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高二下学期期中考试理科数学试题及答案


2013—2014 学年下学期期中考试 高二理科数学试题

② f ( x) 是减函数,有极值; ③ f ( x) 在区间 (??,0] 及 [2,??) 上是增函数; ④ f ( x) 有极大值为 0 ,极小值 ? 4 ;其中正确命题的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

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姓名

学号

8.下列命题错误的是 ( ) 2 2 A.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3x ? 2 ? 0 ”
2 B. “ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 2 2 C. 对于命题 p:?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 D. 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。

注:所有题目在答题卡上做答
第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的) 1.函数 f ( x) ? x 2 cos x 的导数为( A. ) B. f ' ( x) ? 2x cos x ? x 2 sin x D. f ' ( x) ? x cos x ? x 2 sin x

9. 在复平面内,复数 6 ? 5i, ?2 ? 3i 对应的点分别为 A、B,若 C 为线段 AB 的中点,则 点 C 对应的复数是( ) A. 4 ? 8i B. 8 ? 2i C. 4 ? i D. 2 ? 4i 10.
x x 3 2 已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 3 ; 命题 q : ?x ? R , x ? 1 ? x , 则下列命题中为真命题

f ' ( x) ? 2x cos x ? x 2 sin x

的是 A. p ? q

(

) B. p ? ?q C. ? p ? q D. ?p ? ?q

C. f ' ( x) ? x 2 cos x ? 2x sin x 2. 复数 3-i 等于 ( ) 1-i A.1+2i B.1-2i

11.如图 y ? f ( x) 的导函数的图象,现有四种说法: C.2+i D.2-i (1) f ( x) 在(-3,1)上是增函数 ; (2) x =-1 是 f(x)的极小值点; (3) f ( x) 在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数; (4)x=2 是 f ( x) 的极小值点;以上正确的序号为 D. (?1, 0) A. (1) (2) B. (2) (3) ( ) D. (4) )

3.

等于( ) e ? 1 B. C. 1 D. e ? 1 2 4.设 f ( x) ? x ? 2x ? 4 ln x ,则 f ?( x) ? 0 的解集为( ) A. (0,??) B. (?1, 0) ? (2, ??) C. (2, ??)
0

? (e

1

x

? 2 x)dx

A. e

C. (3) (4)

5. 若复数 z ? a ? 1 ? (a ? 1)i 是纯虚数,则| z |= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 f x f? x f? 2 f x =x2 ? 3xf ? ? 2? ? ln x 6.函数 ? ? 的导函数为 ? ? , 满足关系式 ? ? , 则 ? ? 的值等于 ( ) 9 9 ? A.2 B. ?2 C. 4 D. 4
2 3 2 7. 对于函数 f ( x) ? x ? 3x ,给出下列四个命题: ① f ( x) 是增函数,无极值;

12.函数 f ( x) ? x3 ? ax ? 1在区间(1,+∞)内是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.a≤3 B.a>3 C. a<3 D.a≥3

高二理科数学试卷

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第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分,把答 案填在题中横线上。 ) 13.若函数 f ( x) ? x ? 3x ,则函数 f ( x) 在 [0,2] 上的最小值
3

20(本题 12 分).设 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? 1的导函数 f ?( x ) 满足 f ?(1) ? 2a, f ?(2) ? ?b, (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)设 g ( x) ? f ?( x)e x ,求函数 g ( x) 的单调区间.



.
1 2 , y ? x 与直线 x=2, y=0 围成, x

14.如图阴影部分是由 y ?

则其面积为________. 15. 已 知 函 数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c在x ? ?2 处 取 得 极 值 , 并 且 它 的 图 象 与 直 线 (1, 0) 处相切, 则函数 f ( x) 的表达式为 y ? ?3x ? 3 在点 __ __.

21. (本题 12 分) 函数 f ?x? ? ax3 ? bx2 ? cx 的极小值为-8,其导函数的图象过点
2 ? ?? 2,0?, ? ? ,0 ? ,如图所示: ?3 ?

3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 16.观察下列等式_ 1 ? 2 ? 3 .1 ? 2 ? 3 ? 6 .1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ? 根据上述规律,

(1)求 f ?x ? 的解析式; (2)若对 x ? ?? 3,3?都有 f ?x? ? m 2 ? 14m 恒成立,求实数的 m 取值范围.

第五个式子为

.

三、解答题(本大题共 6 题,70 分,请写出必要的解答过程) 。 2 17. (本题 10 分)计算曲线 y ? x ? 2 x ? 3 与直线 y ? x ? 3 所围图形的面积.

18.(本题 12 分)已知复数 z ? (2m 2 ? 3m ? 2) ? (m 2 ? m ? 2)i, m ? R 根据下列条件,求 m 值。 (1)z 是实数; (2)z 是虚数; (3)z 是纯虚数; (4)z=0

?2

2 3

PD ⊥底面 ABCD , 19. (本题 12 分) 如图在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形,

1 22. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax 2 ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? 0) . 2

M , N 分别是 PA, BC 的中点,且 PD ? AD ? 1 .

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)求 y ? f ( x) 在区间 (0, 2] 上的最大值.

(1)求证: MN ∥平面 PCD ; (2)求证:平面 PAC ⊥平面 PBD ; (3)求三棱锥 P ? ABC 的体积.

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2013-2014 学年下学期期中考试 高二(理科)数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 C 5 B 6 D 7 B 8 D 9 D 10 C 11 B 12 A

18.(1)m=1 或 m=-2 (2)m ? 1且m ? ?2 1 (3) m ? 2 (4)m=-2 19. (1)取 AD 中点 E,连接 ME,NE,由已知 M,N 分别是 PA,BC 的中点,所以 ME ∥PD,NE∥CD, 又 ME,NE?平面 MNE,ME∩NE=E,

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 题号 13 答案 -2 三.解答题
17. [解析]

所以平面 MNE∥平面 PCD, 16
1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 21
3 3 3 3 3 3 2

14 17 12

15 . f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 8x ? 6

所以 MN∥平面 PCD. (2)证明 因为 ABCD 为正方形,

所以 AC⊥BD, 又 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥AC, 所以 AC⊥平面 PBD, 所以平面 PAC⊥平面 PBD. (3)PD⊥平面 ABCD,所以 PD 为三棱锥 P—ABC 的高,三角形 ABC 为等腰直角三角 1 1 形,所以三棱锥 P—ABC 的体积 V= S△ABC·PD= . 3 6

?y=x+3 由? 解得 x=0 及 x=3. 2 ?y=x -2x+3

从而所求图形的面积 S=?3(x+3)dx-?3(x2-2x+3)dx ?0 ?0 =?3[(x+3)-(x2-2x+3)]dx ?0 =?3(-x2+3x)dx ?0 3 ?3 9 ? 1 =?-3x3+2x2?|0 =2. ? ?

20.(1)切线方程是 3x ? 2 y ? 8 ? 0
1, ? ?) (2)单调增区间: (??,?2),(

单调减区间: ?- 2,1?

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21.

故在 (0, 2] 上 f ( x)max ? f (2) ? 2ln 2 ? 2 ②当 0 ? a ?

1 1 时, ? 2 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;故 f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增 2 a

故在 (0, 2] 上 f ( x)max ? f (2) ? 2ln 2 ? 2a ? 2 ③当 a ?

1 1 1 1 时, 0 ? ? 2 ,在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 2 a a a

1 1 f ( x) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, a a
故在 (0, 2] 上 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ?

1 a

1 ? 2 ln a . 2a

22. (Ⅰ) a ? 0, f ( x) ? 2ln x ? x , f ?( x) ?

2 2? x ?1 ? ( x ? 0) x x

在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) . (Ⅱ) f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?

2 ( x ? 0) . x

f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) x

①当 a ? 0 时,由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增,
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