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江苏省盐城市大丰市新丰中学2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年江苏省盐城市大丰市新丰中学高二(上)期末数 学试卷(理科)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填写在答题纸相应位置上.) 1.命题“?x∈R,x2≥0”的否定是 2.抛物线 y=2x2 的焦点坐标是 3.复数 . 4.函数 f(x)=(x﹣3)ex 的单调递增区间是 .

的值是 . .

5.已知椭圆两个焦点坐标分别是(5,0),(﹣5,0),椭圆上一点 P 到两个焦点的距离 之和为 26,则椭圆的方程为 6.设 O 是原点,向量 是 7.已知 . ,若 则实数 x= . 、 . 对应的复数分别为 2﹣3i,﹣3+2i,那么,向量 对应的复数

8.已知双曲线 则|PF2|的值为 9.曲线

,F1,F2 分别为它的左、右焦点,P 为双曲线上一点,设|PF1|=7, . 在点(0,f(0))处的切线方程为 . .

10.若关于 x 的不等式 x2+mx+m﹣1≥0 恒成立,则实数 m=

11.不等式组

的所有点中,使目标函数 z=x﹣y 取得最大值点的坐标



. .

12.已知点 B 是点 A(2,﹣3,5)关于平面 xOy 的对称点,则 AB=

13.已知椭圆:

+

=1,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点, .

若 AF2+BF2 的最大值为 5,则椭圆方程为 14.有下列命题: ①双曲线 与椭圆

有相同的焦点;

②“

”是“2x2﹣5x﹣3<0”必要不充分条件;

③“若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题是真命题.; ④若 p 是 q 的充分条件,r 是 q 的必要条件,r 是 s 的充要条件,则 s 是 p 的必要条件; 其中是真命题的有: .(把你认为正确命题的序号都填上)

二、解答题(本大题共 6 小题,14+14+15+15+16+16,共 90 分.请在答题纸指定区域内作 答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.已知复数 z=m(m﹣1)+(m2+2m﹣3)i,当实数 m 取什么值时,复数 z 是: (1)零;(2)纯虚数;(3)z=2+5i;(4)表示复数 z 对应的点在第四象限. 16.已知 f(x)= .

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<﹣3 或 x>﹣2},求 k 的值; (2)若对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 17.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,AB=2,点 E 是 C1D1 的中点. (1)求证:DE⊥平面 BCE; (2)求二面角 A﹣EB﹣C 的大小.

18.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2(a>0)在 x=1 处有极值 10. (1)求 a、b 的值; (2)求 f(x)的单调区间;

(3)求 f(x)在[0,4]上的最大值与最小值. 19. 设命题 p: 实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足 (Ⅰ)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 20.如图,点 F1,F2 分别是椭圆 C: 的左、右焦点.点 A 是椭圆 .

C 上一点,点 B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一交点,且满足 AF1⊥x 轴,∠AF2F1=30°. (1)求椭圆 C 的离心率 e; (2)若△ ABF1 的周长为 (3)若△ ABF1 的面积为 ,求椭圆 C 的标准方程; ,求椭圆 C 的标准方程.

2015-2016 学年江苏省盐城市大丰市新丰中学高二(上) 期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填写在答题纸相应位置上.) 1.命题“?x∈R,x2≥0”的否定是 ?x∈R,x2<0 . 【考点】命题的否定. 【分析】根据一个命题的否定定义解决. 【解答】解:由命题的否定义知:要否定结论同时改变量词 故答案是?x∈R,x2<0 【点评】本题考查一个命题的否定的定义.

2.抛物线 y=2x2 的焦点坐标是 (0, ) 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】先将方程化成标准形式,即



,求出 p= ,即可得到焦点坐标.

【解答】解:抛物线 y=2x2 的方程即 x2= y,∴p= ,故焦点坐标为 (0, ), 故答案为:(0, ). 【点评】本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,把抛物线 y=2x2 的方程化为标 准形式,是解题的突破口.

3.复数 0 .

的值是

【考点】复数代数形式的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】 先利用两个复数的除法法则求出 从而可求所求式子的值. 【解答】解:复数 故答案为 0. 【点评】 本题考查两个复数乘除法的运算法则的应用, 以及虚数单位 i 的幂运算性质的应用. = ﹣i= ﹣i=0. , 再由虚数单位 i 的幂运算性质求出 i3 的值,

4.函数 f(x)=(x﹣3)ex 的单调递增区间是 (2,+∞) . 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题. 【分析】首先对 f(x)=(x﹣3)ex 求导,可得 f′(x)=(x﹣2)ex,令 f′(x)>0,解可 得答案. 【解答】解:f′(x)=(x﹣3)′ex+(x﹣3)(ex)′=(x﹣2)ex,令 f′(x)>0,解得 x>2. 故答案为:(2,+∞).

【点评】 本题考查导数的计算与应用, 注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系.

5.已知椭圆两个焦点坐标分别是(5,0),(﹣5,0),椭圆上一点 P 到两个焦点的距离 之和为 26,则椭圆的方程为 【考点】椭圆的标准方程;椭圆的定义. 【专题】计算题. 【分析】由题意可得:c=5,并且得到椭圆的焦点在 x 轴上,再根据椭圆的定义得到 a=13, 进而由 a,b,c 的关系求出 b 的值得到椭圆的方程. 【解答】解:∵两个焦点的坐标分别是(5,0),(﹣5,0), ∴椭圆的焦点在横轴上,并且 c=5, ∴由椭圆的定义可得:2a=26,即 a=13, ∴由 a,b,c 的关系解得 b=12, ∴椭圆方程是 . .

故答案为:



【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义,以及考查椭圆的简单性质,此题属于 基础题.

6.设 O 是原点,向量 是 5﹣5i .



对应的复数分别为 2﹣3i,﹣3+2i,那么,向量

对应的复数

【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】计算题. 【分析】根据向量 、 对应的复数分别为 2﹣3i,﹣3+2i,得到向量 = ,代入

所给的数据作出向量对应的结果. 【解答】解:∵向量 ∴向量 = 、 对应的复数分别为 2﹣3i,﹣3+2i,

=2﹣3i+3﹣2i=5﹣5i

故答案为:5﹣5i

【点评】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义, 本题解题的关键是根据两个向量对应的 复数用向量的减法,得到结果.

7.已知 【考点】空间向量的数量积运算.

,若

则实数 x= 4 .

【专题】计算题;转化思想;综合法;空间向量及应用. 【分析】利用向量垂直的性质求解. 【解答】解:∵ ∴ =6﹣2﹣x=0, , ,

解得 x=4. ∴实数 x 的值为 4. 故答案为:4. 【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量垂直的性质的合 理运用.

8.已知双曲线 则|PF2|的值为 13 .

,F1,F2 分别为它的左、右焦点,P 为双曲线上一点,设|PF1|=7,

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】根据双曲线的定义知|PF2|﹣|PF1|=2a,计算可得答案. 【解答】解:已知双曲线 的 a=3.

由双曲线的定义知|PF2|﹣|PF1|=2a=6, ∴|PF2|﹣7=6, ∴|PF1|=13. 故答案为:13. 【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,属于基础题.

9.曲线

在点(0,f(0))处的切线方程为 x﹣y+2=0 .

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题. 【分析】把 x=0 代入曲线方程求出相应的 y 的值确定出切点坐标,然后根据求导法则求出 曲线方程的导函数,把 x=0 代入求出的导函数值即为切线方程的斜率,由求出的切点坐标 和斜率写出切线方程即可. 【解答】解:把 x=0 代入曲线方程得:f(0)=2,所以切点坐标为(0,2), 求导得:f′(x)= = ,

把 x=0 代入导函数得:f′(0)=1,所以切线方程的斜率 k=1, 则切线方程为:y﹣2=x﹣0,即 x﹣y+2=0. 故答案为:x﹣y+2=0 【点评】 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率, 会根据一点和斜率写出 直线的方程,是一道基础题.

10.若关于 x 的不等式 x2+mx+m﹣1≥0 恒成立,则实数 m= 【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据二次函数的性质得到△ =0,解出 m 的值即可. 【解答】解:若关于 x 的不等式 x2+mx+m﹣1≥0 恒成立, 则△ =m2﹣4(m﹣1)=0,解得:m=2, 故答案为:2. 【点评】本题考察了二次函数的性质,是一道基础题.

2 .

11.不等式组

的所有点中,使目标函数 z=x﹣y 取得最大值点的坐标为 (2,

0) . 【考点】简单线性规划.

【专题】不等式的解法及应用. 【分析】先画出满足条件的平面区域,将 z=x﹣y 变形为 y=x﹣z,通过图象读出即可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域, 如图示:



显然直线 y=x﹣z 过(2,0)时,z 的值最小, 故答案为:(2,0). 【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查了数形结合思想,是一道基础题.

12.已知点 B 是点 A(2,﹣3,5)关于平面 xOy 的对称点,则 AB= 【考点】空间两点间的距离公式. 【专题】计算题.

10 .

【分析】求出点 A(2,﹣3,5)关于平面 xOy 的对称点 B 的坐标,然后利用距离公式求出 AB 即可. 【解答】解:点 A(2,﹣3,5)关于平面 xOy 的对称点的坐标(2,﹣3,﹣5), 由空间两点的距离公式可知:AB= 故答案为:10. 【点评】本题是基础题,考查空间两点的对称问题,距离公式的应用,考查计算能力. =10,

13.已知椭圆:

+

=1,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,

若 AF2+BF2 的最大值为 5,则椭圆方程为



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】|AF2|+|BF2|=4a﹣|AB|=8﹣|AB|,根据|AF2|+|BF2|的最大值为 5,可得|AB|的最小值为 3.由题意可设直线 l 的方程为:my=x+c,(直线 l 的斜率为 0 不必考虑),A(x1,y1), B(x2,y2).与椭圆方程联立可得:(b2m2+4)y2﹣2mcb2y+b2c2﹣4b2=0,再利用根与系 数的关系、弦长公式即可得出. 【解答】解:|AF2|+|BF2|=4a﹣|AB|=8﹣|AB|, ∵|AF2|+|BF2|的最大值为 5, ∴|AB|的最小值为 3. 由题意可设直线 l 的方程为:my=x+c,(直线 l 的斜率为 0 不必考虑),A(x1,y1),B (x2,y2).

联立

,化为:(b2m2+4)y2﹣2mcb2y+b2c2﹣4b2=0,c2=4﹣b2.

∴y1+y2= ∴|AB|=

,y1y2=



= 当 m=0 时,|AB|=b2; 当 m≠0 时,|AB|=4+ ∴b2=3. ∴椭圆的标准方程为: , >b2.

=



故答案为:



【点评】本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、弦长公式,考查了数形结合方法、 推理能力与计算能力,属于中档题.

14.有下列命题: ①双曲线 与椭圆 有相同的焦点;

②“

”是“2x2﹣5x﹣3<0”必要不充分条件;

③“若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题是真命题.; ④若 p 是 q 的充分条件,r 是 q 的必要条件,r 是 s 的充要条件,则 s 是 p 的必要条件; 其中是真命题的有: ①③④ .(把你认为正确命题的序号都填上) 【考点】圆锥曲线的共同特征;命题的真假判断与应用. 【分析】①直接根据焦点的定义求出双曲线 为 ②“ 与椭圆 有相同的焦点都 )故

②2x2﹣5x﹣3<0 的解集为(

y 中至少有一个为 0” ”是“2x2﹣5x﹣3<0”充分不必要条件③若 xy=0, 则 x、

的否命题是④否命题:“若 xy≠0,则 x、y 都不为零”故是真命题.④将已知转化为命题间 的相互推出关系;利用推出的传递性及充要条件的定义判断出各个命题的真假. 【解答】解:①直接根据焦点的定义求出双曲线 点都为 ②∵2x2﹣5x﹣3<0 的解集为( ∴“ ) 与椭圆 有相同的焦

”是“2x2﹣5x﹣3<0”充分不必要条件

③若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题是:“若 xy≠0,则 x、y 都不为 0” 故是真命题. ④∵p 是 q 的充分条件 ∴p?q ∵r 是 q 的必要条件 ∴q?r ∵r 是 s 的充要条件 ∴r?s ∴p?s 故 s 是 p 的必要条件

答案为:①③④ 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征、命题的真假判断与应用,解答时只需抓住充要条件 等概念即可求解,属于基础题.

二、解答题(本大题共 6 小题,14+14+15+15+16+16,共 90 分.请在答题纸指定区域内作 答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.已知复数 z=m(m﹣1)+(m2+2m﹣3)i,当实数 m 取什么值时,复数 z 是: (1)零;(2)纯虚数;(3)z=2+5i;(4)表示复数 z 对应的点在第四象限. 【考点】复数的基本概念. 【专题】计算题. 【分析】(1)实部与虚部同时为零,求解即可; (2)实部为 0,虚部不为 0,复数是纯虚数,求出 m 即可; (3)实部为 2,虚部为 5 求解即可得到 m 的值,使得 z=2+5i (4)表示复数 z 对应的点在第四象限.实部大于 0,虚部小于哦,求出 m 的范围即可. 【解答】解: (1)由 可得 m=1;

(2)由

可得 m=0;

(3)由

可得 m=2;

(4)由题意

,解得

即﹣3<m<0

【点评】本题是基础题,考查复数的基本运算,复数的基本概念,不等式的解法.送分题.

16.已知 f(x)=



(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<﹣3 或 x>﹣2},求 k 的值; (2)若对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 【考点】其他不等式的解法;函数恒成立问题.

【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)根据题意,把 f(x)>k 化为 kx2﹣2x+6k<0,由不等式与对应方程的关系, 利用根与系数的关系求出 k 的值;(2)化简 f(x),利用基本不等式,求出 f(x)≤t 时 t 的取值范围. 【解答】解:(1)∵f(x)>k, ∴ >k;

整理得 kx2﹣2x+6k<0,∵不等式的解集为{x|x<﹣3 或 x>﹣2}, ∴方程 kx2﹣2x+6k=0 的两根是﹣3,﹣2; 由根与系数的关系知, ﹣3+(﹣2)= , 即 k=﹣ ; (2)∵x>0, ∴f(x)= 当且仅当 x= = ≤ = ,

时取等号;

又∵f(x)≤t 对任意 x>0 恒成立, ∴t≥ , ,+∞).

即 t 的取值范围是[

【点评】本题考查了函数的性质与应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,基本不等 式的应用问题,是综合题.

17.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,AB=2,点 E 是 C1D1 的中点. (1)求证:DE⊥平面 BCE; (2)求二面角 A﹣EB﹣C 的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法能证明 DE⊥平面 BCE. (2)求出平面 AEB 的法向量和平面 BCE 的法向量,利用向量法能求出二面角 A﹣EB﹣C 的大小. 【解答】(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系, 则 D(0,0,0),E(0,1,1), B(1,2,3),C(0,2,0), ∴ ∵ =(0,1,1), =0, =(﹣1,﹣1,1), =0, =(﹣1,0,0),

∴DE⊥BE,DE⊥BC, ∵BE?平面 BCE,BC?平面 BCE,BE∩BC=B, ∴DE⊥平面 BCE. (2)解:设平面 AEB 的法向量 =(x,y,z), 则 ,

取 x=1,得 =(1,0,1), ∵DE⊥平面 BCE,∴ ∵cos< >= =(0,1,1)是平面 BCE 的法向量, = ,

∴二面角 A﹣EB﹣C 的大小为 120°.

【点评】本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的大小的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用.

18.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2(a>0)在 x=1 处有极值 10. (1)求 a、b 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求 f(x)在[0,4]上的最大值与最小值. 【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】综合题. 【分析】(1)求出导函数,令导函数在 1 处的值为 0;f(x)在 1 处的值为 10,列出方程 组求出 a,b 的值. (2)令导函数大于 0 求出 f(x)的单调递增区间;令导函数小于 0 求出 f(x)的单调递减 区间. (3)利用(2)得到 f(x)在[0,4]上的单调性,求出 f(x)在[0,4]上的最值. 【解答】解:(1)由 f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b+a2=10, 得 a=4,或 a=﹣3 ∵a>0,∴a=4, b=﹣11(经检验符合) (2)f(x)=x3+4x2﹣11x+16,f'(x)=3x2+8x﹣11, 由 f′(x)=0 得 所以令 f′(x)>0 得 所以 f(x)在 ;令 上单调递增, 上单调递减.

(3)由(2)知:f(x)在(0,1)上单调递减,(1,4)上单调递增,

又因为 f(0)=16,f(1)=10,f(4)=100, 所以 f(x)的最大值为 100,最小值为 1020. 【点评】本题考查导数在极值点处的值为 0;导函数大于 0 对应函数的得到递增区间,导函 数小于 0 对应函数的递减区间.

19. 设命题 p: 实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足 (Ⅰ)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】充分条件;命题的真假判断与应用. 【分析】(1)p∧q 为真,即 p 和 q 均为真,分别解出 p 和 q 中的不等式,求交集即可; (2)﹁p 是﹁q 的充分不必要条件?q 是 p 的充分不必要条件,即 q?p,反之不成立. 即 q 中的不等式的解集是 p 中的不等式解集的子集. 【解答】解:(1)a=1 时,命题 p:x2﹣4x+3<0?1<x<3 命题 q: ? ?2<x≤3,



p∧q 为真,即 p 和 q 均为真,故实数 x 的取值范围是 2<x<3 (2)﹁p 是﹁q 的充分不必要条件?q 是 p 的充分不必要条件,即 q?p,反之不成立. 即 q 中的不等式的解集是 p 中的不等式解集的子集. 由(1)知命题 q:2<x≤3, 命题 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0?(x﹣a)(x﹣3a)<0 由题意 a>0,所以命题 p:a<x<3a, 所以 ,所以 1<a≤2

【点评】本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识,考查知识点较 多,但难度不大.

20.如图,点 F1,F2 分别是椭圆 C:

的左、右焦点.点 A 是椭圆

C 上一点,点 B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一交点,且满足 AF1⊥x 轴,∠AF2F1=30°.

(1)求椭圆 C 的离心率 e; (2)若△ ABF1 的周长为 (3)若△ ABF1 的面积为 ,求椭圆 C 的标准方程; ,求椭圆 C 的标准方程.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)通过求解直角三角形得到 A 的坐标,代入椭圆方程整理,结合隐含条件求得 椭圆 C 的离心率 e; (2)通过椭圆定义结合三角形的周长及隐含条件求得答案; b 与 c 的关系, (3) 由 (1) 得到 a 与 c, 设直线 AF2 的方程为 , 代入 2x2+3y2=6c2

化简整理,求得 B 的坐标,再由点到直线的距离公式结合三角形面积求得答案. 【解答】解:(1)Rt△ AF1F2 中,∵∠AF2F1=30°, ∴ , 并利用 b2=a2﹣c2 化简整理,



,代入

得 3a4﹣2a2c2﹣3c4=0,即(a2﹣3c2)(3a2﹣c2)=0, ∵a>c, ∴ ∴ , .

(2)由椭圆定义知 AF1+AF2=BF1+BF2=2a, ∴△ABF1 的周长为 4a, ∴ ,则 , , ; ,则 ,

故椭圆 C 的标准方程为 (3)由(1)知

于是椭圆方程可化为

,即 2x2+3y2=6c2, ,代入 2x2+3y2=6c2 化简整理得 3x2﹣2cx﹣5c2=0,

设直线 AF2 的方程为 ∴x=﹣c 或 , ,

则点 B 的横坐标为

∴点 B 到直线 AF1 的距离为 ∴△ABF1 的面积为 解得 c=3, ∴ , . ,



故椭圆 C 的标准方程为

【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查椭圆方程的求法,训练了利用定义法求椭圆方程, 是中档题.


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