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浙江省台州市2013届高三期末质量评估试题数学文


台州市

2013 学年 第一学期

高三年级期末质量评估试题

数 学(文)

2013.01

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

Ⅰ 选择题部分(共 50 分)
参考公式: 球的表面积公式 S ? 4π

R2 球的体积公式 V ? 4 πR3
3

柱体的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 台体的体积公式 V ? 1 h(S1 ? S1S2 ? S2 )
3

其中 R 表示球的半径

锥体的体积公式 V ? 1 Sh 其中 S1 , 下底面积, S 2 分别表示台体的上底、 3 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 h 表示台体的高 如果事件 A , B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求. ) 1. 复数

3?i 等于 1? i
(B) 1 ? 2i
2

(A) 1 ? 2i

(C) 2 ? i
x

(D) 2 ? i

2. 集合 A ? {0,log 1 3, ?3,1, 2} ,集合 B ? { y ? R | y ? 2 , x ? A} ,则 A ? B ? (A) ?1? (B) ?1, 2? (C) ??3,1, 2? (D) ??3, 0,1?

3.向 量 a ? (1,x ? 1)b , ,? x ( ? 1, 3则 ) “ x ? 2 ”是 “ a ∥ b ”的 (A) 充分而不必要条件 (C) 充要条件
2 2

?

?

?

?

(B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

4. 已知点 A(1,?1) 及圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,则过点 A ,且在圆上截得最长的弦所 在的直线方程是 (A) x ? 1 ? 0 (B) x ? y ? 0 (C) y ? 1 ? 0 (D ) x ? y ? 2 ? 0

5. 设函数 f ( x) 为偶函数, 且当 x ? [0,2) 时 f ( x) ? 2 sin x , 当 x ? [2,??) 时 f ( x) ? log 2 x , 则 f (?

?

3

) ? f (4) ?
(B) 1 (C) 3 (D) 3 ? 2

(A) ? 3 ? 2

开始

6. 按照如图的程序框图执行,若输出结果为 15 ,则 M 处条件为 (A) k ? 16 ? (C) k ? 16 ? (B) k ? 8 ? (D) k ? 8 ?

k ?1

S ?0

M




7. 若函数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a (a ? 0且a ? 1) 在 R 上既是奇函
x

?x

S ? S ?k
S=S+k k ? 2? k

输出 S 结束

数,又是减函数,则 g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图象是

y

y

y

(第 6 题)

y

?2 ?1

O

x

?2 ?1

O

x

O

2

3

x

O

2

3

x

(A) 8. 设斜率为

(B)
2 2

(C)

(D)

x y 2 的直线 l 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于不同的两点,且这两个交点在 2 a b

x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为 ks5u 3 2 1 1 (A) (B) (C) (D) 3 2 2 3 9. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 DD1 的中点, F 是 侧面 CDD1C1 上的动点,且 B1 F //平面 A1 BE ,则 B1 F 与平面 CDD1C1 所成角的正弦值构成的集合是 ?2 ? 5? (A) ?2? (B) ? ?5 ? ? 2 6? 2 ? ? ? 2 ? ?t? 5 ?t ? 2? (C) ?t | (D) ?t | ? 3 ? 3 ? 5 ? ? ? 2 ?
10. 定义在上 R 的函数 f ( x) 满足 f (6) ? 1 , f ( x) 为 f ( x) 的导函
'

(第 9 题)

数,已知 y ? f ( x) 的图象如图所示,若两个正数 a, b 满足
'

y

,则 f (3a ? 2b )? 1 (A) ( ? , 2)

b ?1 的取值范围是 a ?1
(B) (? , ??) (D) [2, ??)

1 3

1 3

o
(第 10 题)

x

(C) (??, ? ) ? [0, ??)

1 3

Ⅱ 非选择题部分(共 100 分)
二、填空题(本题共 7 道小题,每题 4 分,共 28 分;将答案直接答在答题卷上指定的位置)
频率

11.在某次法律知识竞赛中,将来自不同学校的学生的 成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.已知成绩 在[60,70)的学生有 40 人, 则成绩在[70,90)的 有 ▲ 人.
0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005

组距

ks5u

分数

50 60

70 80 90 100

12.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ▲ .

(第 11 题)

13.若 {bn } 是等比数列, m, n, p 是互不相等的正整数,则有

2 3 2
俯视图 正视图 (第 12 题)

? bp ? ? bm ? 正确的结论: ? ? ?? ? ? ? ? bn ? ? bp ?

m

n

?b ? 类比上述性质, ?? n ? ?1. ? bm ?

p

2
侧视图

相应地,若 {an } 是等差数列, m, n, p 是互不相等的正整 数,则有正确的结论: ▲ .

14.在 1, 2,3, 4,5 这五个数中,任取两个不同的数记作 a, b ,则满足 f ( x) ? x ? ax ? b 有两
2

个不同零点的概率是



. B A

15.为了测量正在海面匀速直线行驶的某航船的速度, 在海岸上选取 距离为 1 千米的两个观察点 C , D , 在某时刻观察到该航船在 A 处,此时测得 ?ADC ? 30 ,3 分钟后该船行驶至 B 处,此时测
?

得 ?ACB ? 60 , ?BCD ? 45 , ?ADB ? 60 ,则船速为 ▲
?
? ?

C
(第 15 题)

D

千米/分钟.
2 2

16.已知圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5 及点 B (0, 2) ,设 P, Q 分别是直线 l : x ? y ? 2 ? 0 和圆

C 上的动点,则 PB ? PQ 的最小值为



.

B

M

17 . 如 图, 扇形 AOB 的 弧 的中 点 为 M , 动 点 C , D 分 别 在

OA, OB 上 , 且 OC ? BD. 若 OA ? 1 , ?AOB ? 120? , 则 ???? ? ???? ? MC ? MD的取值范围是 ▲ .

D O C A

(第 17 题)

三、解答题(本题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2cos ? x ? a ( x ? R, ? ? 0) 的
2

最小正周期为 ? ,最大值为 3. (Ⅰ)求 ? 和常数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间. 19. (本题满分 14 分)已知数列 {bn } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列 . 数列 {an } 满足

an ? log2 bn ? 3n ? 11, S n 是 {an } 的前 n 项和.
(Ⅰ)求 S n ;ks5u (Ⅱ) 设同时满足条件: ①

cn ? cn ? 2 ? ② cn ? M ( n ? N ,M 是与 n 无 ? cn ?1 (n ? N ? ) ; 2

关的常数)的无穷数列 ?cn ? 叫“特界”数列.判断(1)中的数列 {S n } 是否为“特界”数 列,并说明理由. 20. (本题满分 14 分)如图,在三棱锥 D ? ABC 中, 平面ADC ? 平面ABC , AD ? 平面DCB , AD ? CD ? 2, AB ? 4, M 为线段 AB 的中点. (Ⅰ)求证: BC ? 平面ACD ; (Ⅱ)求二面角 A ? CD ? M 的余弦值.

D

C
1 2 ax ? 2 x . 2

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

A


M
(第 20 题)

B

(Ⅰ)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 的极大值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围.

22.(本题满分 15 分)已知抛物线 C : x ? 4 y 的焦点为 F ,过点 K ? 0, ?1? 的直线 l 与 C 相
2

交于 A, B 两点,点 A 关于 y 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA ? FB ?

??? ? ??? ?

8 ,求 ?DBK 的平分线与 y 轴的交点坐标. 9

… … … … … … … … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … … …

台州市
题号 分数 一

2011 学年 第一学期

高三年级期末质量评估试题
18 19 20 21 22 总分

数 学(文)答题卷 2012.01


班级_______________________ 姓名________________________ 准考证号_____________________________

一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 二、填空题:本大题共有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.________________________ 13. 15.________________________ 17.________________________ 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. 12.________________________ 14.________________________ 16.________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

学校________________________

请在各题目的答题区域内作答,超出边框限定区域的答案无效 市高三数学(文)答题卷—1(共 4 页)

19.

ks5u

20.

D

C

A

M

B

请在各题目的答题区域内作答,超出边框限定区域的答案无效 市高三数学(文)答题卷—2(共 4 页)

21.

请在各题目的答题区域内作答,超出边框限定区域的答案无效 市高三数学(文)答题卷—3(共 4 页)

22.

请在各题目的答题区域内作答,超出边框限定区域的答案无效

… … … … … … … … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … … …

市高三数学(文)答题卷—4(共 4 页)

学年 台州市2011 第一学期 高三年级期末质量评估试题

数学(文)参考答案及评分标准
2012.1 一、选择题: 1-10. C B A B D 二、填空题: 11. 25 14. 12.

A AC DB
13. m(a p ? an ) ? n(am ? a p ) ? p(an ? am ) ? 0 16. 2 5 17. [ , ]

9 20

13 ? 3 6 15. 6

3 1 8 2

三、解答题: 18. (本小题 14 分) (I) 解: f ( x) ? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2cos ? x ? a 1分
2

??????????????

? 3 sin 2? x ? cos 2? x ? 1 ? a ? 2sin(2? x ? ) ? a ? 1 , ????????? 6
3分 由T ?

?

2? ? ? ,得 ? ? 1 . 2?

?????????

5分 又当 sin(2? x ? 分 (Ⅱ)解:由(I)知 f ( x) ? 2sin(2 x ? 9分 得 k? ? 12 分 故 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? 14 分 19. (本小题 14 分) (I)解: bn ? b1q 2分
n ?1

?
6

) ? 1 时, ymax ? 2 ? a ? 1 ? 3 ,得 a ? 2 .

???7

?
6

) ?1 ,由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z) ,

?
6

? x ? k? ?

?
3



??????

?

, k? ? ] ( k ? Z ) . 6 3

?

???????

? 2n?1 ,

???? ????

an ? log 2 bn ? 3n ? 11 ? log 2 2n ?1 ? 3n ? 11 ? 10 ? 2n ,
4分

市高三数学(文)答题卷—5(共 4 页)

Sn ? na1 ?
分 (Ⅱ)解:由 得 10 分

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 9n . 2

????7

Sn ? Sn ? 2 ? Sn ?1 ,故数列 {S n } 适合条件①; 2
9 2

Sn ? Sn ? 2 (S ? Sn?1 ) ? (Sn?1 ? Sn ) an? 2 ? an?1 d ? Sn?1 ? n? 2 ? ? ? ?1 ? 0 , 2 2 2 2
???????

又 S n ? ? n 2 ? 9n ? ? ( n ? ) 2 ?

81 (n ? N*) ,故当 n ? 4 或 5 时, S n 有最大值 20, 4
???? ???? D
N

即 S n ≤ 20 ,故数列 {S n } 适合条件②. 13 分 综上,数列 {S n } 是“特界”数列. 14 分 20. (本小题 14 分) (Ⅰ)证:取 AC 的中点 O ,连接 DO ,则 DO ? AC , ∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC , ∴ DO ⊥ BC . ???3 分 又∵ AD ? 平面 BCD ,∴ AD ⊥ BC . ???6 分 ∵ DO ∩ AD = D ,∴ BC ⊥平面 ACD .???????7 分 (Ⅱ)解:取 CD 的中点 N ,连接 MO, NO, MN , 则 MO ∥ BC ,∴ MO ⊥平面 ACD ,∴ MO ⊥ CD . 8分 ∵ AD ⊥ CD , ON ∥ AD ,∴ ON ⊥ CD . 又∵ MO ∩ ON = O ,∴ CD ⊥平面 MON , ∴ CD ⊥ MN , ∴∠ MNO 是所求二面角的平面角. 分 在 Rt△ MON 中, MO ?

C O A M (第 20 题) ??????? B

???11

1 1 BC ? 2 , ON ? AD ? 1 , 2 2
NO 3 = . 3 MN
??????

∴ MN = MO 2 ? NO 2 = 3 ,∴cos∠ MNO = 14 分 (其它解法相应给分) 21. (本题满分 15 分)

3x 2 ? 2 x ? 1 3 2 ' ( x ? 0) . (Ⅰ)解: f ( x) ? ln x ? x ? 2 x , f ( x) ? ? x 2
2分 由 f ( x) ? 0 ,得 0 ? x ?
'

?????

1 1 ' ,由 f ( x) ?0 ,得 x ? . 3 3

?????

5分

市高三数学(文)答题卷—6(共 4 页)

所以 y ? f ( x) 存在极大值 f ( ) ? ? 7分 (Ⅱ)解: f ( x) ? ?
'

1 3

5 ? ln 3 . 6

?????

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) , x

?????

8分 依题意 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有解,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上有解. ????9
2

分 当 a ? 0 时,显然有解; 11 分 当 a ? 0 时,由方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个正根,得 ?1 ? a ? 0 ;
2

?????

?????

14 分 所以 a ? ?1 . 15 分
2

?????

另解:依题意 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有解,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上有解. ??? 9分

a?
11 分 由?

1? 2x ? 1? 2x ? 在 (0, ??) 上有解,即 a ? ? , ? 2 2 x ? x ?min

???

? 1? 2x ? ? ? ?1 ,得 a ? ?1 . 2 ? x ?min

?????

15 分 22. (本题满分 15 分) (Ⅰ)解:设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , D(? x1 , y1 ) , l 的方程为 y ? kx ? 1 , 由?

? y ? kx ? 1, ? x ? 4 y,
2

得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,
2

从而 x1 ? x2 ? 4k ,x1 x2 ? 4 . 分

????2

x12 x2 ? x1 y2 ? y1 直线 BD 的方程为 y ? y1 ? ? x ? x1 ? ,即 y ? ? ? x ? x1 ? , x2 ? x1 4 4
令 x ? 0, 得y?

x1 x2 所以点 F 在直线 BD 上. ? 1, 4
市高三数学(文)答题卷—7(共 4 页)

????

2 6 分(Ⅱ)解:因为 FA ? FB ? ? x1 , y1 ? 1? ? ? x2 , y2 ? 1? ? x1 x2 ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? 8 ? 4k ,

??? ? ??? ?

故 8 ? 4k 2 ? 9分

8 4 , 解得 k ? ? , 9 3

????

所以 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 3 ? 0, 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 . 又由 (Ⅰ) 得 x2 ? x1 ? ? 16k 2 ? 16 ? ?

x ?x 7 4 , 7 ,故直线 BD 的斜率为 2 1 ? ? 4 3 3
??

因而直线 BD 的方程为 7 x ? 3 y ? 3 ? 0, 7 x ? 3 y ? 3 ? 0 . 12 分 设 ?DBK 的平分线与 y 轴的交点为 M ? 0, t ? , 则 M ? 0, t ? 到 l 及 BD 的距离分别为

3 t ?1 5



3 t ?1 4





3 t ?1 5

?

3 t ?1 4

,得 t ?

1 ,或 t ? 9 (舍去) , 9
? ? 1? 9?
??

所以 ?DBK 的平分线与 y 轴的交点为 M ? 0, ? . 15 分

市高三数学(文)答题卷—8(共 4 页)


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