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2.4.2《抛物线的几何性质》教案(人教A版选修2-1)


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2.4.2《抛物线的几何性质》教案
【教学目标】 1.抛物线的性质及其灵活运用; 2.抛物线的定义在求解最值问题中的运用. 【导入新课】 复习导入 1.抛物线的定义; 2.抛物线的方程的推导. 新授课阶段 1.抛物线的几何性质 (1) 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线. (2) 抛物线只有一条对称轴,这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线 重合,抛物线没有中心. (3) 抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点. 具体归纳如下表:

特征:1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
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4.抛物线的离心率是确定的,为 1. 例 1. 已知抛物线关于 x 轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点 M(2, ?2 2 ), 求它的标准方 程.

例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段

AB 的长.
解:抛物线的焦点 F(1 , 0), 直线l的方程为:y ? x ? 1

? y ? x ?1 ? x2 ? 6 x ? 1 ? 0 ? 2 ? y ? 4x
? ? ?x ? 3 ? 2 2 ?x ? 3 ? 2 2 ?? 1 或 ? 2 ? ? ? y1 ? 2 ? 2 2 ? y2 ? 2 ? 2 2
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y 2 )2 = 8
课堂小结 (一)本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质:范围、对称性、顶点坐标、离心率等 概念及其几何意义. (二) 了解了研究抛物线的焦半径, 焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大 的帮助. (三)在对曲线的问题的处理过程中,我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件,认 识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中,我们运用了数形结合,待定系数法来求解抛物线 方程,在解题过程中,准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想. 作业 见同步练习部分 拓展提升
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1.抛物线 y ? 4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( ) A.

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.0

→ → → → 2. 已知两点 M (-2, 0) , N (2, 0) , 点 P 为坐标平面内的动点, 满足|MN |· |MP |+MN · NP =0,则动点 P(x,y)的轨迹方程是 ( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x

→ 3.已知 P 是抛物线 y=2x2+1 上的动点,定点 A(0,―1) ,点 M 分PA 所成的比为 2,则点 M 的轨迹方程是( A.y=6x2― )

1 3

B.x=6y2-

1 3

C.y=3x2+

1 3

D.y=―3x2―1

4.有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=2 3 x 上,另一个顶点在原点,则这个三角形 的边长是 .
2

5.对正整数 n ,设抛物线 y ? 2(2n ? 1) x ,过 P(2n,0) 任作直线 l 交抛物线于 An , Bn 两点, 则数列 ?

? ? OAn ? OB n ? ? ? 的前 n 项和公式是 2 ( n ? 1 ) ? ? ? ?

.

6.焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 15 ,求抛物线的标准方程.

7.定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上移动,AB 的中点为 M,求点 M 到 y 轴的最短距离,并求出点 M 的坐标.

8.在直角坐标系中,已知点 F ?

?p ? ,0 ? (p>0), 设点 F 关于原点的对称点为 B,以线段 FA ?2 ?

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为直径的圆与 y 轴相切. ⑴ 点 A 的轨迹 C 的方程;

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⑵ PQ 为过 F 点且平行于 y 轴的曲线 C 的弦,试判断 PB 与 QB 与曲线 C 的位置关系.
M1 M 2 是曲线 C 的平行于 y 轴的任意一条弦,若直线 FM1 与 BM2 的交点为 M,试证明点

M 在曲线 C 上.

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参考答案
1.B【解析】用抛物线的定义. 2.B【解析】坐标代入. 3.B【解析】用坐标转移法. 4.12【解析】有两个顶点关于 x 轴对称,进而得到直线的倾斜角是 5. ? n(n ? 1) 【解析】求出数列的通项公式. 6.y2=12x 或 y2=-4x【解析】设抛物线方程后,用韦达定理及弦长公式.

?
6



5? . 6

5 2 5 2 7.M( , )或( , ? ) 【解析】数形结合得到当且仅当 AB 过焦点时 M 到 y 轴距离 4 2 4 2
最小.设出此时的直线方程,用弦长公式解得直线 AB 的斜率,并得到 AB 的坐标.
p p x? (x ? ) 2 ? y 2 2 2 ? 8. 解:(1)设 A(x,y) ,则 ,化简得: y2=2px 2 2

p (2)由对称性知,PB 和 QB 与曲线 C 的位置关系是一致的,由题设,不妨 P( , p ) 而 2
k PB ? p?0 ?1 p p ? (? ) 2 2

∴直线 PB 的方程为 y=x+

p ,代入 y2=2px, 消去 y 得到关于 x 的一元二 2

次方程 x2+px+

p2 =0, ? =0 4

∴直线 PB 和 QB 均与抛物线相切.

(3)由题意设 M 1 (

p t2 t2 t , t ) , M 2 ( ,? t ) ,则直线 FM1: y ? 2 (x ? ) ; 2p 2p 2 p t ? 2p 2

直线 BM2: y ?

p ?t (x ? ) 2 t2 p ? 2p 2

联立方程组解得 M 点坐标为 ( ∴点 M 在曲线 C 上.

p 2 p p2 p3 ) ? 2 p( 2 ) , ? ) ,经检验, (? 2 t 2t t 2t

2

3



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