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高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结


数学选修 2-2 导数及其应用知识点必记
1.函数的平均变化率为
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? x 2 ? x1 ?x ?x ?x

注 1:其中 ?x 是自变量的改变量,可正,可负,可零。 注 2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2 、 导

函 数 的 概 念 : 函 数 y ? f (x) 在 x ? x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是
?x ?0

lim

f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ?y ,则称函数 y ? f (x) 在点 x 0 处可导,并把这个极限叫 ? lim ?x ?x?0 ?x
y ? f (x)





x0

处 的 导 数 , 记 作

f ' ( x0 )



y ' | x ? x0

, 即

f ' ( x 0 ) = lim

f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ?y . ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线的 斜率。 4 导数的背景(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式 函数 导函数 不定积分

y?c
y ? xn ? n ? N * ?

y' ?0

————————
x n ?1 ? x dx ? n ? 1
n

y ' ? nx n ?1

y ? a x ? a ? 0, a ? 1? y ? ex

y ' ? a x ln a
y ' ? ex

x ? a dx ?

ax ln a
x

? e dx ? e
x

y ? log a x

? a ? 0, a ? 1, x ? 0 ?
y ? ln x

y'?

1 x ln a
1 x

————————
1

y' ?

? x dx ? ln x
? cos xdx ? sin x
? sin xdx ? ? cos x

y ? sin x

y ' ? cos x

y ? cos x

y ' ? ? sin x

6、常见的导数和定积分运算公式:若 f ? x ? , g ? x ? 均可导(可积),则有:

和差的导数运算

? f ( x) ? g ( x)?
? f ( x) ? g ( x) ?
'

'

? f ' ( x) ? g ' ( x)

? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x)

积的导数运算

特别地: ?Cf ? x ? ? ' ? Cf ' ? x ? ? ?

商的导数运算

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x ) g ' ( x ) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

'

? 1 ? ? g '( x) 特别地: ? ?' ? 2 g ? x? ? g ? x? ?
y x? ? yu? ? u x?

复合函数的导数

微积分基本定理

? f ? x ?dx ?
b a

(其中

F '? x? ? f ? x? )

和差的积分运算

?

b

a

[ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a a

b

b

特别地: 积分的区间可加性

?

b

a

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx(k为常数)
a

b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中a ? c ? b)
a c

c

b

6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f '( x ) ②令 f '( x) >0,解不等 式,得 x 的范围就是递增区间.③令 f '( x) <0,解不等式,得 x 的范围,就是递减区 间;[注]:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数 f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义域。(2) 求函数 f(x)的导数
f '( x ) (3)求方程 f '( x) =0 的根(4) 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区

间分成若干小开区间,并列成表格,检查 f / ( x) 在方程根左右的值的符号,如果 左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根 处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求 f (x) 在 ?a, b ? 上的最大值与最小值的步骤如 下: ⑴求 f (x) 在 ?a, b ? 上的极值;⑵将 f (x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较,其中最 大的一个是最大值,最小的一个是最小值。[注]:实际问题的开区间唯一极值点 就是所求的最值点;

9.求曲边梯形的思想和步骤:分割 ? 近似代替 ? 求和 ? 取极限 曲”的思想) 10.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1

(“以直代

? 1dx ? b ? a
a

b

性质 5 若 f ( x) ? 0, x ? ?a, b? ,则 ? f ( x)dx ? 0
b a

①推广: ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ? ? f m ( x)]dx ? ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx ? ? ? ? f m ( x)
a a a a

b

b

b

b

②推广: ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ? f ( x)dx
a a c1 ck

b

c1

c2

b

11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值,也 可能取负值,还可能是 0. ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定 积分的值取正值,且等于 x 轴上方的图形面积; (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定 积分的值取负值,且等于 x 轴上方图形面积的相 反数; (3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的值为 0,且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的 面积. 12.物理中常用的微积分知识(1)位移的导数为速 度,速度的导数为加速度。(2)力的积分为功。

推理与证明知识点
13.归纳推理的定义:从个别事实中推演出一般性的 .... ... 结论,像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 .. .. 14.归纳推理的思维过程 大致如图:
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

15.归纳推理的特点: ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象, 归纳所得的结论 是尚属未知的一般现象。 ②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真 实,还需经过逻辑证明和实验检验,因此,它不能作为数学证明的工具。③归纳 推理是一种具有创造性的推理, 通过归纳推理的猜想,可以作为进一步研究的起 点,帮助人们发现问题和提出问题。 16.类比推理的定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同, 推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理。类比推理是由 特殊到特殊的推理。 .. ..

17.类比推理的思维过程
观察、比较 联想、类推 推测新的结论

18.演绎推理的定义:演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公 理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到 .. 特殊的推理。 .. 19.演绎推理的主要形式:三段论 20.“三段论”可以表示为:①大前题:M 是 P②小前提:S 是 M ③结论:S 是 P。 其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理;②是小前提,它指出了一个 特殊对象;③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断。 21.直接证明是从命题的条件或结论出发,根据已知的定义、公理、定理,直接 推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 22.综合法就是“由因导果”,从已知条件出发,不断用必要条件代替前面的条 件,直至推出要证的结论。 23.分析法就是从所要证明的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者 一定成立的式子,可称为“由果索因”。要注意叙述的形式:要证 A,只要证 B, B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。 24 反证法:是指从否定的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否 定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 25.反证法的一般步骤(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立; (2) 从假设出发,经过推理论证,得出矛盾;(3)从矛盾判定假设不正确,即所求 ... 证命题正确。 26 常见的“结论词”与“反义词” 原结论词 反义词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 一个也没有 至少有两个 至多有 n-1 个 至少有 n+1 个

原结论词 对任意 x 不成立 p或q p且q

反义词 存在 x 使成立

对所有的 x 都成立 存在 x 使不成立

?p 且 ?q ?p 或 ?q

27.反证法的思维方法:正难则反 .... 28.归缪矛盾(1)与已知条件矛盾:(2)与已有公理、定理、定义矛盾; (3) .... .......... 自相矛盾. .. 29.数学归纳法(只能证明与正整数有关的数学命题)的步骤(1)证明:当 n 取 ... 第一个值 n0 ? n0 ? N ? ? 时命题成立;(2)假设当 n=k (k∈N*,且 k≥n0)时命题成立, .... 证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1),(2)可知,命题对于从 n0 开始的所有正整数 n ... .. 都正确
王新敞
奎屯 新疆

[注]:常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念:形如 a+bi 的数叫做复数,其中 i 叫虚数单位, a 叫实部, b 叫 .. .. 虚部,数集 C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复数集。 等。
?实数 (b ? 0) ? 31.数集的关系: 复数Z ? ?一般虚数(a ? 0) ? ?虚数 (b ? 0)? ?纯虚数(a ? 0) ? ?

规定: a ? bi ? c ? di ? a=c 且 b=d,强调:两复数不能比较大小,只有相等或不相 .... . . .

32.复数的几何意义:复数与平面内的点或有序实数对一一对应。 33.复平面:根据复数相等的定义,任何一个复数 z ? a ? bi ,都可以由一个有序 实数对 (a, b) 唯一确定。由于有序实数对 (a, b) 与平面直角坐标系中的点一一对 应, 因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了 直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴。实轴 上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。 34.求复数的模(绝对值)与复数 z 对应的向量 OZ 的模 r 叫做复数 z ? a ? bi 的模 (也叫绝对值)记作 z 或 a ? bi 。由模的定义可知: z ? a ? bi ? a 2 ? b 2 35.复数的加、 减法运算及几何意义①复数的加、 减法法则:z1 ? a ? bi与z2 ? c ? di , 则 z1 ? z2 ? a ? c ? (b ? d )i 。注:复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进 .. 行。 ②复数的乘法法则: (a ? bi)(c ? di) ? ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i 。 ③复数的除法法则: 因子 36.共轭复数:两复数 a ? bi与a ? bi 互为共轭复数,当 b ? 0 时,它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i 其中 c ? di 叫做实数化 c ? di (c ? di )(c ? di ) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

(6)i 4 n?1 ? i, i 4 n?2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i, i 4 n? 4 ? 1;

(7) ?1 ? i ?

2

1? i 1? i ?1? i ? ? ?i;(8) ? i, ? ?i, ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?
? 1 ? 3i 2 3n ?1 ? ? , ? 3n ? 2 ? ? , ? 3n ?3 ? 1 是 1 的立方虚根,则 1 ? ? ? ? ? 0 , ? 2

2

(9) 设 ? ?


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