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概率的一般加法公式


在概率的加法公式中,如果A,B不是 互斥事件,那么公式是否成立? 来看下面的例子: 例1. 掷红、蓝两颗骰子,事件A={红骰子 的点数大于3},事件B={蓝骰子的点数大 于3},求事件A∪B={至少有一颗骰子的 点数大于3}发生的概率。

显然,A与B不是互斥事件,我们把事 件A和事件B同时发生所构成的事件D, 称为事件A与事件B的交(或积),记作 D=A

∩B(或D=AB) 事件A∩B是由事件A和B所共同含有的 基本事件组成的集合。如图中阴影部分 就是表示A∩B.

显然,A与B不是互斥事件,我们把事 件A和事件B同时发生所构成的事件D, 称为事件A与事件B的交(或积),记作 D=A∩B(或D=AB) 事件A∩B是由事件A和B所共同含有的 基本事件组成的集合。如图中阴影部分 就是表示A∩B.
Ω A A∩B B

在本例中,A∩B为{(4,4),(4,5),(4, 6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,4), (6,5),(6,6)}.
解:作点集 Ω={(x,y)| x∈N, y∈N, 1≤x≤6, 1≤y≤6}.
第 二 次 抛 掷 后 向 上 的 点 数

6 5 4 3 2 1

······ ······ ······ ······ ······ ······
1 2 3 4 5 6
第一次抛掷后向上的点数

Ω中的元素总个数=6×6=36; A中的元素个数=18; B中的元素个数=18;

A∪B中元素个数=27; 27 3 所以P(A∪B)= —— = —— 36 4 在本例中,因为A∩B≠○,
所以P(A∪B) ≠P(A)+P(B).

我们在古典概型的情况下推导概率的一 般加法公式。 设A,B是Ω的两个事件,容易看出 A∪B中基本事件的个数等于A中基本事 件的个数加上B中基本事件的个数减去 A∩B中基本事件的个数。所以 A∪B中基本事件的个数 P(A∪B)= ———————————— Ω中基本事件的总数 A中基本事件的个数+B中基本事件的个数-A∩B中基本事件的个数 = ——————————————————
Ω中基本事件的总数

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

例2. 一个电路板上装有甲、一两根熔丝, 甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为 0.74,两根同时熔断的概率为0.63,问至 少有一根熔断的概率是多少? 解:设A=“甲熔丝熔断”,B=“乙熔丝熔 断”,则“甲、乙两个熔丝至少一根熔断” 为事件A∪B. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) =0.85+0.74-0.63

=0.96.

例3. 从1~100的整数中任取一个数,试求 取到的数能被5或9整除的概率。 解:设A={取到的整数能被5整除},B={取 到的整数能被9整除}。 A中含有20个基本事件;B中含有11个基 本事件; A∩B含有2个基本事件。 P(取到的整数能被5或9整除) =P(A)+P(B)-P(A∩B)
20 ? 11 ? 2 29 ? ? 100 100

例4. 甲、乙等四人参加4×100米接力赛, 求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率。 解:设事件A为“甲跑第一棒”,事件B 为“乙跑第四棒”, 1 1 则P(A)= ,P(B)= 4 。
4

计算P(A∩B),记x为甲跑的棒数,y为乙 跑的棒数,记为(x,y), 则共有可能结果12种:(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 1),(2, 3),(2, 4),(3, 1),(3, 2), (3, 4),(4, 1),(4, 2),(4, 3),

而甲跑第一棒,乙跑第四棒只有一种可能
1 (1, 4),故P(A∩B)= 12

所以,甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为:

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 1 1 1 5 ? ? ? ? 4 4 12 12

例5.一个旅行社有30名翻译,其中英语 翻译12名,日语翻译10名,既会英语又 会日语的有3名,其余的人是其他语种的 翻译。 从中任意选出一名去带旅行团, 求以下事件的概率: 2 (1)是英语翻译; —— 1 5 —— (2)是日语翻译; 3 1 —— (3)既是英语翻译又是日语翻译;( 4) 10 19 是英语翻译或是日语翻译。 —— 30

例6. 100个产品中有93个产品长度合格, 90个产品重量合格,其中长度、重量都合 格的有85个。现从中任取一产品,记 A=“产品长度合格”,B=“产品重量合 格”,求产品的长度、重量至少有一个合 格的概率。

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

练习题:(古典概型)
1.一枚硬币连掷3次,只有一次出现正面

的概率是( A ) 3 2 A. B. 8 3
1 C. 3 1 D. 4

2.从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片 中,任取2张,这2张卡片上的字母恰好是

按字母顺序相邻的概率为( B )
1 A. 5 3 C. 10 2 B. 5 7 D. 10

3.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠 的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽 车),有一位乘客等候第4路或第8路汽车.

假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,
则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车 的概率等于(
1 A. 2 2 B. 3

) D

3 C. 5

2 D. 5

4.某小组共有10名学生,其中女生3名, 现选举2名代表,至少有1名女生当选的 概率为( B )
7 A. 15 3 C. 5 8 B. 15

D. 1

5.从全体3位正整数中任取一数,则此数 以2为底的对数也是正整数的概率为( B )
1 A. 225 1 C. 450 1 B. 300

D.以上全不对

6.在20瓶墨水中,有5瓶已经变质不能使 用,从这20瓶墨水中任意选出1瓶,取出
1 的墨水是变质墨水的概率为_________. 4

7.从1,2,3,4,5五个数字中,任意有放

回地连续抽取三个数字,则三个数字完全
12 不同的概率是_________. 25

8.从1,2,3,…,9 这9个数字中任取2个 数字,
5 (1)2个数字都是奇数的概率为______; 18 4 (2)2个数字之和为偶数的概率为_____. 9

9.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币 出现正面还是反面. (1)写出这个试验的基本事件空间; (2)求这个试验的基本事件的总数; (3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含 哪几个基本事件? 解:(1)这个试验的基本事件空间 Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正), (正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反, 正),(反,反,反)};

(2)基本事件的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个 基本事件:(正,正,反),(正,反,正), (反,正,正).

10.甲、乙两个均匀的正方体玩具,各个 面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数 字,将这两个玩具同时掷一次. (1)若甲上的数字为十位数,乙上的数 字为个位数,问可以组成多少个不同的 数,其中个位数字与十位数字均相同的 数字的概率是多少? (2)两个玩具的数字之和共有多少种不 同结果?其中数字之和为12的有多少种情 况?数字之和为6的共有多少种情况?分别 计算这两种情况的概率.

解:(1)甲有6种不同的结果,乙也有6种
不同的结果,故基本事件总数为6×6=36

个.
其中十位数字共有6种不同的结果,若十 位数字与个位数字相同,十位数字确定后, 个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的 结果,即概率为
6 1 ? 36 6

(2)两个玩具同时掷的结果可能出现的 情况有36种. 但数字之和却只有2,3,4, 5,6,7,8,9,10,11,12共11种不同 结果. 而出现12的只有一种情况,它们的 1 概率均为 ,36
出现数字之和为6的共有(1,5),(2,4), (3,3),(4,2),(5,1)五种情况,所以其
5 概率为 36


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