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2013-2014学年高中数学导学案:2.2.2-2对数函数性质的应用(新人教A版必修1) Word版


2.2.2 对数函数的性质的应用(1)

【教学目标】 1.巩固对数函数性质,掌握比较同底数对数大小的方法;

2.并能够运用解决具体问题; 3.渗透应用意识培养归纳思维能力和逻辑推理能力,提高数学发现能力 【教学重难点】 重点:性质的应用 难点:性质的应用. 【教学过程】 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性. (二)情景导入、展示目标 1、指对数互化关系: :

2、对数函数的性质: a>1 0<a<1

3

3

2.5

2.5

2

2


-1

1.5

1.5

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8



-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞) 性 值域:R 质 过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0

x ? (0,1) 时 y ? 0
x ? (1,??) 时 y ? 0

x ? (0,1) 时

y?0

x ? (1,??) 时 y ? 0

在(0,+∞)上是增函数

在(0,+∞)上是减函数

(三)合作探究、精讲点拨 例 1 比较下列各组数中两个值的大小: ⑴ log 2 3.4, log 2 8.5 ; ⑶ log a 5.1, log a 5.9(a ? 0, a ? 1) 解:⑴考查对数函数 y ? log 2 x ,因为它的底数 2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数, 于是 log 2 3.4 ? log 2 8.5 ⑵考查对数函数 y ? log 0.3 x ,因为它的底数 0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数, 于是 log 0.3 1.8 ? log 0.3 2.7 点评:1:两个同底数的对数比较大小的一般步骤: ⑵ log 0.3 1.8, log 0.3 2.7 ;

①确定所要考查的对数函数;

②根据对数底数判断对数函数增减性;

③比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小 ⑶当 a ? 1时, y ? log a x 在(0,+∞)上是增函数,于是 log a 5.1 ? log a 5.9 当 0 ? a ? 1 时, y ? log a x 在(0,+∞)上是减函数,于是 log a 5.1 ? log a 5.9 点评;2:分类讨论的思想

对数函数的单调性取决于对数的底数是大于 1 还是小于 1 而已知条件并未指明,因此

需要对底数 a 进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握

例 3 比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log 6 7, log 7 6 ; ⑵ log 3 ? , log 2 0.8

分析:由于两个对数值不同底,故不能直接比较大小,可在两对数值中间插入一个已 知数,间接比较两对数的大小 解:⑴? log 6 7 ? log 6 6 ? 1 , log 7 6 ? log 7 7 ? 1 ,? log 6 7 ? log 7 6 ⑵? log 3 ? ? log 3 1 ? 0 , log 2 0.8 ? log 2 1 ? 0 ,? log 3 ? ? log 2 0.8 ; 点评:3:引入中间变量比较大小

例 3 仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在 两个对数中间插入 1 或 0 等,间接比较两个对数的大小 例 4 求下列函数的定义域、值域:

⑴y?

2 ?x

2

?1

?

1 4

⑵ y ? log 2 ( x ? 2 x ? 5)
2

⑶ y ? log 1 (? x ? 4 x ? 5)
2 3

⑷y?

log a ( ? x 2 ? x ) (0 ? a ? 1)

解:⑴要使函数有意义,则须:

2 ?x

2

?1

?

1 ? 0 即: ? x 2 ? 1 ? ?2 ? ?1 ? x ? 1 4
∴ ? 1 ? ? x ? 0 从而 ? 2 ? ? x ? 1 ? ?1
2 2

∵ ?1 ? x ? 1 ∴

2 1 1 ? 2 ?x ?1 ? 4 2

∴0 ? 2

?x 2 ?1

?

1 1 ? 4 4

∴0 ? y ?

1 2

∴定义域为[-1,1],值域为 [0, ]

1 2

⑵∵ x 2 ? 2 x ? 5 ? ( x ? 1) 2 ? 4 ? 4 对一切实数都恒成立 ∴函数定义域为 R 从而 log 2 ( x ? 2 x ? 5) ? log 2 4 ? 2
2

即函数值域为 [2,??)

⑶要使函数有意义,则须:

? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? ?1 ? x ? 5
由 ?1 ? x ? 5
2

∴在此区间内 (? x ? 4 x ? 5) max ? 9
2

∴ 0 ? ?x ? 4x ? 5 ? 9 从而 log 1 (? x ? 4 x ? 5) ? log 1 9 ? ?2
2 3 3

即:值域为 y ? ?2

∴定义域为[-1,5],值域为 [?2,??)

?? x 2 ? x ? 0 ⑷要使函数有意义,则须: ? 2 ?log a (? x ? x) ? 0
由①: ? 1 ? x ? 0 由②:∵ 0 ? a ? 1 时 则须 ? x ? x ? 1
2

(1) ( 2)

, x?R

综合①②得

?1 ? x ? 0
(? x 2 ? x) m a x?
1 4

当 ?1 ? x ? 0 时

1 4

∴ 0 ? ?x ? x ?
2

1 4

∴ log a (? x ? x) ? log a
2

∴ y?

log a

1 4

? ∴定义域为(-1,0),值域为 [ log a , ?)
(四)反思总结、当堂检测 1.比较 log 2 0.7 与 log 1 0.8 两值大小
3

1 4

解:考查函数 y=log2x ∵2>1,∴函数 y= log 2 x 在(0,+∞)上是增函数 又 0.7<1,∴ log 2 0.7< log 2 1=0 再考查函数 y= log 1 x
3

∵0<

1 <1 3
3

∴函数 y= log 1 x 在(0,+∞)上是减函数 又 1>0.8,∴ log 1 0.8> log 1 1=0
3 3

∴ log 2 0.7<0< log 1 0.8
3

∴ log 2 0.7< log 1 0.8
3

2.已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) log 3 m< log 3 n (3) log a m< log a n(0<a<1) 解: (1)考查函数 y= log 3 x ∵3>1,∴函数 y= log 3 x 在(0,+∞)是增函数 ∵ log 3 m< log 3 n,∴m<n (2)考查函数 y= log 0.3 x ∵0<0.3<1,∴函数 y= log 0.3 x 在(0,+∞)上是减函数 ∵ log 0.3 m> log 0.3 n, ∴m<n (2) log 0.3 m> log 0.3 n (4) log a m> log a n(a>1)

(3)考查函数 y= log a x ∵0<a<1, ∴函数 y= log a x 在(0,+∞)上是减函数 ∵ log a m< log a n, ∴m>n

(4)考查函数 y= log a x ∵a>1, ∴函数 y= log a x 在(0,+∞)上是增函数 ∵ log a m> log a n, ∴m>n (五)小结 本节课学习了以下内容: 【板书设计】 一、对数函数性质 1. 图像 2. 性质 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】 导学案课后练习与提高

2.2.2 对数函数的性质的应用(1)学案

课前预习学案
一、预习目标 记住对数函数的定义;掌握对数函数的图象与性质.

二、预习内容 对数函数的性质: a>1 0<a<1

3

3

2.5

2.5

2

2


-1

1.5

1.5

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8



-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域:

值域:



过点( , ) ,即当 x ? 时, y ? 0



x ? (0,1) 时 y ?
x ? (1,??) 时 y ?

x ? (0,1) 时

y?

x ? (1,??) 时 y ?

在( , )上是增函数 三.提出疑惑

在( , )上是减函数

同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标 1 理解对数函数的概念, 熟悉对数函数的图象与性质规律. 掌握比较同底数对数大小的方

法 2 掌握对数函数的性质. 学习重点:性质的应用 学习难点:性质的应用. 二、学习过程 探究点一 : 比较大小 例 1 比较下列各组数中两个值的大小: ⑴ log 2 3.4, log 2 8.5 ; ⑶ log a 5.1, log a 5.9(a ? 0, a ? 1) 解析:利用对数函数的单调性解. 解:略 点评:本题主要考察了利用函数的单调性比较对数的大小. 变式练习:比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log 6 7, log 7 6 ; ⑵ log 3 ? , log 2 0.8 ⑵ log 0.3 1.8, log 0.3 2.7 ;

探究点二:求定义域、值域: 例 3 求下列函数的定义域、值域:

⑴y?

2 ?x

2

?1

?

1 4

⑵ y ? log 2 ( x ? 2 x ? 5)
2

⑶ y ? log 1 (? x ? 4 x ? 5)
2 3

⑷y?

log a ( ? x 2 ? x ) (0 ? a ? 1)

解析:利用对数函数的性质解. 解:略 点评:本题主要考察了利用函数的定义域与值域. 三、反思总结 四、当堂检测 1.比较 log 2 0.7 与 log 1 0.8 两值大小
3

2.已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) log 3 m< log 3 n (3) log a m< log a n(0<a<1) (2) log 0.3 m> log 0.3 n (4) log a m> log a n(a>1)

课后练习与提高
1、函数 y ? A. ?1,?? ? 2、设 P ? log 1
2

log 1 ?x ? 1? 的定义域是
2

( C.

) D.

B. ?2,???

?1,2 ?


?1,2?


1 1 , Q ? log 1 , T ? log 1 2 3 5 3 3
B. T ? Q ? P C.

A.

Q ?T ? P

P ?Q ?T

D.

P ?T ?Q
( )

3、已知 0 ? a ? 1, b ? 1且 ab ? 1,则下列不等式中成立的是 A. C.

log b

1 1 ? log a b ? log a b b 1 1 log a b ? log a ? log b b b

B. D.

log a b ? log b

1 1 ? log a b b 1 1 log b ? log a ? log a b b b

3.方程 lgx+lg(x+3)=1 的解 x=___________________. 4.已知 f(x)的定义域为[0,1] ,则函数 y=f[log 1 (3-x) ]的定义域是__________.
2


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