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【轻松突破120分】2014高考数学精炼12 理


2014 高考数学(理)轻松突破 120 分 12
【选题明细表】 知识点、方法 三角函数的概念 同角基本关系式与诱导公式应用 图象与性质 三角恒等变换 解三角形 综合问题 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.若角α 的终边过点(sin 30°,-cos 30°),则 sin α 等于( (A) (B)(C)(D)题号 1、2 3、13 4、6、8、11、2

0 5、9、17 7、10、14、15、18、21 12、16、19、22 C )

解析:点(sin 30°,-cos 30°),即点( ,- ),

∴r=1,∴sin α = =- .故选 C. 2.已知角α 的终边上有一点 M(3,-5),则 sin α 等于( (A)(B)(C)- (D)B )

解析:因为 r=

=

,

所以 sin α = =

=-

.故选 B.

3.函数 f(x)=

满足 f(1)+f(a)=2,则 a 的所有可能值为(

D )

(A)1 或

(B)-

(C)1

(D)1 或a-1

解析:若 a≥0 时,则 e +1=2,a=1, 若-1<a<0 时,则 1+2sin π a =2,sin π a = ,
2 2

-1-

所以π a =2kπ + (k∈Z),所以 a =2k+ (k∈Z),

2

2

令 k=0,则 a=± ,所以 a=- ,

综上,a=1 或 a=- .故选 D.

4.已知函数 f(x)=-2sin(2x+ ? )(| ? |<π ),若 f ( D ) (A) (B)

=-2,则 f(x)的一个单调递增区间可以是

(C)

(D)

解析:由题 f

=-2,

即-2sin

=-2,

得 sin

=1,

∵| ? |<π ,故φ = .

由 +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z,即 x∈ f(x)的增区间.故选 D. 5.已知 = ,0<x<π ,则 tan x 等于( A )

,k∈Z 为

(A)-

(B)-

(C)2

(D)-2

解析:

=

-2-

= =cos x+sin x = .

∴1+2sin xcos x= ,

即 2sin xcos x=- ,必有 x∈

,

从而 1-2sin xcos x= ,

即(sin x-cos x) = ,

2

又当 x∈

时,sin x>cos x,

∴sin x-cos x= .

故 sin x= ,cos x=- ,

于是 tan x=- .故选 A.

6.函数 f(x)= (A)-π (B)-

cos x(C)-

sin x 取得最大值时,x 的可能取值是( C ) (D)2π

解析:因为 f(x)=

cos x-

sin x

=2

=2

cos(x+ ),

-3-

所以当 x+ =2kπ (k∈Z)时,f(x)取最大值,即 x=2kπ - (k∈Z)时,f(x)有最大值 2

,所以结合

各选项知 x 的可能取值是- .故选 C.

7.

在锐角△ABC 中设 x=(1+sin A)(1+sin B),y=(1+cos A)(1+cos B),则 x,y 的大小关系为

( D ) (A)x≤y (B)x<y (C)x≥y (D)x>y 解析:由于三角形为锐角三角形, 故有 A+B> ? A> -B,

又由 y=sin x 和 y=cos x 在

上的单调性可得

sin A>sin

=cos B,cos A<cos

=sin B,

故 1+sin A>1+cos B>0,0<1+cos A<1+sin B, 即 x=(1+sin A)(1+sin B)>y=(1+cos A)(1+cos B). 故选 D. 8.已知函数 f(x)=3sin (ω >0)和 g(x)=3cos(2x+φ )的图象的对称中心完全相同,若 x∈

,则 f(x)的取值范围是( A

)

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:函数 f(x)=3sin

(ω >0)和 g(x)=3cos(2x+φ )的图象的对称中心完全相同,

所以ω =2,f(x)=3sin

,

因为 x∈

,

-4-

所以 2x- ∈

,

所以 f(x)=3sin



.故选 A.

9.已知角α 的终边经过点 P(sin 2θ ,sin 4θ ),且 cos θ = ,则α 的正切值为( B

)

(A)-

(B)-1

(C) (D)1

解析:tan α = =2(2cos θ -1) =2
2

=

=2cos 2θ

=-1.故选 B.

10.在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,其中 a 为最大边,如果 2 2 2 sin (B+C)<sin B+sin C,则角 A 的取值范围为( D ) (A) (B)

(C)

(D)
2 2 2

解析:由题意得,sin A<sin B+sin C, 2 2 2 2 2 2 再由正弦定理得 a <b +c ,即 b +c -a >0. 则 cos A= >0,

∵0<A<π ,∴0<A< .

又 a 为最大边,∴A> .

因此得角 A 的取值范围是

.故选 D.

11.已知函数①y=sin x+cos x,②y=2

sin xcos x,则下列结论正确的是( C )

-5-

(A)两个函数的图象均关于点

成中心对称图形

(B)两个函数的图象均关于直线 x=- 成轴对称图形

(C)两个函数在区间

上都是单调递增函数

(D)两个函数的最小正周期相同 解析:由于 y=sin x+cos x= sin ,

y=2

sin xcos x=

sin 2x,

当 x=- 时,y=

sin

=0,y=

sin 2x=-

,

因此函数 y=sin x+cos x 的图象关于点

成中心对称图形,

不关于直线 x=- 成轴对称图形,

函数 y=2

sin xcos x 的图象不关于点

成中心对称图形,关于直线 x=- 成轴对称图形,

故选项 A、B 均不正确; 结合图象(图略)可知, 这两个函数在区间 因此选项 C 正确; 函数 y= sin 的最小正周期是 2π , 上都是单调递增函数,

y=

sin 2x 的最小正周期是π ,

因此选项 D 不正确.综上所述,故选 C. 12.若 AB=2,AC= BC,则 S△ABC 的最大值为( A )

(A)2

(B)

(C)

(D)3

-6-

解析:设 BC=x,则 AC= 根据三角形面积公式得

x,x>0,

S△ABC= ?AB?BCsin B=x 根据余弦定理得 cos B= 将②代入①得, S△ABC=x = , = =





由三角形的三边关系得

解得 2 故当 x=2

-2<x<2

+2. .故选 A.

时,S△ABC 取得最大值 2

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.已知α ∈ ,sin α = ,则 tan = .

解析:在△ABC 中,由α ∈

且 sin α = 得

cos α =-

=- ,

故 tan α =- ,

因此 tan

=

= .

答案:

14.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos A= ,cos B= ,b=3,则 c= 解析:在△ABC 中,

.

-7-

∵cos A= ,∴sin A= ,

∵cos B= ,

∴sin B= , ∴sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = ? + ? = .

由正弦定理得,c=

=

= .

答案: . 15.要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得塔 顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的 ∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为 m. 解析:如图所示,设电视塔 AB 高为 x m,

则在 Rt△ABC 中, 由∠ACB=45°得 BC=x. 在 Rt△ADB 中∠ADB=30°, ∴BD= x,

在△BDC 中, 由余弦定理得, 2 2 2 BD =BC +CD -2BC?CD?cos 120°, 即( x) =x +40 -2?x?40?cos 120°,
2 2 2

解得 x=40, ∴电视塔高为 40 m. 答案:40 16. 若函数 f(x)=|sin x|(x≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点,设交点中横坐

-8-

标的最大值为α ,则

=

.

解析:依题意,画出示意图如图所示.

于是,α ∈

,且 A(α ,-sin α )为直线 y=kx 与函数 y=-sin x(x∈(π , ))图象的切点.

在 A 点处的切线斜率为-cos α =

,故α =tan α .

所以

=

=

=2.

答案:2 三、解答题(共 74 分) 17.(本小题满分 12 分) 已知 sin α = ,α ∈ (1)求 tan α 的值; (2)求 tan(α +2β )的值. 解:(1)∵sin α = ,α ∈ , ,tan β = .

∴cos α =

=

=

.

∴tan α =

=

= .

(2)法一 ∵tan β = ,

∴tan 2β =

=

= ,

∴tan(α +2β )=

=

=2.

法二 ∵tan β = ,

-9-

∴tan(α +β )=

=

=1,

∴tan(α +2β )= 18.(本小题满分 12 分)

=

=2.

在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,a=2

,b=2,cos A=- .

(1)求角 B 的大小; 2 (2)若 f(x)=cos 2x+bsin (x+B),求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间. 解:(1)∵cos A=- (0<A<π ),

∴A 为钝角,sin A= .



=

得 sin B= ,

∴B= .

(2)由(1)知 f(x)=cos 2x+2sin

2

=cos 2x-cos

+1

=cos 2x- cos 2x+ sin 2x+1

=sin

+1

所以,函数 f(x)的最小正周期为π , 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,

得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 所以函数 f(x)的单调递增区间为

- 10 -

,k∈Z. 19.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点, =(2sin x,1),
2

=(1,-2

sin xcos x+1),f(x)=

?

+m.

(1)求 y=f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)的定义域为 ,值域为[2,5],求 m 的值.

解:(1) f(x)=2sin x-2 =1-cos 2x-

2

sin xcos x+1+m

sin 2x+1+m

=-2sin

+2+m,

由 +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z),

得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z),

故 y=f(x)的单调递增区间为

(k∈Z).

(2)当 ≤x≤π 时, ≤2x+ ≤

,

∴-1≤sin(2x+ )≤ , ∴1+m≤f(x)≤4+m, ∴ ? m=1.

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0,| ? |< )的部分图象如图所示:

- 11 -

(1)求函数 f(x)的解析式并写出其对称中心; (2)若 g(x)的图象与 f(x)的图象关于点 P(4,0)对称,求 g(x)的单调递增区间. 解:(1)由题图可知,A= , =4,∴T=16,

∴ω = = ,

∴f(x)=

sin

,

由题图知 f(2)=

,



sin

=

.

即 sin

=1,

∴ +φ = +2kπ (k∈Z),

∴φ = +2kπ (k∈Z),

又| ? |< ,∴ ? = ,

∴f(x)=

sin

.

令 x+ =kπ (k∈Z),可得 x=8k-2, 所以函数 f(x)的对称中心为(8k-2,0)(k∈Z). (2)设 g(x)上任一点为 A(x,y), 其关于点 P(4,0)的对称点 A'(x',y'),则 A'在 f(x)上. ∴x'=8-x,y'=-y,代入 f(x)得, -y= sin ,

- 12 -

∴y=-

sin

.

即 g(x)=-

sin

.

由 +2kπ ≤ x- ≤ +2kπ (k∈Z), 得 16k+6≤x≤16k+14(k∈Z). 所以函数 g(x)的单调递增区间为 [16k+6,16k+14](k∈Z). 21.(本小题满分 12 分) 如图所示,一人在 C 地看到建筑物 A 在正北方向,另一建筑物 B 在北偏西 45°方向,此人向北偏 西 75°方向前进 km 到达 D,看到 A 在他的北偏东 45°方向,B 在他的北偏东 75°方向,试

求这两座建筑物之间的距离.

解:依题意得,DC=

(km),

∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC, ∠DBC=120°,∠ADC=60°,∠DAC=45°. 在△BDC 中,由正弦定理可得, BC= = = (km).

在△ADC 中,由正弦定理可得, AC= = =3 (km).

在△ABC 中, 由余弦定理可得, 2 2 2 AB =AC +BC -2AC?BCcos∠ACB =(3 ) +(
2

) -2?3

2

?

?cos 45°=25,

∴AB=5(km). 即这两座建筑物之间的距离为 5 km. 22.(本小题满分 14 分)

- 13 -

已 知 角 A 、 B 、 C 为 △ ABC 的 三 个 内 角 , 其 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 若 向 量 m= ,n= ,a=2 ,且 m?n= .

(1)若△ABC 的面积 S△ABC= (2)求 b+c 的取值范围. 解:(1)因为 m=

,求 b+c 的值;

,n=

,且 m?n= ,

所以-cos

2

+sin

2

= ,即-cos A= ,

又 A∈(0,π ),所以 A= .

又由 S△ABC= bcsin A=

,得 bc=4,

由余弦定理得 a =b +c -2bccos =b +c +bc, 所以 16=(b+c) ,故 b+c=4. (2)由正弦定理得 = = = =4,
2

2

2

2

2

2

又 B+C=π -A= , 所以 b+c=4sin B+4sin C =4sin B+4sin

=4sin

,

因为 0<B< ,

所以 <B+ < ,

所以 <sin

≤1,
- 14 -

即 b+c 的取值范围是(2

,4].

- 15 -


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