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1.3.1三角函数的诱导公式(一)教案 2


三角函数的诱导公式(一)
教学目的: 1、牢固掌握五组诱导公式; 2、熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明; 3、能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题; 4、渗透分类讨论的数学思想,提高分析和解决问题的能力. 教学重点、难点 重点:熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明. 难点:诱导公式的推导、记忆及符号的判断. 教学过程: 一、复习引入: 1.利用单位圆表示任意角 ? 的正弦值和余弦值; 2.诱导公式一及其用途:

sin(k ? 360 ? ? ) ? sin ? ,cos(k ? 360 ? ? ) ? cos? , tan(k ? 360 ? ? ) ? tan ? , k ? Z
3、对于任何一个 ? ?0 ,360 内的角 ? ,以下四种情况有且只有一种成立(其中 0 ? ? ? 90 ):

?

?? , ? ? ?0 ,90 ? ? ? ?180 ? ? , ? ? ?90 ,180 ? ? ? ? ?? ?180 ? ? , ? ? ? ?180 , 270 ? ? ? ? ?360 ? ? , ? ? ? 270 ,360 ?
所以,我们只需研究 180 ? ? ,180 ? ? ,360 ? ?与? 的同名三角函数的关系即研究了 ? 与? 的关系了. 二、讲授新课 1.诱导公式二: 思考:(1)锐角 ? 的终边与 ? ?? 的终边位置关系如何? (2)写出 ? 的终边与 ? ?? 的终边与单位圆交点 P, P ' 的坐标. (3)任意角 ? 与 ? ?? 呢? 结论:任意 ? 与 ? ?? 的终边都是关于原点中心对称的.则有 P( x, y), P '( ?x, ? y) ,由正弦函数、余弦 函数的定义可知:

sin ? ? y ,

cos? ? x ;
cos(180 ? ? ) ? ? x .

sin(180 ? ? ) ? ? y ,

从而,我们得到诱导公式二: sin(? ? ? ) ? ? sin ? ;

tan ?? ? ? ? ? tan ?.
2.诱导公式三:

cos(? ? ? ) ? ? cos? ;

思考:(1) 2? ? ? 的终边与 ?? 的终边位置关系如何?从而得出应先研 究 ?? ; (2)任何角 ? 与 ?? 的终边位置关系如何? 结论:同诱导公式二推导可得:诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ;

cos(?? ) ? cos ? ;

tan ? ?? ? ? ? tan ?.
3.诱导公式四: sin(? ? ? ) ? sin ? ;

cos(? ? ? ) ? ? cos ? .

tan ?? ? ? ? ? ? tan ?
说明:1. ?+k 2? (k ? Z), ?? , ? ? ? 的三角函数值,等于 ? 的同名三角函数值,前面加上把 ? 看成 锐角三角函数值的符号; 2.公式二~四中的 ? 指任意角; 3.在角度制和弧度制下,公式都成立. 三、典型例题 例 1 求下列三角函数值:(1) cos 225 ; (2) sin

11? . 10

解:(1) cos 225 ? cos(180 ? 45 ) ? ? cos 45 ? ?

2 . 2

(2) sin(

11? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ? sin ? ? sin18 ? ?0.3090 (诱导公式三). 10 10 10

例 2 (1)化简

sin ? ?? ? 180

cos ?180 ? ? ? sin ?? ? 360

?

cos ? ?180 ? ? ?

?

.

解: sin ?? ? 180

?

? ? sin ? ?? ?180

? ? ?? ? ? ? sin ?180 ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? sin ? ,

? cos ? ?180 ? ? ? ? cos ? ?? ?180 ? ? ?? ? cos ?180 ? ? ? ? ? cos ? ,

原式 ?

? cos ? sin ? ? 1. sin ? ? ? cos ? ?

四、课堂小结 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般步骤是: ①化负角的三角函数为正角的三角函数; ②化大于 2? 的正角的三角函数为 ?0, 2? ? 内的三角函数; ③化 ?0, 2? ? 内的三角函数为锐角的三角函数. 可概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值).

五、练习: 1.将下列三角函数转化成锐角三角函数,并填在题中横线上:

?1? cos

13 π ? 9 4 π ; 9

? π? ; ? 2 ? sin ? ? ? ? ? 5?

.

答案: ?1? ? cos

? 2 ? ? sin

π . 5

2.化简: ?1? sin ?? ? 180 ? cos ? ?? ? sin ? ?? ? 180 ? ;

π ? ? ? tan ? ?? ?π ?. ? 2? sin3 ? ?? ? cos ? 2

答案: ?1? ? sin 2 ? cos ? ;

? 2? sin4 ?.


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