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高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数、解三角形(32解三角形)


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版高三数学一轮精品复习学案: 第三章三角函数、 2011 版高三数学一轮精品复习学案:第三章三角函数、解三 角形
3.2 解三角形
【高考目标定位】 高考目标定位】
一、正弦定理和余弦定理 1、考纲点击 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题; 2、热点提示 (1)利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决问题; (2)与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时,考查三角恒 等变换,这是高考的热点; (3)三种题型均有可能出现,属中低档题目。 二、应用举例 1、考纲点击 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题。 2、热点提示 (1)本节内容与实际生活紧密相连,是高考命题的热点,应高度重视; (2)主要考查正、余弦定理及分析问题、解决问题的能力; (3)三种题型均有可能出现,属中、低档题目。

【考纲知识梳理】 考纲知识梳理】
一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 余弦定理

a b c = = = 2R sin A sin B sin C

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A, b 2 = c 2 + a 2 ? 2ac cos B, c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C.

变 形 形式

①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

a b c ②sinA= ,sinB= ,sinC= ; 2R 2R 2R
③a:b:c=sinA: sinB: sinC; ④

a+b+c a = sin A + sin B + sin C sin A

b2 + c2 ? a2 ; 2bc a 2 + c 2 ? b2 cos B = ; 2ca a 2 + b2 ? c2 cos C = . 2ab cos A =

解 决 的 问 题

① 已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; ① 已知三边,求各角; ② 已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他 ② 已知两角和它们的夹角, 求 两角。 第三边和其他两个角。 中 , sinA>sinB 是 A>B 的 充 要 条 件 。 ( ∵

注 : 在 Δ ABC

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sinA>sinB ?

a b ? a>b ? A>B) > 2R 2R

二、应用举例 1、实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下文的叫俯角 (如 图①)

(2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为α(如图②) 注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言 的,而方位角是相对于正北方向而言的。 方向角: (3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③)

①北偏东 α o 即由指北方向顺时针旋转 α o 到达目标方向; ②北偏本 α o 即由指北方向逆时针旋转 α o 到达目标方向; ③南偏本等其他方向角类似。 (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角) 坡度: 坡比: 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④, i 为坡比) 2、ΔABC 的面积公式

1 a ha ( ha 表示a边上的高) ; 2 1 1 1 abc (2) S = ab sin C = ac sin B = bc sin A = ( R为外接圆半径) ; 2 2 2 4R 1 (3) S = r ( a + b + c )( r为内切圆半径) 。 2
(1) S =

【热点难点精析】 热点难点精析】
一、正弦定理和余弦定理

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(一)正弦定理、余弦定理的简单应用 正弦定理、 相关链接※ ※相关链接※ 1、已知两边和一边的对角解三角形时,可有两解、一解、无解三种情况,应根据已知 条件判断解的情况,主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断; 2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理, 应注意用哪一个定理更方便、简捷; 3、三角形中常见的结论 (1)A+B+C=π; (2)在三角形中大边对大角,反之亦然; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (4)三角形内的诱导公式

sin( A + B ) = sin C ;cos( A + B ) = ? cos C ; tan( A + B ) = ? tan C ;sin
(5)在ΔABC 中,tanA+tanB+tanC= tanA·tanB·tanC. 例题解析※ ※例题解析※

A+ B C A+ B C = cos ; cos = sin . 2 2 2 2

在ΔABC 中, (1) b= 2 ,c=1,B=450 ,求 a 及 C 的值; 若 (2) A=60 , 若 a=7,b=5, 〖 例 1〗 求边 C。 思路解析: 思路解析:(1)可直接使用正弦定理求解,注意解的个数的判断,也可利用余弦定理 求解;(2)题目条件是已知两边及一边的对角,这种情况一般用正弦定理理解,但本题不 求 B,并且求出 sinB 后发现 B 非特殊角,故用正弦定理不是最佳选择,而应直接用余弦定 理列出关于 c 的方程求解。 解答: 解答:(1)方法一:由由正弦定理得

o

0

2 1 1 ,所以 sinC= .因为 c<b,所以 = o sin 45 sin C 2 1 a ,所以 = o sin 30 sin105o

C<B, 故 C 一 定 是 锐 角 , 所 以 C= 30o , 所 以 A= 105o , 所 以

a = 2 sin105o =

6+ 2 2
2

方法二:根据 b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B 得 2 = a + 1 ? 2a ,解得 a = C 方法同上。

6+ 2 。解角 2

(2)因为 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ,所以 49 = 25 + c 2 ? 10c cos 60o ,解得 c=8. 〖例 2〗在ΔABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 sinC 解 答 : 由 已 知 得 a>c>b, ∴ A 为 最 大 角 。 由 余 弦 定 理 得 :

b 2 + c 2 ? a 2 32 + 52 ? 7 2 1 cos A = = =? 2bc 2 × 3× 5 2 0o < A < 180o ,∴ A = 120o ,∴ sin A = sin120o = 3 。 2







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c sin A a c = 方法一:由正弦定理得 ,∴ sin C = = sin A sin C a
角 A 为 120 , sin C =
o



3 2 = 5 3 ,因此最大 7 14

5 3 。 14

方法二:cos C =

a 2 + b 2 ? c 2 7 2 + 32 ? 52 11 = = 。∵C 为三角形的内角,∴C 为锐角。 2ab 2×7×3 14

sinC= 1 ? cos C = 1 ? (
2

11 2 5 3 5 3 o ) = ,所以最大角为 120 ,sinC= 。 14 14 14

(二)三角形形状的判定 相关链接※ ※相关链接※ 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的 相应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒 等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π这个结论。 注:在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以 免漏解。 ※例题解析※ 例题解析※ 〖 例 〗 在 Δ ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 表 示 三 个 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 如 果

(a 2 + b 2 )sin( A ? B) = (a 2 ? b 2 )sin( A + B) ,判断三角形的形状
思路解析: 思路解析: 分别以 a 和 b 为同类项整理已知条件 → 展开 sin( A ? B ) 和 sin( A + B ) → 转
2 2

化为边或角关系求解 → 得三角形形状。 解答: 解答:方法一:

由已知得a 2 [sin( A ? B ) ? sin( A + B)] = b 2 [? sin( A + B) ? sin( A ? B)],∴ 2a 2 cos A sin B = 2b 2 cos b sin A 由正弦定理,得 sin 2 A cos A sin B = sin 2 B cos B sin A,∴ sin A sin B (sin A cos A ? sin B cos B) = 0

∴ sin 2 A = sin 2 B,由0 < A + B < π , 得2 A = 2 B或2 A = π ? 2 B,即?ABC是等腰三角形或直角三角形
方法二:同方法一可得 2 a 2 cos A sin B = 2b 2 cos b sin A ,由正、余弦定理,即得
2 2 2 b2 + c2 ? a 2 2 a +c ?b ab =b a ,∴ a 2 (b 2 + c 2 ? a 2 ) = b 2 (a 2 + c 2 ? b 2 ), 2bc 2ac 2 2 2 2 2 即(a ? b )(c ? a ? b ) = 0 2

∴ a = b或c 2 = a 2 + b 2, 故?ABC为等腰三角形或直角三角形。
(三)正、余弦定理在几何中的应用 相关链接※ ※相关链接※

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正、余弦定理在几何中的应用 (1)首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形; (2)其次确定与未知量相关联的量; (3)最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。 例题解析※ ※例题解析※

〖例 1〗如图所示,
0 0

在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=5,

AC=9,∠BCA=30 ,∠ADB=45 ,求 BD 的长。 0 思路解析:由于 AB=5,,∠ADB=45 ,因此要求 BD,可在ΔABD 中,由正弦定理求解, 思路解析: 0 关键是确定∠BAD 的正弦值。在ΔABC 中,AB=5,AC=9,∠ACB=30 ,因此可用正弦定理求出 sin∠ABC,再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定 sin∠BAD 即可。 0 解 答 : 在 Δ ABC 中 , AB=5 , AC=9 , ∠ BCA=30 , 由 正 弦 定 理 , 得

AB AC AC sin ∠BCA 9sin 30o 9 = ,sin ∠ABC = = = sin ∠BCA sin ∠ABC AB 5 10 Q AD / / BC ,∴∠BAD = 180o ? ∠ABC , 于是 sin ∠BAD = sin ∠ABC = 9 。 10 9 9 2 同理,在 ABD中,AB=5,sin∠BAD = , ∠ADB = 450 , 解得BD = 10 2 9 2 故BD的长为 2

〖例 2〗如图,
0 0

,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,

AB=14,∠BDA=60 ,∠BCD=135 ,求 BD 及 BC 的长。
2 2 2 解答: 解答:在ΔBAD 中,由余弦定理,得 BA = BD + AD ? 2BD AD cos ∠BDA ,

设BD = x, 则14 2 = x 2 + 10 2 ? 2 × 10 x cos 600 , 所以x 2 ? 10 x ? 96 = 0, 所以x1 = 16, x2 = ?16(舍去),所以BD = 16.在 BDC中,由正弦定理,得 BC BD 16 = , 所以BC = sin 300 = 8 2, 所以BD = 16, BC = 8 2 0 sin ∠CDB sin ∠BCD sin135
注:(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理运用,有时 还需要交替使用; (2)条件中如果出现平方关系多考虑余弦定理,出现一次式,一般要考虑正弦定理;

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(3)在三角形中求角,往往选择先求该角的余弦值,然后利用余弦函数在(0,π)上 的单调性求角; (4)正、余弦定理能实现边角转化,在解题时一定要重视。 二、应用举例 (一)与距离有关的问题 相关链接※ ※相关链接※ 1、一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中, 建立一个解斜三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解; (4)检验:检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解。 2、解斜三角形应用题常有以下几种情形: (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定 理或余弦定理解之; (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形,这时需 按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解; (3)实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题目已知条件解此三角形 需连续使用正弦定理或余弦定理。 例题解析※ ※例题解析※ 0 〖例 1〗某观测站 C 在 A 城的南偏西 20 的方向。由 A 城出发的一条公路,走向是南偏 0 东 40 ,在 C 处测得公路上 B 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城走去,走了 20 千米后 到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 千米,问这人还要走多少千米才能到达 A 城?

思路解析:本题为解斜三角形的应用问题,人要走多少路可到达 A 城,即求 AD 的长, 思路解析: 0 在ΔADC 中,已知 CD=21 千米,∠CAD=60 ,只需再求出一个量即可。 解 答 : 设 ∠ ACD= α , ∠ CDB= β 。 在 Δ BCD 中 , 由 余 弦 定 理 得

cos β =

BD 2 + CD 2 ? CB 2 20 2 + 212 ? 32 1 4 3 , = = ? , 则sinβ = 2 BD CD 2 × 20 × 21 7 7

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而 sin α = sin( β ? 600 ) = sin β cos 600 ? cos β sin 600 =

4 3 1 3 1 5 3 × + × = , 7 2 2 7 14 21× 5 3 14 = 15 (千米) 3 2

21 AD 21sin α 在 ACD中,由正弦定理得 = , AD = ∴ = 0 sin 60 sin α sin 600 答:这个人再走15千米才能到达A城。

〖例 2〗如图,

公路 MN 和 PQ 在 P 处交汇,且∠QPN=30 ,

0

在 A 处有一所中学,AP=160 米,假设拖拉机行驶时,周围 100 米以内会受到噪声的影响, 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受影响?请说明理由。如果受影响, 已知拖拉机的速度为 18 千米/小时,那么学校受影响的时间为多少? 0 0 解答: 解答:作 AB⊥MN,B 为垂足,在 RtΔABP 中,∵∠ABP=90 ,∠APB=30 ,AP=160,∴ AB=

AP = 80 。∵点 A 到直线 MN 的距离小于 100 米,所以这所中学会受到噪声的影响。 2

如图所示,若以 A 为圆心,100 米为半径画圆,那么圆 A 和直线 MN 有两个交点,设交 点 分别为 C、 D ,连接 AC 和 AD, 则 AC=AD=100 米 ,根 据勾股 定理 和垂径 定理 得: CB=DB= 100 ? 80 = 60 米,∴CD=120 米,学校受噪声影响的时间为 t=
2 2

120 ×3600=24 18000

秒 (二)与高度有关的问题 相关链接※ ※相关链接※ 1、在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线 与水平线的夹角; 2、准确理解题意,分清已知与所求,画出示意图; 3、运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想 的运用。 例题解析※ ※例题解析※ 0 〖例 1〗某人在塔的正东沿着南偏本 60 的方向前进 40 米后望见在东北方向,若沿途测 0 得塔顶的最大仰角为 30 ,求塔高。 思路解析: 思路解析:依题意画图,

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某人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前进,CD=40 米,此时∠DBF=45 ,从 C 到 D 沿途测塔 的仰角,只有 B 到测试点的距离最短,仰角才最大,这是因为 tan∠AEB=

0

AB ,AB 为定值, BE

BE 最小时,仰角最大。要求出塔高 AB,必须先求 BE,而要求 BE,需先求 BD(或 BC) 0 解答: 解答:如图,某人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前进,CD=40,此时∠DBF=45 ,过点 B 0 0 0 作 BE⊥CD 于 E,则∠AEB=30 ,在ΔBCD 中,CD=40,∠BCD=30 ,∠DBC=135 ,由正弦定理, 得

40sin 30o CD BD ,∴BD= = 20 2 。∠BDE=1800-1350-300=150。在 Rt = sin ∠DBC sin ∠BCD sin135o
0

ΔBED 中,BE=Dbsin15 =20 2 × AB=Betan30 =
0

6? 2 =10 4

(

3 ? 1 .在 RtΔABE 中,∠AEB=300 ,∴

)

10 (3 ? 3) (米) 3 10 故所求的塔高为 (3 ? 3) 米。 3
0

某人在山顶观察地面上相距 2500m 的 A、 两个目标, B 测得 A 在南偏本 57 , 〖 例 2〗 0 0 0 俯角为 30 ,同时测得 B 在南偏东 78 ,俯角是 45 ,求山高(设 A、B 与山底在同一平面 上,计算结果精确到 0.1m). 解答: 解答:画出示意图(如图所示):

设山高 PQ=h,则ΔAPQ、 ΔBPQ 均为直角三角形, (1) ∠PAQ=30 , 在图 中, ∠PBQ=45 。 ∴AQ=PQ

0

0

1 0 0 0 = 3 h。在图(2)中,∠AQB=57 +78 =135 ,AB=2500m,所以由余弦定 o tan 30

理得: AB 2 = AQ 2 + BQ 2 ? 2 AQ BQ cos ∠AQB, 即

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25002 = ( 3h) 2 + h 2 ? 2 3h h cos135o = (4 + 6)h 2 , ∴ h =

2500 4+ 6

≈ 984.4(m)

所以山高约 984.4m. (三)与角度有关的问题 相关链接※ ※相关链接※ 1、测量角度,首先应明确方位角、方向角的含义; 2、在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这 一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联 袂”使用的优点。 例题解析※ ※例题解析※ 〖例〗在海岸 A 处,发现北偏东 45 方向,距 A 处 ( 3 ? 1) n mile 的 B 处有一艘走私船,
0

在 A 处北偏本 75 的方向,距离 A 处 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度 追截走私船。此时,走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30 方向逃窜,问缉私 船沿什么方向能最快追上走私船? 路解析: 思路解析:本例考查正弦、余弦定理的建模应用。如图所示:
0

0

注意到最快追上走私船且两船所用时间相等, 若在 D 处相遇, 则可先在ΔABC 中求出 BC, 再在ΔBCD 中求∠BCD。 解答: 解答:设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,则有 CD=10 3 t ,BD=10 t ,在ΔABC 中,∵ AB= 3 ? 1 ,AC=2,∠BAC=120 ,∴由余弦定理,得
0

∴ BC 2 = AB 2 + AC 2 ? 2 AB AC cos ∠BAC = ( 3 ? 1) 2 + 2 2 ? 2 ( 3 ? 1) 2 cos120o = 6 , BC= 6 ,且 sin∠ABC=
0

AC 2 3 2 sin ∠BAC = = . ∴∠ABC=450,∴BC 与正北方向垂 BC 2 2 6
0 0

直 。 ∵ ∠ CBD=90 +30 =120

, 在 Δ BCD

中 , 由 正 弦 定 理 , 得

sin ∠BCD =

BD sin ∠CBD 10t sin120o 1 = = , ∴∠BCD=300。 CD 2 10 3t
0

即缉私船沿东偏北 30 方向最快追上走私船。 (四)与三角形面积有关的问题

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〖例〗在ΔABC 中,内角 A、B、C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= (1)若ΔABC 的面积等于 3 ,求 a,b;

π
3



(2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ΔABC 的面积。 思路解析: (1)利用余弦定理与已知条件确定 a,b 的一个关系式 → 利用三角形的面积 思路解析: 确定 a,b 的另一个关系式 → 联立方程组求 a,b; (2)化简已知条件 → 求 a,b → 求 S?ABC 解答: 解答:(1)由余弦定理及已知条件得

1 联 a 2 + b 2 ? ab = 4, 又 Q ?ABC的面积等于 3.∴ ab sin C = 3, 即ab = 4, 立 方 程 2
组得:

?a 2 + b 2 ? ab = 4 ?a = 2 , 解得 ? ? ?b = 2 ?ab = 4
(2)

由sin C + sin( B ? A) = 2sin 2 A, 得 sin( B + A) + sin( B ? A) = 4 sin A cos A,∴ sin B cos A = 2 sin A cos A, 即 cos A(2sin A ? sin B) = 0 当 cos A = 0时, A= 则a =

π
2

,B =

π
6

,

π 2 3 c 2 4 3 , b = c tan B = 2 × tan = , = = π sin C sin 3 6 3 3

∴?ABC的面积S?ABC =

1 2 3 ab sin C = . 2 3 当 cos A ≠ 0时,则有 sin B = 2sin A,由正弦定理得b = 2a, ? 2 3 ?a = ?a + b ? ab = 4 ? 3 联立方程组 ? , 解得 ? , b = 2a 4 3 ? ?b = ? 3 ?
2 2

∴?ABC的面积S?ABC =

1 2 3 ab sin C = , 2 3 2 3 3

综上知:?ABC的面积S?ABC =

注:(1)对于面积公式 S=

1 1 1 absinC= acsinB= bcsinA,一般是已知哪一个角就使用 2 2 2

哪一个公式; (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理,实施边角转化; (3)正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据具体题目合理选用,有时还需

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要交替使用。

【感悟高考真题】 感悟高考真题】
1、(2010 湖南文数)7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°, ( 湖南文数) c= 2 a,则 A.a>b C. a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

【命题意图】本题考查余弦定理,特殊角的三角函数值,不等式的性质,比较法,属中档题。 2、 2010 天津理数) ( 天津理数) (7) 在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, a ? b = 若
2 2

3bc ,

sin C = 2 3 sin B ,则 A=
(A) 30
0

(B) 60

0

(C) 120

0

(D) 150

0

【答案】A 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。 由由正弦定理得

c 2 3b = ? c = 2 3b 2R 2R , b 2 +c 2 -a 2 ? 3bc + c 2 ? 3bc + 2 3bc 3 = = 2bc 2bc 2 ,所以 A=300 所以 cosA= 2bc =
【温馨提示】 解三角形的基本思路是利用正弦、 余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。

3、 、 (2010 北京理数) 北京理数) (10)在△ABC 中,若 b = 1,c = 3 , ( 答案 1

∠C =

2π 3 ,则 a =



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4、 2010 广东理数) ( 广东理数) 11.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边, a=1,b= 3 , 若 A+C=2B,则 sinC= .

1 3 = o 解:由 A+C=2B 及 A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知, sin A sin 60 ,即
sin A = 1 2 .由 a < b 知, A < B = 60o ,则 A = 30o ,

C = 180o ? A ? B = 180o ? 30o ? 60o = 90o , sin C = sin 90o = 1
5、(2010 安徽文数)16、(本小题满分 12 分) ( 安徽文数)

?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,
uuu uuur r AB AC ; (Ⅰ)求
(Ⅱ)若 c ? b = 1 ,求 a 的值。

cos A =

12 13 。

【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余 弦定理解三角形以及运算求解能力.

【解题指导】(1)根据同角三角函数关系,由

cos A =

12 13 得 sin A 的值,再根据 ?ABC 面

uuu uuur r bc = 156 ;直接求数量积 AB AC .由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ,代入已 积公式得
知条件 c ? b = 1 ,及 bc = 156 求 a 的值.

解:由

cos A =

12 5 12 sin A = 1 ? ( ) 2 = 13 13 . 13 ,得

1 bc sin A = 30 ,∴ bc = 156 . 又2 uuu uuur r 12 AB ? AC = bc cos A = 156 × = 144 13 (Ⅰ) .
(Ⅱ) a = b + c ? 2bc cos A
2 2 2

= (c ? b) 2 + 2bc (1 ? cos A) = 1 + 2 ?156 ? (1 ?

12 ) = 25 13 ,

∴a =5.

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【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求 bc 的值,考虑已知 ?ABC 的

面积是 30,

cos A =

12 13 ,所以先求 sin A 的值,然后根据三角形面积公式得 bc 的值.第二问

中求 a 的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可.

6、( 、(2010 全国卷 2 理数)(17)(本小题满分 10 分) 理数) 、(

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD = 33 ,

sin B =

5 3 cos ∠ADC = 13 , 5 ,求 AD .

【命题意图】 本试题主要考查同角三角函数关系、 两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】

由 cos∠ADC=

>0,知 B<

.

由已知得 cosB=

,sin∠ADC=

.

从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=

=

.

由正弦定理得

,所以

=

.

【点评】 三角函数与解三角形的综合性问题, 是近几年高考的热点, 在高考试题中频繁出现. 这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留, 不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角 或将边角互化. 7、(2010 辽宁理数)(17)(本小题满分 12 分) ( 辽宁理数) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2asin A = (2a + c )sin B + (2c + b)sin C .
(Ⅰ)求 A 的大小;

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(Ⅱ)求 sin B + sin C 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a = (2b + c )b + (2c + b)c
2



a 2 = b 2 + c 2 + bc
由余弦定理得

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A



cos A = ?

1 2 ,A=120°

……6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sin B + sin C = sin B + sin(60° ? B)

3 1 cos B + sin B 2 2 = sin(60° + B ) =
故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 ……12 分

【考点精题精练】 考点精题精练】
一、选择题
1、(2010 届·广东高三六校联考(理))如图,Rt△ABC 中,AC⊥BC,D 在边 AC 上, 已知 BC=2,CD=1,∠ABD=45°,则 AD=(B) A.2 B.5 C.4 D.1

2、 (2010 届· 山东诸城高三 1 月质检) △ ABC 中, 在 若 则边长 AB 等于(C) A.3 B.4 C.5

tan A =

3 BC 4 , C = 120° , = 2 3 ,

D.6

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3、(广东佛山一中·2010 届高三模拟(文))在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 的顶点

A ( ?5, 0 ) 和 C ( 5, 0 ) ,顶点 B 在双曲线
( A. C ) B.

sin B x2 y 2 ? = 1 上,则 为 16 9 sin A ? sin C
5 4

4 5 4 、 ( 湖 北 黄 冈 中 学 · 2010 届 高 三 10 月 月 考 ) 设 G 是 ?ABC 的 重 心 , 且 uuu r uuu r uuur (56sin A)GA + (40sin B )GB + (35sin C )GC = 0 ,则 B 的大小为
C. D. A.45° 答案:B B.60° C.30° D.15°

3 2

2 3

uuu uuu uuur r r G 满足 GA + GB + GC = 0 知, 56sin A = 40sin B = 35sin C 解析:由重心
sin A sin B sin C = = 1 1 1 1 1 1 a = k ,b = k ,c = k 40 35 ,故可令三边长 56 40 35 同时由正弦定理, 56
取 k = 5 × 7 × 8 ,则 a = 5, b = 7, c = 8 ,借助余弦定理求得

cos B =

1 2.

5、(河南省许昌平顶山·2010 届高三调研)在△ABC 中,sin2A+cos2B=1,则 cosA+cosB+cosC 的最大值为 A.

5 4

B. 2

C.1

D.

3 2
AB 的范围是 AC

6、(安徽·合肥 168 中高三段考(文))锐角三角形 ABC 中,若 ∠C = 2∠B, 则 ( A.(0,2) C ) C.( 2 , 3 )

B.( 2 ,2 )

D.( 3 ,2 )

7、(安徽·合肥 168 中高三段考(文)) ?ABC 为锐角三角形,若角 θ 终边上一点 P 的坐标为 ( sin A ? cos B , cos A ? sin C ),则 y =

cos θ sin θ tan θ 的值是:( B ) + + sin θ cos θ tan θ

A.1 B. ?1 C. 3 D. ?3 8、( 2010 届·宁夏银川一中月考(文) )在△ABC 中,角 A,B,C 的对边为 a,b,c,若
a = 3 , b = 2 , B = 45° ,则角 A=(

A )

A. 60°或 120° B.30°或 105° C.60° D. 30° 9、 2010 届·辽宁省东北育才高三二模(理) ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b ( ) ≠1),且

C sin B 、 都是方程 log A sin A

b

x = log b (4 x ? 4) 的根,则 ?ABC (A) B. 是等腰三角形但不是直角三角形 D. 不是等腰三角形,也不是直角三角形

A. 是直角三角形但不是等腰三角形 C. 是等腰直角三角形

10 、 ( 2010 届 · 辽 宁 省 东 北 育 才 高 三 二 模 ( 理 ) ) 对 于 任 意 的 x ∈ R , 不 等 式

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sin 2 x + m sin x +

m2 ? 3 ≤ 0 恒成立,则 m 的取值范围是(B) m

3 D. m ≤ ? 或 0 < m ≤ 3 2 11、(2010 届·辽宁省东北育才高三二模(理))锐角三角形 ABC 中,若 A = 2 B ,则下列叙述

A. m ≤ ?

3 2

B. 0 < m ≤ 1

C. 0 < m ≤ 3

正确的是(B) ① sin 3B = sin 2C ② tan

A. ①② B. ②③ 12、在△ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 ( D ) A.b = 10,A = 45°,B = 70° B.a = 60,c = 48,B = 100° C.a = 7,b = 5,A = 80° D.a = 14,b = 16,A = 45°
二、填空题
13、(2010 届·广东高三六校联考(理))10.在 别是 , , , 若 , 且 , 则 中,角 , , 所对的边分 ___.

3B C π π a ④ ∈ ( 2, 3] tan = 1 ③ < B < 2 2 6 4 b C. ③④ D. ②③④

的面积等于___

2 14、 (2010 届· 浙江春浑中学高三 1 月月考) 在 ?ABC 中, 13. 边长 a, b 是方程 x ? 5 x + 2 = 0

的两个根, ∠C = 120° ,则边长 c =

23



15、 (2010 届· 福建南靖一中高三月考)13.在 ? ABC 中, A,B, 的对边分别为 a , b, c, 角 C
o 若 a = 13 , c = 4 , A = 60 ,则 b =

1或3 在

16、(湖北实验学校·2010 届高三月考(理))

?ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a, b, c ,若

(a

2

+ c 2 ? b 2 tan B =
三、解答题

)

3 ac

π
,则角 B 的值为 3



2π 3

17、(湖北黄冈中学·2010 届 10 月月考)(本题满分 12 分)

?ABC 中,角 A、 、 的对边分别为 a 、、 ,且 lg a ? lg b = lg cos B ? lg cos A ≠ 0 . B C b c
(1)判断 ?ABC 的形状; (2)设向量 m = (2 a, b ) , n = ( a , ?3b ) ,且 m ⊥ n , ( m + n) ? ( ? m + n) = 14 ,求 a , b, c . 16 解:(1)由题 lg a + lg cos A = lg b + lg cos B ,故 a cos A = b cos B , 由正弦定理 sin A cos A = sin B cos B ,即 sin 2 A = sin 2 B .

A, B ∈ (0, ) 2 , 2 A, 2 B ∈ (0, π ) 又 cos A > 0 ,cos B > 0 ,故

π

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因 a ≠ b ? A ≠ B ,故 2 A = π ? 2 B .



A+ B =

π
2 ,故 ?ABC 为直角三角形.
① ② .......6 分

2 2 (2)由于 m ⊥ n ,所以 2 a ? 3b = 0

2 2 且 ( m + n) ? ( ? m + n) = n ? m = 14 ,即 8b ? 3a = 14

2

2

联立①②解得 a = 6, b = 4 ,故在直角 ?ABC 中, a =
2 2

6 , b = 2 , c = 10 ...12 分

18、北京市西城外语学校· 届高三测试)本小题 13 分) ( 2010 ( 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a = 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A + sin C 的取值范围. 解答: 16.(Ⅰ)由 a = 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A = 2sin B sin A ,所以 sin B =

1 , 2

由 △ ABC 为锐角三角形得 B =

π . 6
? ? π ? ? A? 6 ?

5分

(Ⅱ) cos A + sin C = cos A + sin ? π ?

?π ? = cos A + sin ? + A ? ?6 ? 1 3 = cos A + cos A + sin A 2 2 π? ? = 3 sin ? A + ? . 3? ?
由 △ ABC 为锐角三角形知, 9分

π π π π π π ?A> ?B, ?B= ? = . 2 2 2 2 6 3 2π π π < A+ < , 3 3 6

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所以

1 ? 3 π? sin ? A + ? < . 2 ? 3? 2 3 π? 3 ? < 3 sin ? A + ? < × 3, 2 3? 2 ?

由此有

所以, cos A + sin C 的取值范围为 ?

? 3 3? ? 2 , ?. ? 2? ?

13 分

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