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必修五总复习:解三角形、数列、不等式


(一)解三角形: (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可 不能忘记!任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三 角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平 方和大于第三边的平方. (2)正弦定理:

a ? b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C
a b c

注意:①正弦定理的一些变式:

?i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ? 2 R ,sin B ? 2 R ,sin C ? 2 R ; ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ;
2

②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. (3)余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定
2 2

2bc

三角形的形状.

2 2 2 2 2 2 2 如 ? ABC 中,若 sin A cos B ? cos A sin B ? sin C ,判断 ? ABC 的形状(答:直
2

(4)面积公式: ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径) . S

角三角形) 。 特别提醒: (1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A ? B ? C ? ? 这个特殊性:

A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin

A? B C ? cos ; (2)求解三角形中含有边角混合关 2 2
?

系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 如(1) ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ?4 ,那么满足条 件的 ?ABC A、 有一个解 B、 有两个解 C、 无解 D、 不能确定 (答: C) ; (2)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件(答:充要) ; (3)在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 log2 sinC =_____(答: ? (4)在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,
?

1 ) ; 2

若 ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B ,则 ?C =____(答: 60 ) ;

a 2 ? b2 ? c2 ? ,则 ?C =____(答: 30 ) ; 4 3 ? (6)在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直
(5)在 ?ABC 中,若其面积 S ? 径是_______(答:

2 39 ) ; 3

a (7) 在△ABC 中, b、 是角 A、 C 的对边, ? a、 c B、

1 B?C 3, cos A ? , 则 cos 2 = 3 2



b 2 ? c 2 的最大值为

(答: ;

1 9 ) ; 3 2

(8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 (答: 0 ? C ?

?

6 ? (9)设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ?C ? 75 ,且 ?AOB, ?BOC, ?COA 的面积
满足关系式 S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ? A (答: 45 ) .
?

) ;

第 27 讲 解三角形
一. 【课标要求】
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决 一些简单的三角形度量问题; (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题。

二. 【命题走向】
对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、 三角形形状的判断、 三角形内三角函数 的求值以及三角恒等式的证明问题,立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。 今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架,以三角形为主要依托,结合实际应用 问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题,也可能是中、难度的解 答题

三. 【要点精讲】
1.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b, BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π 。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等

a b c ? ? ? 2R 。 sin A sin B sin C
(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。 3.三角形的面积公式:

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2)△= absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2 2 2 a sin B sin C b sin C sin A c 2 sin A sin B (3)△= = = ; 2 sin(B ? C ) 2 sin(C ? A) 2 sin( A ? B)
(1)△= (4)△=2R2sinAsinBsinC。 为外接圆半径) (R (5)△=

abc ; 4R

(6)△= s(s ? a)(s ? b)(s ? c) ; ? s ?

? ?

1 ? ( a ? b ? c) ? ; 2 ?

(7)△=r·s。 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少

有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三 角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般 可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角 形是斜三角形,则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角关系:A+B+C = π; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (3)边与角关系: 正弦定理

a b c ; ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin sin sin A B C
b2 ? c2 ? a2 sin A a 。 ? , cos A ? 2bc sin B b

余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA; 它们的变形形式有:a = 2R sinA, 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的 特点。 (1)角的变换 因为在△ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=- tanC。 sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。

r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半。 (3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠ A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠ B=60°;△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等 比数列。

四. 【典例解析】
题型 1:正、余弦定理 (2009 岳阳一中第四次月考) .已知△ ABC 中,AB ? a ,AC ? b ,a ? b ? 0 ,S ?ABC ?

??? ?

?

??? ?

?

? ?

? ? a ? 3, b ? 5 ,则 ?BAC ?
A.. 30 答案 C
?

15 , 4

( C. 150
0


0

B . ?150

?

D. 30 或 150

?

例 1. (1)在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形; (2)在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A ? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边 长精确到 1cm) 。 解析: (1)根据三角形内角和定理,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (32.00 ?81.80 ) ? 66.20 ;
根据正弦定理,

b?

a sin B 42.9sin81.80 ? ? 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c?

(2)根据正弦定理,

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20 因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. sin B ?
①当 B ? 640 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,

c?

a sin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400 a sin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400

②当 B ?1160 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 , c ?

点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两 解的情形; (2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2. (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A; (2)在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ? 87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形 解析: (1)∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) =8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: 解法一:∵cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , ∴ A ? 600. 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)

a 2 3 ?sin450 , 解法二:∵sin A ? sin B ? b 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ? 3.8, 2 3 < 2?1.8 ? 3.6, ∴ a < c ,即 00 < A < 900 , ∴ A ? 600. (2)由余弦定理的推论得: cos A?

b2 ? c2 ? a2 87.82 ?161.72 ?134.62 ? 0.5543, ? 2bc 2?87.8?161.7 A ? 56020? ; c2 ? a2 ?b2 134.62 ?161.72 ?87.82 ? 0.8398, ? 2ca 2?134.6?161.7

cos B ?

B ? 32053? ;

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053?) ? 90047?.
点评:应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围。 题型 2:三角形面积 例 3.在 ?ABC 中,sin A ? cos A ?

2 n , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 ta A 的值和 ?ABC 2

的面积。 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。

? sin A ? cos A ? 2 cos(A ? 45? ) ? 1 ? cos(A ? 45? ) ? . 2

2 , 2

又 0 ? A ? 180 , ? A ? 45? ? 60? , A ? 105?.
? ?

? tan A ? tan(45? ? 60? ) ?

1? 3 ? ?2 ? 3 , 1? 3
2? 6 . 4

sin A ? sin 105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos60? ? cos45? sin 60? ?

S ?ABC ?

1 1 2? 6 3 AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) 。 2 2 4 4

解法二:由 sin A ? cos A 计算它的对偶关系式 sin A ? cos A 的值。

? sin A ? cos A ?

2 2
1 2



? (sin A ? cos A) 2 ? ? 2 sin A cos A ? ?

1 2 ? ? ? 0 ? A ? 180 ,? sin A ? 0, cos A ? 0.
? (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? 2 sin A cos A ? 3 , 2

? sin A ? cos A ?

6 2 s i A? n



① + ② 得

2? 6 。 4

① - ② 得

c oA ? s

2? 6 。 4

从而

tan A ?

sin A 2? 6 4 ? ? ? ?2 ? 3 。 cos A 4 2? 6

以下解法略去。 点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算 能力,是一道三角的基础试题。两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢? 例 4. (2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A



AC 的取值范围为
答案 解析 2 ( 2 , 3)

.

设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 ,
? ? ? ?

又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30? ? ? ? 45? ?
? ? ? ? ?

2 3 , ? cos ? ? 2 2

? AC ? 2 cos ? ? ( 2, 3).
例 5. (2009 浙江理) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且满足 cos

? ? A 2 5 ??? ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5
(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

(I)求 ?ABC 的面积; 解 (1) 因为 cos

??? ??? ? ? 3 4 A 2 5 2 A ? ? 1 ? ,sin A ? , , cos A ? 2 cos 又由 AB ? AC ? 3 ? 2 5 5 2 5
1 bc sin A ? 2 2

得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ?

(2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5

例 6. (2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b

分析::此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧
2 2

是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现
在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在 ?ABC 中? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?3 ?c, 化简并整理得: 2(a2 ? c2 ) ? b2 .又由已知 有: a? 2ab 2bc
a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 .
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2



又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4cos A sin C
由正弦定理得 sin B ? 由①,②解得 b ? 4 . 评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、 提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不 再考的知识和方法了解就行,不必强化训练 题型 4:三角形中求值问题 例 7. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 大值,并求出这个最大值。 B+C π A B+C A 解析:由 A+B+C=π ,得 = - ,所以有 cos =sin 。 2 2 2 2 2 B+C A A A A 1 3 cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin =-2(sin - )2+ ; 2 2 2 2 2 2 2 当 sin π A 1 B+C 3 = ,即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 。 2 2 3 2 2

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



B?C 取得最 2

点评: 运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式, 通过三 角函数的性质求得结果。 例 8. (2009 浙江文) (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

且满足 cos

? ? A 2 5 ??? ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5
(II)若 c ? 1 ,求 a 的值.
2

(I)求 ?ABC 的面积; 解(Ⅰ) cos A ? 2 cos

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5
2

又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? 以 bc ? 5 ,所以 ?ABC 的面积为:

4 3 ,而 AB . AC ? AB . AC . cos A ? bc ? 3 ,所 5 5

1 1 4 bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

点评:本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的 公式以及倍角公式,考察应用、分析和计算能力 题型 5:三角形中的三角恒等变换问题 例 9.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数 列,且 a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及

b sin B 的值。 c 分析:因给出的是 a、b、c 之间的等量关系,要求∠A,需找∠A 与三边的关系,故可
b2 b sin B =a,再用正弦定理可求 的值。 c c 解法一:∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac。

用余弦定理。由 b2=ac 可变形为

又 a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc。
b2 ? c2 ? a2 bc 1 = = ,∴∠A=60°。 2bc 2bc 2 b sin A 在△ABC 中,由正弦定理得 sinB= ,∵b2=ac,∠A=60°, a

在△ABC 中,由余弦定理得:cosA=

b sin B b 2 sin 60? 3 ? =sin60°= 。 c ac 2 解法二:在△ABC 中,



1 1 bcsinA= acsinB。 2 2 2 ∵b =ac,∠A=60°,∴bcsinA=b2sinB。
由面积公式得
3 b sin B =sinA= 。 2 c 评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用 正弦定理。



例 10.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,求 tan 的值。

A C A C ? tan ? 3 tan tan 2 2 2 2

解析:因为 A、B、C 成等差数列,又 A+B+C=180°,所以 A+C=120°, 从而

A?C A?C ? 3 .由两角和的正切公式, =60°,故 tan 2 2

A C ? tan 2 2 ? 3。 得 A C 1 ? tan tan 2 2 tan
所以 tan

A C A C ? tan ? 3 ? 3 tan tan , 2 2 2 2

tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan ? 3 。 2 2 2 2

点评:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知 角求解,同时结合三角变换公式的逆用。 题型 6:正、余弦定理判断三角形形状 例 11.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案:C 解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B 点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形 方向,通畅解题途径

A 例 12.2009 四川卷文) ?ABC 中, 、B 为锐角, A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , ( 在 角
且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ??

∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2? 1 ∴ b ? 1

a ? 2 ,c ?

5
北 一个 两座 A 20 B ? 和D 得B 探究 然后

题型 7:正余弦定理的实际应用 例 13. (2009 辽宁卷理)如图,A,B,C,D 都在同 与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的 灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试 图中 B, 间距离与另外哪两点间距离相等, D 求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
0 0 0

10 ?C

解:在△ABC 中,∠DAC=30° ∠ADC=60° , -∠DAC=30, 所以 CD=AC=0.1 又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA, 在△ABC 中, sin ?BCA ? sin ?ABC ,
ACsin60 ? 3 2? 6 , 即 AB= sin 15? ? 20

AB

AC

因此,BD=

3 2? 6 ? 0.33km 。 20

故 B,D 的距离约为 0.33km。 。 点评: 解三角形等内容提到高中来学习, 又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换

要求的降低, 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展, 但也不可太难, 只要掌握基本知识、 概念,深刻理解其中基本的数量关系即可过关。 (2)(2009 宁夏海南卷理) ( (本小题满分 12 分)为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿 水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同一个铅垂平面内(如示意图) ,飞 机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量 的数据(用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步 骤

?1 , ?1

解:方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角;B 点到 M,

N 的俯角 ?2 , ?2 ;A,B 的距离 d (如图所示) . ②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM ?

d sin ? 2 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN ?

d sin ? 2 sin( ? 2 ? ?1 )

第三步:计算 MN. 由余弦定理 MN ? 方案二:①需要测量的数据有:

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 ) .

A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如 图所示). ②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM ?

d sin ?1 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN ?

d sin ?1 sin( ?2 ? ?1 )

第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN ?

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

21.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且 sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ?

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4
3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

(II)由(I)知 C ? 由

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1 2b ? b ? 2? 1 ∴ b ? 1

a ? 2 ,c ?

5

点评:三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的 语 言转 化为三 角的 符号语 言, 再通过 局部的 换元 ,又 将问题 转化为 我们 熟知 的函数
f (t ) ? t ? 4 ,这些解题思维的拐点,你能否很快的想到呢? t

五. 【思维总结】
1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b;

(2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短 边所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况; (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C。 2.三角形内切圆的半径: r ?

a ? b ? c斜 2S ? ,特别地, r直 ? ; a?b?c 2

3.三角学中的射影定理:在△ABC 中, b ? a ? cos C ? c ? cos A ,? 4.两内角与其正弦值:在△ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ,? 5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大 角定理及几何作图来帮助理解” 。

(二)数列: 1.等差数列的有关概念: (1)等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。 或 如设 {an } 是等差数列, 求证: bn= 以

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为 n

等差数列。 (2)等差数列的通项: an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 如①等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? ; ②首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______ ;

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d。 (3)等差数列的前 n 和: S n ? , S n ? na1 ? 2 2 1 3 15 * 如①数列 {an } 中,an ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N ) ,an ? ,前 n 项和 S n ? ? ,则 a1 2 2 2
=_, n = ; ②已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn .

a?b 。 2 提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,
(4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ? 即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? ( 公 差 为 d ); 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 ? ,

a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )
2.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一 次函数,且斜率为公差 d ;前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次 2 2 2

函数且常数项为 0. (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有

am ? an ? 2ap .
如等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____ (4) 若是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 。 ;

A (5)若等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 n ? f ( n) , Bn a (2n ? 1)an A2 n ?1 则 n ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1 如设{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,若 S n
Tn

?

3n ? 1 , 4n ? 3

那么 a n ? ___________;
bn

(6)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增 等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组
?an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列前 n 项是关于 ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ?

n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N * 。上述两种
方法是运用了哪种数学思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? 如①等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值; ②若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和

Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 3.等比数列的有关概念:
(1)等比数列的判断方法:定义法



an ?1 ? q(q为常数), 其 中 q ? 0, an ? 0 或 an

an?1 an (n ? 2) 。 ? an an?1
如①一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an ?1 为____; ②数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 bn ? an?1 ? 2an ,求证: bn }是等 { 比数列。 (2)等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。 如设等比数列 {an } 中,a1 ? an ? 66 ,a2 an?1 ? 128 , n 项和 Sn =126, n 和公比 q . 前 求 (3) 等比数列的前 n 和: q ? 1 时, n ? na1 ; q ? 1 时, n ? 当 当 S S 如等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 ; 特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要 判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时, 要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。 (4)等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。 4.等比数列的性质: (1) 当 m ? n ? p ? q时,则有 am ?an ? a p?aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则 有

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 。 1? q 1? q

am ? n ? ap 2 . a
如①在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4 a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,则 a10 =___;

② 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a5 ? a6 ? 9 , 则

l o3 ag ? 1

l ao? 3 ?g 2

?

a 3 o 1 g0。 l ?

(2) 若 {an } 是等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也是等比数列。 如在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的 值为___ ; (3)若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递减数列;若 则 若 若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , {an } 为递减数列; a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递增数列; q ? 0 , 则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. (4)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数 数列 {an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ( n ? N ) 关于数列 ? an ? 有下列三个命题:①若 ,
n

则 ? an ? 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列。这些命题中,真命题的序号 是 ; 5.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 如已知数列 3

a n ? a n?1

(n ? N) ,则 ? an ? 既是等差数列又是等比数列;②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 ? R ? , b

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32 S ,(n ? 1) ⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? 1 。 Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2)

?

如① 已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ;

1 1 1 a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 ,求 an 2 2 2 ? f (1),(n ? 1) ? ⑶已知 a1 ? 2 ? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) 。 a ?? ,(n ? 2) ? f (n ? 1) ? 如 数 列 {an } 中 , a1 ? 1, 对 所 有 的 n ? 2 都 有 a1a2 a3 ?an ? n 2 , 则
② 数列 {an } 满足 ; a3 ? a5 ? ______ ⑷若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 1 (n ? 2) ,则 an =________ ; 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? n ?1 ? n a a a a ⑸已知 n ?1 ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1 如已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an ⑹ 已 知 递 推 关 系 求 an , 用 构 造 法 ( 构 造 等 差 、 等 比 数 列 ) 特 别 地 , 1 ) 形 如 。 (

an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比 为 k 的等比数列后,再求 an 。
如已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ; ② 已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ;

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b an ?1 如已知 a1 ? 1, an ? ,求 an ;② 已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 , 3an ?1 ? 1
(2)形如 an ? 求 an ; 注意: (1)用 an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗? ( n ? 2 ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ) ; (2) 一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, 常需运用关系式 an ? S n ? S n?1 , 先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解。 如数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an ; 3

6.数列求和的常用方法: (1) 公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式, 特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.; ③ 常 用 公 式 : 1? 2 ? 3 ? ? n ?

13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [

n(n ? 1) 2 ]. 2 n 2 2 2 2 如等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an =_____
如求和: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ??? (?1)n (2n ?1)

1 n ( ?, 12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , ? n 1) 2 6



(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合 并在一起,再运用公式法求和.

(3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数 相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式 的推导方法).

1 1 1 x2 如 已 知 f ( x) ? , 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) = 2 2 3 4 1? x
______; (4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相 乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 如 设 {an } 为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1 , T2 ? 4 ,① 求数列 {an } 的首项和公比;②求数列 {Tn } 的通项公式.; (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关 联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: ①

1 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k
1 1 1 ? ??? ? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)
; ;

如①求和:

②在数列 {an } 中, a n ?

1 n ? n ?1

,且 Sn=9,则 n=_____

(三)不等式 1、不等式的性质: , d (1) 同向不等式可以相加; 异向不等式可以相减: a ?bc ? 若

, a ?c ?b ?d (若 则

a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ) ,但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;

(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,

a b ? ) ; c d n n (3) 左右同正不等式: 两边可以同时乘方或开方: a ? b ? 0 , a ? b 或 n a ? n b ; 若 则 1 1 1 1 (4)若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? ;若 ab ? 0 , a ? b ,则 ? 。 a b a b 如 ① 对 于 实 数 a, b, c 中 , 给 出 下 列 命 题 : ① 若a ? b, 则ac2 ? bc2 ; 1 1 ② 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ; ③ 若a ? b ? 0, 则a 2 ? ab ? b 2 ; ④ 若a ? b ? 0, 则 ? ; a b b a ⑤ 若a ? b ? 0, 则 ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ; a b a b 1 1 ? ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ;⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ?0 。其中正确的命题 c?a c?b a b
但不能相乘:若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ? bd (若 a ? b ? 0,0 ? c ? d ,则 是______(答:②③⑥⑦⑧) ; ② 已 知 ?1 ? x ? y ? 1 , 1 ? x ? y ? 3 , 则 3x ? y 的 取 值 范 围 是 ______ ( 答 :

1 ? 3x ? y ? 7 ) ;③已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0, 则

c 的取值范围是______(答: a

1? ? ? ?2, ? ? ) 2? ?

不等关系、一元二次不等式
重难点:通过具体情境,能建立不等式模型;掌握一元二次不等式解法,理解一元二次不等 式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用. 考纲要求:①了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. ②会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ③通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ④会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 经典例题:某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车 Sm 和汽车车速 km/h 有如下关系: ,在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹 车前的车速至少为多少?(精确到 0.01km/h). 当堂练习: 1. 方程 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D. ) D.2x2-3x-2>0

2. 下列各一元二次不等式中,解集为空集的是( A.(x+3)(x-1)>0 B.(x+4)(x-1)<0

C.x2-2x+3<0

3. 不等式组

的解集为(



A.(-∞,-2]∪[3,4)

B.(-∞,-2]∪(4,+∞)

C.(4,+∞)

D.(-∞,-2]∪(4,+∞)

4. 若 0<a<1,则不等式

的解是(



A. 5. 若 A.

B. ,则 B. C.3

C.

D. 等于( D. )

6. 一元二次不等式 ax +bx+2 0 的解集是(- A.10 B.-10 C.14 D.-14

,

),则 a+b 的值是(

)

7. 若 0<a<1,则不等式(x-a)(x-

)>0 的解集是(



A.(a,

)

B.(

,a)

C.(-∞,a)∪( 8. 若不等式 A. C.

,+∞)

D.(-∞, 的解集为 B. D.

)∪(a,+∞) ,则下列结论中正确的是( )

9. 己知关于 x 的方程(m+3)x 2-4mx +2m-1= 0 的两根异号,且负根的绝对值比正根大, 那么实数 m 的取值范围是( ) A.-3< m<0 B.0<m<3 C.m<-3 或 m> 0 D.m<0 或 m>3 10. 有如下几个命题: ①如果 x1, x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个实根且 x1<x2,那么不等式 ax2+bx+c<0 的解集为 {x∣x1<x<x2}; ②当 Δ=b2-4ac<0 时,二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 ;



与不等式(x-a)(x-b)≤0 的解集相同;



与 x2-2x<3(x-1)的解集相同.

其中正确命题的个数是( A.3 B.2

) C.1 D.0

11. 函数

的定义域是 对

. R 恒成立,则 t 的取值范围是 .

12. 已知关于 x 的不等式

13. 若不等式 14. 和

的解集为

,则实数 p=

. 2 的最大值为 .

是关于 x 的方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 的两个实根,则 2+ ,解关于 的不等式:

15. 设

16. 已知函数 y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3 的图像都在 x 轴上方,求实数 k 的取值范围.

17. 要在墙上开一个上半部为半圆形、下部为矩形的窗户(如图所示),在窗框为定长的条件 下,要使窗户能够透过最多的光线,窗户应设计成怎样的尺寸?

18. 设 A={x|x2 +3k2≥2k(2x-1)}, B={x|x2-(2x-1)k+k2≥0}且 A

B, 试求 k 的取值范围.

参考答案: 经典例题:79.94km/h 当堂练习:

1.D; 2.C; 3.C; 4.A; 5.C; 6.D; 7.A;8.C; 9.A; 10.D;11. (-8,8); 13. ; 14. 18;

12.

;

15. 16. ; 17.半圆直径与矩形的高的比为 2∶1 ; 18.

; .


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