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直线与圆锥曲线的位置关系


考点 9 直线与圆锥曲线的位置关系
1. (2015 高考冲刺压轴卷江苏试卷一)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C:x2 ? 4 y 的
焦点为 F,定点 A(2 2,0) ,若射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与抛物线 C 的准线相交于 点 N,则 FM:MN=_________. 【考点】直线与抛物线的位置关系. 【答案】

/>1 3

【分析】由题意 F(0,1),过点 M 向准线做垂线,垂足设为 B,则由抛物线定义 FM=MB,由直 线 FN 的斜率为 k ? ∴ sin ?MNB ?

2 0 ?1 2 ,则 tan∠MNB= , ?? 4 4 2 2 ?0

MB FM 1 ? ? . MN MN 3
设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F, P 为抛物线上一点(在

2. (2015 高考冲刺压轴卷江苏试卷一)

第一象限内),若以 PF 为直径的圆的圆心在直线 x ? y ? 2 上,则此圆的半径为__________. 【考点】抛物线的性质,直线与圆的位置关系. 【答案】1

? n 2 ? 4m ? ?m ? 1 ? m ?1 n ? ? 2 ,解得 ? 【分析】设 P(m,n)(n>0),则 ? ,即 P(1,2), 2 ?n ? 2 ? 2 ? ? n?0

? 圆的半径为

(1 ? 1)2 ? (2 ? 0)2 ? 1. 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点、 上顶点 a 2 b2

3. (2015 高考冲刺压轴卷江苏试卷一)已知椭圆 C :

分别为 A、B,坐标原点到直线 AB 的距离为 (1)求椭圆 C 的方程;

4 3 且 a ? 2b . 3

(2)过椭圆 C 的左焦点 F 1 的直线 l 交椭圆于 M、N 两点,且该椭圆上存在点 P,使得四边形 MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线 l 的方程.

第 3 题图

FGQ27

【考点】椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系. 【解】(1)直线 AB 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 坐标原点到直线 AB 的距离为

4 3 ab a 2b 2 16 ? ? 2 2 ? ,又 a ? 2b ,解得 a ? 4 , b ? 2 2 3 a ?b 3 a 2 ? b2
故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 8

(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为 F 1 ? (?2 2,0) 易知直线 l 的斜率不为 0, 故可设直线 l : x ? my ? 2 2 ,点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 因为四边形 MONP 为平行四边形, 所以 OP ? OM ? ON ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? P( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 联立 ?

??? ? ???? ? ????

? ? x ? my ? 2 2 ? (m2 ? 2) y 2 ? 4 2my ? 8 ? 0 2 2 ? ? x ? 2 y ? 16 ? 0

? ? =64(m2 ? 1) ? 0 ? ?8 2 ? ? x1 ? x2 ? 2 4 2 m ? ? m ?2 y1 ? y2 ? 2 ?? ? m ?2 ? ? y ? y ? 4 2m 1 2 ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 4 2 ? m2 ? 2 ? ?
因为点 P( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 在椭圆上, 所以 ( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ? 16 ? (
2 2

?8 2 2 4 2m 2 ) ? 2( 2 ) ? 16 2 m ?2 m ?2

得到: m ? ? 2 那么直线 l 的方程为 x ? ? 2 y ? 2 2 .

4.

( 江 苏 省 南 京 市 2015 届 高 三 上 学 期 9 月 调 考 数 学 试 卷 ) 给 定 椭 圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 称圆 C1:x2 ? y 2 ? a2 ? b2 为椭圆 C 的“伴随圆”.已知椭圆 C 的离心 2 a b
率为

3 ,且经过点(0,1). 2

(1)求实数 a,b 的值; (2)若过点 P(0, m)(m>0)的直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 且 l 被椭圆 C 的伴随圆 C1 所截得的弦长为 2 2 ,求实数 m 的值. 【考点】直线与椭圆的位置关系. 【解】(1)记椭圆 C 的半焦距为 c.

? c 3 ? ? 由题意,得 b=1, ? a 2 ? a ? 2, c ? 3 ?c 2 ? a 2 ? b2 ?
所以 a=2,b=1. (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 显然直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx ? y ? m ? 0 因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,

x2 ? y 2 ? 1,圆 C1 的方程为 x2 ? y 2 ? 5 . 4

? x2 ? ? y2 ? 1 故方程组 ? 4 (*)有且只有一组解. ? y ? kx ? m ?
由(*)得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 .
2 2 2

从而 ? ? (8km) ? 4(1 ? 4k )(4m ? 4) ? 0
2 2 2

化简,得 m ? 1 ? 4k .①
2 2

因为直线 l 被圆 x ? y ? 5 所截得的弦长为 2 2 ,
2 2

所以圆心到直线 l 的距离 d ? 5 ? 2 ? 3 . 即

|m| k 2 ?1

? 3



由①②,解得 k ? 2,m ? 9 .
2 2

因为 m>0,所以 m=3.

5. (江苏省南通市 2015 届高三第一次模拟考试数学试题)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,
F1 , F2 分别是椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 顶点 B 的坐标为(0, b ), 且 △BF1F2 a 2 b2

是边长为 2 的等边三角形. (1 )求椭圆的方程; (2 )过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆交于 A, C 两点, 记 △ABF2 , △BCF2 的面积分别为 S1 ,S2 . 若 S1 ? 2S2 ,求直线 l 的斜率.

第 5 题图 FGQ14

【考点】椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系. 【解】(1 )∵ △BF1F2 是边长为 2 的等边三角形, ∴a=2c=2,则 c=1, b ? a2 ? c2 ? 3 , 则椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2 )设 B 到直线 AC 的距离为 h,由 S1 ? 2S2 , 则

???? ? ???? ? 1 1 AF2 ? h ? 2 ? F2C ? h ,即 AF2 ? 2F2C ∴ AF2 ? 2F2C , 2 2

设 A( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) , ∵ F2 ? (1,0) ,∴ (1 ? x1 , ? y1 ) ? 2( x2 ?1, y2 ) ,

7 ? ? x2 2 y2 2 x2 ? ? ?1 ? ? ? x1 ? 3 ? 2 x2 4 ? ? 4 3 即? ,由 ? ,解得 , ? 2 2 3 5 (3 ? 2 x ) ( ? 2 y ) ? y1 ? ?2 y2 ? ?y ? ? 2 2 ? ?1 2 ? ? 8 ? 4 3 ?

3 5 8 ?? 5 . ∴直线 l 的斜率为 k ? 7 2 ?1 4 ?

6. (江苏 2015 高考冲刺压轴卷)已知椭圆 E:
y 2 ? 4x 的准线上.且点 M(1, ?
(1)求椭圆 E 的方程;

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的一焦点 F 在抛物线 a 2 b2

2 )在椭圆上 2

(2)过直线 x= ? 2 上一点 P 作椭圆 E 的切线.切点为 Q.证明:PF⊥QF. 【考点】本题考查椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系.几何证明. 【解】 (1)抛物线 y 2 ? 4 x 的准线为 x ? ?1 .则 F ? ?1,0 ? .即 c ? 1 . 又点 M ? 1, ?

? ? ?

2? 1 1 ? 1 .解得 a 2 ? 2 . 在椭圆上.则 2 ? ? 2 ? 2 ? a 2(a ? 1)

故求椭圆 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)设 P ? ?2, y0 ? 、 Q( x1 , y1 ) . 依题意可知切线 PQ 的斜率存在. 设为 k . 则 PQ :y ? kx ? m . 并代入到 理得:

x2 ? y 2 ? 1中. 整 2

? 2k

2

? 1? x 2 ? 4mkx ? 2 ? m 2 ? 1? ? 0 ,

2 2 2 2 2 2 因此 ? =16m k ? 8 2k ? 1 m ? 1 ? 0 .即 m ? 2k ? 1 .

?

??

?

从而 x1 ? ?

2mk 2mk 2 m m ? ? 2mk y ? ? ?m? 2 , ,则 Q ? ? 2 , 2 ?; 1 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k ? 1 2 k ? 1 ?

又 y0 ? ?2k ? m ,则 P ? ?2, ?2k ? m? . FP ? ?1, 2k ? m ? , QF ? ?

??? ?

??? ?

m ? ? 2mk ? 1, ? 2 ? . 2 2k ? 1 ? ? 2k ? 1

由于 FP ? QF ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? m ? 2k ? m ? 2mk m2 ? 1 ? ? ? 1 ? 0 .故 FP ? QF .即 FP ? QF . 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

7.(淮安都梁中学 2015 届高三 10 月调研)已知椭圆 C:


x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 a 2 b2

1 ,一条准线 l 为:x=4,若椭圆 C 与 x 轴交于 A、B 两点,P 是椭圆 C 上异于 A、B 的任 2

意一点,直线 PA 交直线 l 于点 M,直线 PB 交直线 l 于点 N,记直线 PA,PB 的斜率分别为

k1 , k2 .
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 k1 ? k2 的值; (3)求证:以 MN 为直线的圆过 x 轴上的定点,并求出定点的坐标.

第 7 题图 zl091 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【解】 (1)∵
[来源:Z|xx|k.Com]

c 1 a2 ? , ? 4 ,解得 a=2,c=1, a 2 c

∴b= 3 ,∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)设 P ? x0 , y0 ? ,∵A( ? 2,0) ,B(2,0) , ∴ k1 ?

y0 y0 , k2 ? , x0 ? 2 x0 ? 2

∴ k1k2 ?

y0 2 , x0 2 ? 4
x0 2 y0 2 ? ?1, 4 3

∵ P ? x0 , y0 ? 在椭圆上,∴ ∴ y0 ?
2

3 (4 ? x0 2 ) , 4

3 (4 ? x0 2 ) 3 4 ∴ k1k2 ? =? . 2 4 x0 ? 4
(3)证明:设 M(4, y1 ) ,N(4, y2 ) ,

则 k1 ? k AM ? ∴ k1k2 ?

y1 y , k2 ? k BN ? 2 , 6 2

y1 y2 , 12 yy 3 3 又 k1k 2 ? ? ,∴ 1 2 ? ? ,∴ y1 y2 = ? 9, 4 12 4 y ? y2 ∵MN 的中点为 Q(4, 1 ) ,NM=| y1 ? y2 |, 2

y1 ? y2 2 ( y1 ? y2 )2 ) ? ∴以 MN 为直径的圆方程为 ( x ? 4) ? ( y ? , 2 4
2

令 y=0,得(x-4) = ? y1 y2 =9,解得 x=1 或 x=7. ∴以 MN 为直线的圆过 x 轴上的定点(7,0) , (1,0) .

2

x y 8. (徐州市 2014 届高考信息卷) 已知椭圆 C : 2 ? 2 a b

2

2

右焦点分别为 F1 、 ? 1(a ? b ? 0) 的左、

F2 ,过 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于点 M 、 N . 1 (1)若椭圆 C 的离心率为 ,右准线的方程为 x ? 4 , M 为椭圆 C 上顶点,直线 l 交 2 1 1 右准线于点 P ,求 的 值; ? PM PN ( 2 )当 a 2 ? b 2 ? 4 时,设 M 为椭圆 C 上第一象限内的点,直线 l 交 y 轴于点 Q , F1M ? F1Q ,证明:点 M 在定直线上.
【考点】直线与椭圆的位置关系;两直线垂直的充要条件;直线过定点问题.

?c 1 ? , ? ?a ? 2, ?a 2 【解 】 (1)设 F2 (c,0) ,则 ? 2 ,解得 ? , ?c ? 1 ?a ? 4 ? ?c x2 y 2 所以椭圆 C 的方程为 ……………………………2 分 ? ? 1, 4 3 则直线 l 的方程为 y ? ? 3( x ? 1) ,令 x ? 4 ,可得 P (4, ?3 3) ,
? y ? ? 3( x ? 1), 8 3 3 5x2 ? 联立 ? x 2 y 2 ,得 ) , ……4 分 ? 2 x ? 0 ,所以 M (0, 3) , N ( , ? 5 5 4 ?1 ? ? 3 ?4 1 1 1 1 1 5 1 ? ? ? ? ? ? . 所以 PM PN 8 24 3 (0 ? 4) 2 ? ( 3 ? 3 3) 2 8 3 3 2 2 ( ? 4) ? (? ? 3 3) 5 5 …………………………6 分 y0 (2)设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0, y0 ? 0) , F2 (c,0) ,则直线 l 的方程为 y ? ( x ? c) , x0 ? c ?cy0 令 x ? 0 ,可得 Q(0, ……………… …………8 分 ), x0 ? c

由 F1M ? F1Q 可知, k F1M ? k F1Q 又 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2a 2 ? 4 ,

?cy0 y0 x ?c ? ? 0 ? ?1 ,整理得 y0 2 ? x0 2 ? c 2 , x0 ? c c

? a2 ? y0 2 ? x0 2 ? (2a 2 ? 4), x ? , ? ? ? 0 2 2 联立 ? x 2 ,解得 , ? y0 2 0 a ? 1 ? 2 ? ? y0 ? 2 ? 4 ? a2 ?a ? 2 ? 所以点 M 在定直线 x ? y ? 2 上.

…………………………14 分

…………………………16 分
2 2

x y 10. (南通市 2015 届高三第三次调研) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 2 ? 2 a b
>b>0)的两焦点分别为 F1( ? 3 ,0),F2( 3 ,0),且经过点( 3 , (1)求椭圆的方程及离心率;

? 1 (a

1 ). 2

(2) 设点 B, C, D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点, 点 B 与点 D 关于原点 O 对称. 设 直线 CD,CB,OB,OC 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 , k4 ,且 k1k2 ? k3k4 . ①求 k1k2 的值; ②求 OB ? OC 的值.
2 2

zl078
第 10 题图

【解】 (1)方法一 依题意, c ? 3 , a ? b ? 3 ,…………………………………………………
2 2

2分

1 3 3 2 2 2 ? 4 ? 1 ,解得 b ? 1 ( b ? ? ,不合,舍去),从而 a ? 4 . 由 2 2 b ?3 b 4

故所求椭圆方程为: 离心率 e ? 方法二

x2 ? y2 ? 1 . 4
5分

3 .…………………………………………………………………… 2

由椭圆的定义知, 2 a ?

1 1 (? 3 ? 3) 2 ? (0 ? ) 2 ? ( 3 ? 3) 2 ? (0 ? ) 2 ? 4 , 2 2

即 a ? 2 .……………………………………………………………………………

2分

又因 c ? 3 ,故 b ? 1 .下略.
2

(2)①设 B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,则 D ? ? x1 , ? y1 ? ,
y ? y1 y2 ? y1 y2 ? y1 ? ? 2 2 ? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1
2 2 2

于是 k1k2 ? ②方法一

(1 ?

2 x2 x2 ) ? (1 ? 1 ) 4 4 ? ? 1 .…………… 2 2 x2 ? x1 4

8分

1 由①知, k3k4 ? k1k2 ? ? ,故 x1 x2 ? ?4 y1 y2 . 4
2 所以, ( x1 x2 ) ? ? ?4 y1 y2 ? ,即 ( x1 x2 )2 ? 16(1 ? 2

x12 x2 2 2 )(1 ? 2 ) ? 16 ? 4( x12 ? x2 , ) ? x12 x2 4 4

2 ? 4 .…………………………………………………………………… 11 分 所以, x12 ? x2
2 x12 x2 x 2 ? x2 2 2 2 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 ) ? 1 ? y12 ? y2 ?1. ,故 y12 ? y2 4 4 4

又 2? (

2 2 2 2 ? 5 .……………………………… 所以, OB ? OC ? x12 ? y12 ? x2 ? y2

14 分

方法二

1 由①知, k3k4 ? k1k2 ? ? . 4
将直线 y ? k3 x 方程代入椭圆
2 ? 同理, x2

4 x2 .…………………… 9 分 ? y 2 ? 1 中,得 x12 ? 1 ? 4k32 4

4 . 2 1 ? 4k4

2 ? 所以, x12 ? x2

4 4 4 4 ? 4 .……………… ? ? ? 2 1 ? 4k32 1 ? 4k4 1 ? 4k32 1 ? 4(? 1 )2 4k3

11 分

下同方法一.

11. (2015 江苏省南京市高三考前综合)已知直线 l:x-2y+m=0 上存在点 M 满足与两点
A(-2,0),B(2,0)连线的斜率 k MA 与 k MB 之积为 - 【考点】曲线方程的求法,直线与椭圆位置关系. 【答案】[-4,4]. 【分析】由题意可求得,点 M 的轨迹为 椭圆方程得,

3 ,则实数 m 的值是___________. 4

x2 y 2 + = 1 (x≠±2).把直线 l:x=2y-m 代入 4 3

16y 2- 12my+(3m2- 12)=0 .根据条件,上面方程有非零解,得△≥ 0,解得

-4≤m≤4.

12. (15 南通市直调考)已知椭圆 C:
(1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 6 + =1(a> 2 )的离心率为 . 2 2 a 3
2 + =1 上任意一点,求 PQ 的最大值 (y ? 2)

(2)若 P 是椭圆 C 上任意一点,Q 为圆 E: x

2

【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【解】 (1)∵e=
2

6 c 2 2 2 2 = ,又 b =2, a = b + c . 3 a

解得 a =6.

∴椭圆 C 的方程为 (2)由圆 E: x
2

x2 y2 + =1. 2 6
2 + =1 可得圆心为 E(0,2) ,又点 Q 在圆 E 上, (y ? 2)

∴|PQ|≤|EP|+|EQ|=|EP|+1(当且仅当直线 PQ 过点 E 时取等号) . 设 P( x1 , y1 )是椭圆 C 上的任意一点,



x12 y12 ? ? 1 ,即 x12 =6﹣ 3 y12 . 6 2
2

2 ∴ EP = x1 + ( y1 ? 2)2 =6- 3 y12 + ( y1 ? 2)2 = ?2( y1 ? 1)2 ? 12 .

∵ y1 ?[? 2, 2] ,∴当 y1 =-1 时, EP 取得最大值 12,即|PQ|≤ 2 3 +1. ∴|PQ|的最大值为 2 3 +1.

2

13.

(2015 江苏省南京市高三考前综合)已知椭圆 E:

3 x2 y 2 ? 2 ? 1 过点 D(1, ),且右 2 2 a b

焦点为 F(1,0), 右顶点为 A. 过点 F 的弦为 BC. 直线 BA, 直线 CA 分别交直线 l:x=m,(m >2)于 P?Q 两点.

JSY51 第 13 题图 (1)求椭圆方程; (2)若 FP⊥FQ,求 m 的值. 【考点】本题考查了椭圆的标准方程?直线的斜率. 【解】 (1)

1 9 ? 2 ? 1, a 2-b2= 1 ,解之得 a2=4,b2=3 , 2 a 4b

x2 y 2 ? ? 1; 所以椭圆方程为 4 3
(2)设 B( x0,y0 ) ,则 BC: y=

y0 ( x-1) , x0 ? 1

y ? y= 0 ( x-1) ? x0 ? 1 x y ? ? ? 1 联立方程组: ? 与椭圆 E: 2 2 4 3 ? x ? y ?1 ? 3 ? 4
2 2

解得 x=x0,y=y0 或 x=

8 ? 5x0 ?3 y0 8 ? 5x0 ?3 y0 ,y= ,所以 C( , ). 5 ? 2 x0 5 ? 2 x0 5 ? 2 x0 5 ? 2 x0

?3 y0 x0 2 9 (1) y0 5 ? 2 x0 y0 3 y0 3 y0 2 9 4 ? ? ? = 2 = ?? . k AB k AC = 2 x0 ? 2 8 ? 5 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 +2 x0 ? 4 x0 ? 4 4 5 ? 2 x0
显然 k AB=k AP , k AC=k AQ ,所以 k AP k AQ=- .设 Q ? m, y1 ?

y1 y m?2 m?2 m?2 ? 1 ? ? k AP . k AQ ,同理 k FP= m ?1 m ? 2 m ?1 m ?1 m ?1 m?2 2 9 m?2 2 ) k AP k AQ = ? ( ) ? ?1 , 所以 kFP kFQ= ( m ?1 4 m ?1 m?2 2 ? ,所以 m=4. 又 m>2,所以 m ?1 3

9 4

k FQ =

14.(2015· 舟山三模)已知椭圆 C 的方程为

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (m>0),如果直线 y= x与 16 m 2
.

椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为 【答案】

2 2
2

【分析】根据已知条件得 c= 16 ? m2 ,则点 ( 16 ? m ,

2 16 ? m2 ) 2

在椭圆

x2 y 2 16 ? m2 16 ? m2 ? 2 ? 1 (m>0)上,∴ ? ? 1 ,可得 m= 2 2 . 16 m 16 2m 2

15. (2015· 四川雅安月考)抛物线 y 2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3 的
直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A, AK⊥l, 垂足为 K, 则△AKF 的面积是 【答案】 4 3 【分析】∵ y 2=4x ,∴F(1,0),l:x=-1,过焦点 F 且斜率为 3 的直线 l1 : y= 3 (x-1), 与 y 2=4x 联立, 解得 A(3,2 3 ), ∴AK=4, ∴ S△ AKF = .

1 ? 4 ? 2 3=4 3 . 2

16.(2015· 丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆
的最大值为 .

x2 ? y 2 ? 1相交于 A,B 两点,则|AB| 4

【答案】

4 10 5

【分析】设 A,B 两点的坐标分别为( x1,y1 ),( x2,y2 ),直线 l 的方程为 y=x+t, 由?

? x2 ? 4 y2 ? 4 ? y ? x?t
8 5

消去 y,得 5x2 +8tx+4(t 2 -1)=0 .

则 x1 +x2 =- t , x1 x2 =
2

4t 2 ? 4 . 5
2

∴ AB = 1 ? k | x1-x2 | = 1 ? k

8 2 4t 2 ? 4 ( x1 +x2 ) ? 4 x1 x2 = 2 ? (? t ) ? 4 ? 5 5
2



4 2 4 10 . ? 5 ? t 2 ,当 t=0 时, AB max = 5 5
(p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B,C

2 17.(2015· 大连双基测试)过抛物线 y =2px

两点,l 与抛物线准线交于点 A,且|AF|=6, AF =2 FB ,则|BC|=

??? ?

??? ?

.

【答案】

9 2 π ,点 B( x1,y1 ),C( x2 , y2 ), 2

【分析】不妨设直线 l 的倾斜角为 θ,其中 0<θ<

则点 B 在 x 轴的上方.过点 B 作该抛物线的准线的垂线,垂足为 B1 , 于是有 BF = BB1 =3 ,

AF AB

?

p ,由此得 p=2,抛物线方程是 y 2=4x , BB1

焦点 F(1,0),cos θ=

p p 2 1 2 2 , ? ? ? ,sin θ= 1 ? cos2 ? ? 3 AF 6 6 3

tan θ=

? sin ? ? y ? 2 2( x ? 1) ? 2 2 ,直线 l:y=2 2 (x-1).由 ? 消去 y, 2 cos ? y ? 4 x ? ?
5 5 9 ,|BC|= x1 +x2 +p = + 2= . 2 2 2

得 2x -5x+2=0 , x1 ? x2 =
2

18. (2015· 贵州安顺月考)在抛物线 y=x2 上关于直线 y=x+3 对称的两点 M、N 的坐
标分别为________________. 【答案】(-2,4),(1,1) 【分析】设直线 MN 的方程为 y=-x+b,代入 y=x2 中,整理得 x +x-b=0 , 令 Δ=1+4b>0,∴b >- 则 x1+x2 =-1, 由 (?
2

1 .设 M( x1,y1 ),N( x2,y2 ), 4

y1 ? y2 x ?x 1 ? ? 1 2 ?b ? ?b, 2 2 2

? y ? ?x ? 2 1 1 1 1 , ? b) 在直线 y=x+3 上,即 +b=- +3,解得 b=2,联立得 ? 2 2 2 2 2 ? y?x

解得 ?

? x1 ? ?2 ? x2 ? 1 ,? . ? y1 ? 4 ? y2 ? 1

19.(2015· 沈阳模拟)已知点 A(- 2 ,0),点 B( 2 ,0),且动点 P 满足|PA|-|PB|
= 2 , 则 动 点 P 的 轨 迹 与 直 线 y = k(x - 2) 有 两 个 交 点 的 充 要 条 件 为 k∈__________________________. 【答案】(-∞,-1)∪(1,+∞) 【分析】由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支且 2a=2,c= 2 ,

则 b= c2 ? a 2 =1,∴P 点的轨迹方程为 x2-y 2= 1 (x>0), 其一条渐近线方程为 y=x.若 P 点的轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交点, 则需 k∈(-∞,-1)∪(1,+∞).

20. (2015· 北京石景山期末)已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F,准线为直线 l,过抛物线
上一点 P 作 PE⊥l 于点 E,若直线 EF 的倾斜角为 150? ,则|PF|=________. 【答案】

4 3

【分析】由抛物线方程 y 2=4x 可知焦点 F(1,0),准线为 x=-1. 直线 EF 的斜率为 k =tan 150?=所以直线 EF 的方程为 y= ? 与准线方程联立可得点 E (?1,

3 , 3

3 ( x ? 1) , 3 2 3 ), 3

故可设 P ( x,

2 3 ), 3
2

将其代入抛物线方程 y =4x ,解得 x=

1 . 3

所以|PE|=

1 4 ? (?1) ? , 3 3

由抛物线的定义可知|PE|=|PF|, 故|PF|=

4 . 3 1 . 2

21.(2015· 山西模拟)已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 焦距为 2, 离心率为
(1)求椭圆 C 的方程;

(2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 AM =2 MB ,求直线 l 的 方程.

???? ?

????

【解】(1)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0), a 2 b2

因为 c=1,

c 1 ? ,所以 a=2,b= 3 , a 2

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(2)由题意得直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y=kx+1,

? y ? kx ? 1 ? 联立方程 ? x 2 y 2 , ? ? 1 ? 3 ?4
得 (3+4k 2 ) x2 +8kx-8=0 ,且 Δ>0. 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ), 由 AM =2 MB ,得 x1=-2x2 ,

???? ?

????

?8 k ? x1 ? x2 ? ? ? 3 ? 4k 2 又? , ? x ? x ? ?8 ? 1 2 3 ? 4k 2 ? ?8k ? ? x2 ? ? ? 3 ? 4k 2 所以 ? ??2 x 2 ? ?8 2 ? 3 ? 4k 2 ?
消去 x2 得 ( 解得 k ?
2

8k 2 4 ) ? , 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

1 1 ,k ? ? , 4 2 1 2

所以直线 l 的方程为 y=± x+1, 即 x-2y+2=0 或 x+2y-2=0.

22.(2015· 广东肇庆二模)已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 F 1
双曲线 C 上一点 P 到 F 1 , F2 距离差的绝对值等于 2. (1)求双曲线 C 的标准方程;

(-2,0), F2 (2,0),

(2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的方程;

(3)已知定点 G(1,2),点 D 是双曲线 C 右支上的动点,求 DF 1 + DG 的最小值. 【解】(1)依题意,得双曲线 C 的实半轴长 a=1,焦半距 c=2, 所以其虚半轴长 b= c2 ? a2 ? 3 . 又其焦点在 x 轴上, 所以双曲线 C 的标准方程为 x 2

y2 =1 . 3

(2)设 A,B 的坐标分别为( x1,y1 ),( x2,y2 ), 则?

? 3 x12 -y12 ? 3 两式相减, 2 2 3 x y ? 3 ? 2 2

得 3( x1-x2 )( x1+x2 )-( y1-y2 )( y1+y2 )=0 . 因为 M (2,1)为 AB 的中点, 所以 ?

? x1 +x1 ? 4 ? y1 +y1 ? 2

所以 12( x1-x2 )-2( y1-y2 )=0 , 即 k AB =

y1 ? y2 ? 6. x1 ? x2

故 AB 所在直线 l 的方程为 y-1=6(x-2), 即 6x-y-11=0. (3)由已知,得 DF 2, 1 - DF 2 = 即 DF 2, 1 = DF 2 + 所以 DF 2≥ GF2 +2 , 1 + DG = DF 2 + DG + 当且仅当 G,D,F2 三点共线时取等号. 因为 GF2 = (1 ? 2) ? 2 = 5 ,
2 2

所以 DF2 + DG +2≥ GF2 +2= 5 +2 . 故 DF 1 + DG 的最小值为 5 +2.

23. (2015· 淮南模拟)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)与抛物线 y 2 ? 8x 有一个公共的焦点 a 2 b2
.

F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为 【答案】 y= ? 3x

【分析】设点 P ? x0 , y0 ? ,依题意得,焦点 F(2,0),

? x0 ? 2 ? 5 于是有 x0 =3, y0 2 =24; ? 2 y ? 8 x 0 ? 0

? a 2 ? b2 ? 4 ? ? 9 24 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
由此解得 a 2 ? 1, b2 ? 3 , 因此该双曲线的渐近线方程是 y=± x=± 3 x.

b a

1 x2 y 2 2 2 24. (2015· 西安模拟)若椭圆 2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点 (1, ) 作圆 x ? y ? 1的切线, 2 a b
切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 【答案】 .

x2 y 2 ? ?1 5 4
1 2

【分析】①设过点 (1, ) 的圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线为 l,当直线 l 与 x 轴垂直时, k 不存在,直线方程为 x=1,恰好与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切于点 A(1,0);
2 2 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设过点 (1, ) 的圆 x ? y ? 1的切线为 l: y ?

1 2

1 ? k ? x ? 1? , 2

即 kx ? y ? k ?

1 ? 0. 2

?k ?
原点到直线 l 的距离为:d= 此时直线 l 的方程为 y ? ?
2

3 ? 1 ,解之得 k= ? , 4 k ?1

1 2

3 5 3 4 x ? l 与圆 x2 ? y 2 ? 1相切于点 B ( , ) ; 4 4 5 5 4 0? 5 ? ?2 ,直线 AB 的方程为 y ? ?2 ? x ?1? ,所以直线 AB 交 x 轴 因此,直线 AB 斜率为 k1 ? 3 1? 5
于点 A(1,0),交 y 轴于点 C(0,2), 所以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(1,0),上顶点为(0,2), a 2 b2

所以 c=1,b=2,可得 a ? b ? c ? 5 ,椭圆方程为
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1. 5 4

25. (2015· 上饶模拟)过抛物线 y 2 ? 2px
第一、四象限分别交于 A,B 两点,则 【答案】3 【分析】记抛物线 y 2 ? 2px 的准线为 l ? ,

(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物线在 的值等于 .

AF BF

作 AA 1 ? l?, BB 1 ? l?, BC ? AA 1 ,垂足分别是 A 1, B 1 , C, 则有 cos60°=

AC AB

?

AA1 ? BB1 AF ? BF

?

AF 1 =3. ? ,由此得 AF ? BF 2 BF

AF ? BF


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