ①求这 2 名广场舞者年龄不都在[20,30)的概率; ②求这两名广场舞者中年龄在[30,40)的人数 X 的分布列及其数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)由频率分布直方图求出年龄分布在[40,70)的频率,由此能求出估计在 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数. (2)设 40 名广场舞者年龄的中位数为 x,则 0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×(x ﹣50)=0.5,由此能求出中位数的估计值为 55.利用频率分布直方图能求出 40 名广场舞者 年龄的平均数的估计值. (3)①由频率分布直方图求出年龄在[20,30) 的广场舞者有 2 人, 年龄在[30,40)的广场舞者有 4 人,从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名,由此能 求出这 2 名广场舞者年龄不都在[20,30)的概率.

第 17 页(共 24 页)

②这两名广场舞者中年龄在[30,40)的人数 X 的可能取值为 0,1,2,分别求出相应的概 率,由此能求出 X 的分布列及其数学期望. 【解答】解: (1)由频率分布直方图得到年龄分布在[40,70)的频率为: (0.020+0.030+0.025)×10=0.75, ∴估计在 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为: 40×0.75=30(名) . (2)设 40 名广场舞者年龄的中位数为 x, 则 0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×(x﹣50)=0.5, 解得 x=55,即中位数的估计值为 55. 40 名广场舞者年龄的平均数的估计值: =0.005×10×25+0.010×10×35+0.020×10×45+0.030×10×55+0.025×10×65+0.010×10 ×75=54. (3)①由频率分布直方图得年龄在[20,30)的广场舞者有 0.005×10×40=2 人, 年龄在[30,40)的广场舞者有 0.01×10×40=4 人, 从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名, 基本事件总数 n= =8, ∴这 2 名广场舞者年龄不都在[20,30)的概率 p= = . =15, 30) 这 2 名广场舞者年龄不都在[20, 包含的基本事件个数 m=

②这两名广场舞者中年龄在[30,40)的人数 X 的可能取值为 0,1,2, P(X=0)= = ,

P(X=1)=

=



P(X=2)=

=



∴X 的分布列为: X P ∴EX=

0

1

2

= .

20.已知椭圆 E:

+

=1(a>0) ,P(

,﹣ )是椭圆 E 上的一点.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 l 与椭圆相交于 B、C 两点,且满足 kOB?kOC=﹣ ,O 为坐标原点,求证:△ OBC 的面积为定值.
第 18 页(共 24 页)

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)利用 P( ,﹣ )是椭圆 E 上的一点,代入椭圆方程,解出 a,进而得到

椭圆方程; (2)讨论直线 l 的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦 长公式,由斜率的公式,化简可得 t2=2+4k2,再由点到直线的距离公式,即可得到△OBC 的面积为定值. 【解答】 (1)解:∵P( ∴ ∴a=2 + , + =1; =1, ,﹣ )是椭圆 E 上的一点,

∴椭圆 E 的方程为

(2)证明:当直线 l 的斜率不存在,令 x=m,代入椭圆方程,

可得 y=±2

,由 kOB?kOC=﹣ ,可得 )或(﹣2,± =2 ; ) ,

=﹣ ,

解得 m=±2,交点为(2,± 即有△OBC 的面积为 ×2×2

当斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+t,代入椭圆方程 x2+2y2=8, 可得(1+2k2)x2+4ktx+2t2﹣8=0, 设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) ,则 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

|x1﹣x2|=

=



由 kOB?kOC=﹣ ,可得 x1x2+2y1y2=0,由 y1=kx1+t,y2=kx2+t, 可得(1+2k2)x1x2+2kt(x1+x2)+2t2=0, 即有(1+2k2)? 化简可得,t2=2+4k2, 即有|x1﹣x2|= , +2kt(﹣ )+2t2=0,

原点到直线 y=kx+t 的距离为 d=



第 19 页(共 24 页)

可得△OBC 的面积为 S= d|BC|= 总是可得△OBC 的面积为定值 2 .

?

?

=2



21.已知函数 f(x)=ex﹣ax+a,其中 a∈R,e 为自然对数的底数. (1)讨论函数 f(x)的单调性,并写出对应的单调区间; (2)设 b∈R,若函数 f(x)≥b 对任意 x∈R 都成立,求 ab 的最大值. 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (1)通过函数 f(x) ,得 f′(x) ,然后结合 f′(x)与 0 的关系对 a 的正负进行讨论 即可; (2)对 a 的正负进行讨论:当 a<0 时,f(x)≥b 不可能恒成立;当 a=0 时,此时 ab=0; 当 a>0 时,由题结合(1)得 ab≤2a2﹣a2lna,设 g(a)=2a2﹣a2lna(a>0) ,问题转化为 求 g(a)的最大值,利用导函数即可. 【解答】解: (1)由函数 f(x)=ex﹣ax+a,可知 f′(x)=ex﹣a, ①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在 R 上单调递增; ②当 a>0 时,令 f′(x)=ex﹣a=0,得 x=lna, 故当 x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0,此时 f(x)单调递减; 当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,此时 f(x)单调递增. 综上所述,当 a≤0 时,函数 f(x)在单调递增区间为(﹣∞,+∞) ; 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递减区间为(﹣∞,lna) ,单调递增区间为(lna,+∞) ; (2)由(1)知,当 a<0 时,函数 f(x)在 R 上单调递增且当 x→﹣∞时,f(x)→﹣∞, ∴f(x)≥b 不可能恒成立; 当 a=0 时,此时 ab=0; 当 a>0 时,由函数 f(x)≥b 对任意 x∈R 都成立,可得 b≤fmin(x) , 2 2 ∵fmin(x)=2a﹣alna,∴b≤2a﹣alna,∴ab≤2a ﹣a lna, 设 g(a)=2a2﹣a2lna (a>0) ,则 g′(a)=4a﹣(2alna+a)=3a﹣2alna, 由于 a>0,令 g′(a)=0,得 当 当 ,故 ,

时,g′(a)>0,g(a)单调递增; 时,g′(a)<0,g(a)单调递减.

所以

,即当



时,ab 的最大值为



请考生在 22.23.24 题三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分)[选修 4-1: 几何证明选讲] 22.如图,AB 是的⊙O 直径,CB 与⊙O 相切于 B,E 为线段 CB 上一点,连接 AC、AE 分别交⊙O 于 D、G 两点,连接 DG 交 CB 于点 F. (Ⅰ)求证:C、D、G、E 四点共圆. (Ⅱ)若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E,EG=1,GA=3,求线段 CE 的长.

第 20 页(共 24 页)

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (Ⅰ)连接 BD,由题设条件结合圆的性质能求出∠C=∠AGD,从而得到∠C+∠ DGE=180°,由此能证明 C,E,G,D 四点共圆. (Ⅱ)由切割线定理推导出 EB=2,由此能求出 CE 的长. 【解答】 (Ⅰ)证明:连接 BD,则∠AGD=∠ABD, ∵∠ABD+∠DAB=90°,∠C+∠CAB=90° ∴∠C=∠AGD, ∴∠C+∠DGE=180°, ∴C,E,G,D 四点共圆.….. (Ⅱ)解:∵EG?EA=EB2,EG=1,GA=3, ∴EB=2, 又∵F 为 EB 的三等分点且靠近 E, ∴ , ,

又∵FG?FD=FE?FC=FB2, ∴ ,CE=2.….

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

第 21 页(共 24 页)

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

, (t 为参数) ,以点 O

为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆锥曲线 C 的极坐标方程为 ρ2= (1)求圆锥曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 交圆锥曲线 C 于 M,N 两点,求|MN|的值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.



【分析】 (1)直线 l 的参数方程为

, (t 为参数) ,消去参数化为普通方程.圆

锥曲线 C 的极坐标方程为 ρ2=

2 =12, y=ρsinθ, , 化为 3ρ2+ (ρsinθ) 利用 ρ2=x2+y2,

即可化为直角坐标方程. 13t2﹣12 (2) 把直线 l 的参数方程代入椭圆的直角坐标方程可得: ﹣t2|= 即可得出.

t﹣36=0, 利用|MN|=|t1

【解答】解: (1)直线 l 的参数方程为

, (t 为参数) ,消去参数化为:x﹣

y+1=0. 圆锥曲线 C 的极坐标方程为 ρ2= 可得直角坐标方程:3x2+4y2=12,即 ,化为 3ρ2+(ρsinθ)2=12,

+

=1. t﹣36=0,

(2)把直线 l 的参数方程代入椭圆的直角坐标方程可得:13t2﹣12 ∴t1+t2= ,t1t2= .

由于直线经过焦点(﹣1,0) . ∴|MN|=|t1﹣t2|= [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x+m|+|x﹣3|,g(x)= . = = .

(1)m>﹣3 时,若不等式 f(x)≥8 的解集为(﹣∞,﹣3]∪[5,+∞) ,求实数 m 的值: (2)若存在实数 x0,使得 g(x0)>log (3t+1)成立,求实数 t 的取值范围.

【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.

第 22 页(共 24 页)

【分析】 (1)由题意可得当 x=﹣3 时,f(x)=8,且 x=5 时,f(x)=8,从而求得实数 m 的值. (2)由题意可得,函数 g(x)= >log (3t+1)在[﹣2,6]上有解,利

用两个向量的数量积公式,两个向量共线的性质求得 g(x)的最大值为 8,可得 8>log (3t+1) ,由此求得 t 的范围. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=|x+m|+|x﹣3|, 当 m>﹣3 时,不等式 f(x)≥8 的解集为(﹣∞,﹣3]∪[5,+∞) , x= 3 f x =8 x=5 f x =8 ∴当 ﹣ 时, ( ) ,且 时, ( ) , 即|﹣3+m|+6=8,且|5+m|+2=8,∴m=1. (2)∵g(x)= 存在实数 x0,使得 g(x0)>log 则 g(x)= ∵g(x)= ≤ 当且仅当 故 g(x)= ∴8>log = ? >log =( =8, 时,即 x=5 时,等号成立, 的最大值为 8, (3t+1) ,∴0<3t+1< =16, 的定义域为[﹣2,6], (3t+1)成立, (3t+1)在[﹣2,6]上有解. , )?( ,1)

∴﹣ <t<5.

第 23 页(共 24 页)

2016 年 9 月 19 日

第 24 页(共 24 页)


相关文章:
2016届全国普通高等学校高考数学四模试卷(理科)解析版(...
2016全国普通高等学校高考数学模试卷(理科)解析版(衡水金卷)_数学_高中教育...﹣4 【分析】模拟程序框图的运行过程,得出输出 y 值为 4,对应 log2x=4,再...
2016年高考理科数学全国新课标Ⅱ卷答案及解析
2016年高考理科数学全国新课标Ⅱ卷答案及解析 2016 年普通高等学校招生全国统一...xn , yn ? ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个, 则用随机模拟的...
2016年高考全国2卷理数试题(解析版)
2016年高考全国2卷理数试题(解析版)_高考_高中教育_教育专区。2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非...
2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学(理)试卷(...
2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学(理)试卷()(word版含解析)_资格考试/认证_教育专区。2016 好题精选模拟卷 2 数学(理科)本试卷分第 I 卷(选择题...
2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试题(全国...
2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试题(全国卷2word解析版)_数学_高中...,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率...
2016年全国普通高等学校高考数学一模试卷(文科)(衡水金...
2016年全国普通高等学校高考数学一模试卷(文科)(衡水金卷)(解析版)_数学_高中...( ) A.16 B. C. D. 【考点】程序框图. 【分析】模拟程序的运行,可得...
...招生全国统一考试高考数学模拟试题(二)理(含解析)
(衡水卷)2016年普通高等学校招生全国统一考试高考数学模拟试题(二)理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2016 好题精选模拟卷 2 数学(理科)本试卷分第 I 卷(...
全国普通高等学校2017届浙江省高考数学二模试卷(理)含解析
全国普通高等学校2017届浙江省高考数学二模试卷(理)含解析_数学_高中教育_教育专区。2017 年全国普通高等学校高考数学二模试卷(理科)(衡水金 卷) 一、选择题(共 ...
2016届全国普通高等学校高考数学五模试卷(文科)(衡水金...
2016全国普通高等学校高考数学模试卷(文科)(衡水金卷)(解析版)_数学_高中...模拟执行程序,可得 S=0,n=2, 执行循环体,n=3,M= ,S=log2 , 不满足...
...招生高考数学一模试卷(理科)(衡水金卷)(解析版)
(共 24 页) 2017 年全国普通高等学校招生高考数学一模试卷 (理科) (衡水金卷)参考答案与试题解析 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分) 1.已知集合 ...
更多相关标签: