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2016届浙江省慈溪中学高三数学文科上学期期中考试(2015.11)


慈溪中学

2015学年 第一学期

期中检查高三文科数学试卷

选择题部分
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为 U ? R ,集合 M ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0} , N ? {y y ? x2

?1} , 则 M ?C ( 为 ( ) B. {x ?1 ? x ? 1} C. {x 1 ? x ? 3} D. {x 1 ? x ? 3} ( )
U

) N

A. {x ?1 ? x ? 1}

2. “ ? 是第二象限角”是“ sin ? tan ? ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 已知 ? , m , n 是两条不同的直线, 则下列正确的是 ? 是两个不同的平面, A.若 m // ? , ? ? ? = n ,则 m //n C.若 ? // ? ,m⊥ ? ,n // ? ,则 m⊥n B.若 m⊥ ? ,n ? ? ,m ⊥n ,则 ? ⊥ ?

(

)

D.若 ? ⊥ ? , ? ? ? = m ,m //n,则 n // ?

4.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? 1, A ? 60? ,若三角形有两解,则 b 的 取值范围为( ) B. (1,

A. ?0,1? 错误!未找到引用源。

2 3 ) 3

C.错误!未找到引用源。

D. (

2 3 , 2) 3

2 2 5.设点 M ( x0 ,1) ,若在圆 O: x ? y ? 1 上存在点 N,使得 ?OMN ?

?
4

,则 x0 的取值范

围是( A. ??1,1?

) B. ? ? 1 , 1 ?
? ? 2 2? ?
2

C. ? ? 2, 2 ?

?

?

2 2? D. ? , ?? ? ? 2 2 ?

x2 y 2 6.点 F 是抛物线 ? : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点, F 1 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的 a b 右焦点,若线段 FF1 的中点 P 恰为抛物线 ? 与双曲线 C 的渐近线在第一象限内的交点,则 双曲线 C 的离心率 e 的值为 ( )
A. 3
2 2

B. 3
4

3

C.

9 8

D.

3 2 4

第 1 页 共 9 页

7. 如图, 四边形 OABC,ODEF,OGHI 是三个全等的菱形,?COD ? ?FOG ? ?IOA ?

?
3



???? ? ???? ? ??? ? ? ? OD ? a ,OH ? b ,已知点 P 在各菱形边上运动,且 OP ? xa ? yb , x, y ? R , x ? y 的
最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D. 6

y
? 7? 3 12
O

x

? 2
第 7 题图 第 9 题图 第 11 题图

8.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 , 若对任意的 x ??a ?1, a ? 1? 关于 x 的不等式 f ( x2 ? a) ? a 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(0, 2] B. (0, 4] C. (0, + ? ) D. [2, + ? ) )

非选择题部分
二、填空题:本大题共 7 小题,共 36 分。

)( A ?0, 9.函数 f (x) ? Asin( ?x ? ?

? ? ?0,| ? |? )

2

的图像向左平移

? 个单位,所得曲 3

线的一部分如上图所示, f ( x) 的周期为 10.计算: log

, ? 的值为 ,



2

2 2 ? log 2 3 ? log 3

1 ? 2

?2 x?1 ( x ? 0) 2015 )? 设 f ( x) ? ? ,则 f ( ? 2 ? f ( x ? 1) ? 2( x ? 0)



11.若上图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、 俯视图,则其正视图的面积为 ,三棱锥 D-BCE 的体积为 .

? x ? 0, ? 12.已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ? x, 时, 所表示的平面区域为 D,则 z ? x ? 3 y ?2 x ? y ? 9 ? 0 ?
的最大值等于 是 . , 若 直 线 y ? a( x ? 1) 与 区 域 D 有 公 共 点 , 则 a 的 取 值 范 围

13.已知 a ? 0, b ? 0, a ? 2b ? 1 ,则

1 1 ? 取到最小值为 3a ? 4b a ? 3b



第 2 页 共 9 页

14. 如图,在矩形 ABCD 中,AB ? 2,AD ? 1,在平面内将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转 60° 后得到矩形 A' BC' D',则点 D' 到直线 AB 的距离是 .
D

D'
A′ D ′ C C′ B (第 14 题) 图)

15.已知等差数列 ?an ? 首项为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 首项为 b , A 公比为 a ,其中 a, b 都是大于 1 的正整数,且 a1 ? b1 , b2 ? a3 ,对于任 意的 n ? N * ,总存在 m ? N * ,使得 am ? 3 ? bn 成立,则 an ? .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 15 分) 已知向量 m= ? sin ? x ?

?? ?

? ? ? ?? (Ⅰ) 求 x ? ? ? , ? 时,函数 f ? x ? 的值域; ? 4 2?

? ?

??

?? ? 1 ? ? f x ? m ?n ? . , . 若函数 ,cos x n ? cos x ,cos x ? ? ? ? ? ? 4 6? ?

(Ⅱ) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ? A ? ? 求 BC 边上中线长的最大值.

???? ??? ? 1 且 AC ? AB =2 , 4

17. (本题满分 15 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 100 ? 3n ? an ,求数列 ? bn ? 的前 n 项和.

an (an ? 2) (n ? N*) . 4

18. (本题满分 15 分) 如图,三棱锥 P ? ABC 中,BC ? 平面 PAB . PA ? PB ? AB ? BC ? 6 ,点 M ,N 分别为 PB , BC 的中点. (Ⅰ)求证: AM ? 平面PBC ; (Ⅱ) E 在线段 AC 上的点,且 AM / / 平面PNE . ①确定点 E 的位置; ②求直线 PE 与平面 PAB 所成角的正切值.

P

M
A E

C N

第 3 页 共 9 页

B

19 、 (本题满分 15 分) 已知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 点 R( 1 ,2) 在抛物线 C 上. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程;(Ⅱ)过点 Q(1,1) 作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A, B ,若直 线 AR, BR 分别交直线 l : y ? 2 x ? 2 于 M , N 两点,求 MN 最小时直线 AB 的方程.

20. (本题满分 15 分) 设已知函数 f ( x) ? x ? a ?

4 ? a, a ? R , x

(Ⅰ)当 x ? ?1,4? 时,求函数 f ( x) 的最大值的表达式 M (a) (Ⅱ)是否存在实数 a ,使得 f ( x) ? 3 有且仅有 3 个不等实根,且它们成等差数列,若存 在,求出所有 a 的值,若不存在,说明理由。

第 4 页 共 9 页

慈溪中学

2015学年 第一学期

期中检查高三文科数学答案

一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 B 5 A 6
【来源:全,品?中&高*

7 B

8 C
【来源: 全,品?中&高*考+网】

考+网】

D

二、填空题:本大题共 7 小题,9~12 小题每题 6 分,其它小题每题 4 分,共 36 分 9. 11.

?
4

;

?? / 3 8 ; 3

10. 2 12. 14. 12;
1/ 2 ?

;

2 2 ? 2016 3 a? 4
3

13. (3+2 2 )/5

15.

5n ? 3

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 74 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 14 分) 答案: (1) f ? x ? ?

1 ? ?? sin ? 2 x ? ? ……3 分, 2 ? 6?

? 3 ? ?? ? ,1? …….5 分 sin ? 2 x ? ? 的范围是 ? ? 6? ? ? 2 ?
值域 ? ?

? ?

3 1? , ? ………7 分; 4 2?

(2) A ?

?
3

………9 分,由 b ? c ? bc ? 4 得 b ? c ? 8 ………………12 分
2 2 2 2

则中线长为 3 ……………………..14 分 17. 解: (Ⅰ)由 Sn ?

an (an ? 2) (n ? N*) , 4

n =1, a1 ? 1

………………1 分

n 用 n ? 1 代,
两式相减得 an 2 ? an?12 ? 2(an ? an?1 ) , ……………… 3分

因为 an 正项数列, an ? an?1 ? 2(n ? 2) ………………5 分

an 为等差数列,得 an ? 2n .

……………… 6 分

?100 ? 2n3n ,1 ? n ? 2 (Ⅱ) bn ? 100 ? 2n3n ? ? n ? 2n3 ? 100, n ? 3

………………8 分

第 5 页 共 9 页

Cn ? 2n ? 3n ,错位相减法可以得 Cn ? 2n ? 3n 的前 n 项和 Sn '

Sn ' ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? ? ? 2n ? 3n 3Sn ?
'

2 ? 3 ? ? ? (2n ? 2) ? 3 ? 2n ? 3
2 n

n ?1

1 3 ? Sn' ? (n ? ) ? 3n?1 ? . …………… 11 2 2
…………… 13 …………… 15

1 ? n ? 2 , Sn ? ?(n ? ) ? 3n?1 ? 100n ?
3 ? n , Sn ? (n ? ) ? 3n?1 ? 100n ?
18.答案:

1 2

3 2

1 2

3 1 1 +316= (n ? ) ? 3n?1 ? 100n ? 317 2 2 2

PA ? AB ? ? ? ? AM ? PB ? PM ? MB ? ? ? BC ? 平面PAB ? ? (1) ? AM ? BC ? ? ? AM ? 平面PBC AM ? 平面PAB ? ? PB ? BC ? B ? ? ? ? 1 (2)连 MC 交 PN 于 F ,则 F 是 ?PBC 的重心,且 MF ? MC , 3 AM / / 平面PEN ? ? 平面AMC ? 平面PEN ? EF ? ? AM / / EF AM ? 平面AMC ? ?
1 AC ? 2 2 3 作 EH ? AB 于 H ,则 EH / / BC ,所以 EH ? 平面PAB , 所以,?EPH 是直线 PE 与平面 PAB 所成角.
所以 AE ? 且 EH ?

……… 5 分

………… 9 分

……………

12 分

1 1 EH 7 BC ? 2 , AH ? AB ? 2 , ? PH ? 2 7 ,? tan ?EPH ? . ? 3 3 PH 7 7 所以, 直线 PE 与平面 PAB 所成角的正切值为 . …………… 7
(本题亦可用空间向量求解)
2

15 分

19解:(Ⅰ) ? 点 R(1, 2) 在抛物线 C 上,? p ? 2 ,即抛物线 C 的方程为 y ? 4 x (2分)
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 x ? m( y ? 1) ? 1(m ? 0)

由?

? x ? m( y ? 1) ? 1 ? y ? 4x
2

消去 x ,整理得

y 2 ? 4my ? 4(m ?1) ? 0

? y1 ? y2 ? 4m ?? ? y1 ? y2 ? 4(m ? 1)
y2 ? y1 ? ( y2 ? y1 )2 ? 4 y1 y2 ? 4 m2 ? m ? 1
第 6 页 共 9 页

(3分)

(4分)

设直线 AP 的方程为

y ? k1 ( x ?1) ? 2

由?

? y ? k1 ( x ? 1) ? 2 k1 解得点 M 的横坐标 xM ? , k1 ? 2 ? y ? 2x ? 2
y1 ? 2 y1 ? 2 4 k 2 ? 2 ? ? xM ? 1 ? ? x1 ? 1 y1 y1 ? 2 k1 ? 2 y1 ?1 4
(7分)

又 k1 ?

同理点 N 的横坐标 xN

??

2 y2

(8分)

? MN ? 5 xM ? xN ? 5 ?

y ?y 2 2 ? ?2 5 2 1 y1 y2 y1 y2
(10分)

?2 5

y2 ? y1 m2 ? m ? 1 m2 ? m ? 1 ?8 5 ?2 5 y1 y2 4 m ?1 m ?1

令 m ? 1 ? t , t ? 0 ,则 m ? t ? 1

? MN ? 2 5

t 2 ? t ?1 1 1 ? 2 5 2 ? ?1 2 t t t
?2 5 1 1 ? ?1 ? 2 5 t2 t

(12分)

当 t ? 0 时,? MN

(13分)

当 t ? 0 时,? MN

1 1 3 ? 2 5 ( ? )2 ? ? 15 t 2 4

(14分)

即当 t ? ?2 , m ? ?1 时

MN 的最小值为 15 ,此时直线 AB 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .(15分)

20. (本题满分 15 分 )

4 ? 2a ? x ? , x ? ?1, a ? ? ? x 解: (1)函数 f ( x ) ? ? ? x ? 4 , x ? ?a,4? ? x ?
ⅰ) a ? 1 , f ( x) ? x ?

4 在 ?1,4? 单调递增,所以? f ( x) max ? f (4) ? 3 ----------1 分 x

ⅱ)1 ? a ? 2 , f ( x) 在 ?1, a? 上单调递增,?a,4? 上单调递增, 所以? f ( x) max ? f (4) ? 3
第 7 页 共 9 页

--------------------------------3 分

ⅲ) 2 ? a ? 4 , f ( x) 在 ?1,2? 上单调递增, ?2, a ? 上单调递减, ?a,4? 上单调递增,所以

? f ( x) max

? ?3 ? ? max? f (2), f (4)? ? ? ?2 a ? 4 ? ?

? 7? x ? ?2, ? ? 2? ?7 ? x ? ? , 4? ?2 ?

-------------------------6 分

ⅳ ) a ? 4 , f ( x) 在 f ( x) 在 ?1,2? 上 单 调 递 增 , ?2,4? 上 单 调 递 减 ,

? f ( x) max ? f (2) ? 2a ? 4 .
7 ? 3 a? ? ? 2 综上所述 M (a ) ? ? ?2 a ? 4 a ? 7 ? 2 ? 4 ? 2a ? x ? , x ? ?? ?, a ? ? ? x (2) 函数 f ( x) ? ? 4 ? x ? , x ? ?a,?? ? ? x ?
不妨设 f ( x) ? 3 的 3 个根为 x1 , x2 , x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 当 x ? a 时, f ( x) ? 3, 解得 x ? ?1, x ? 4 ⅰ) a ? ?1 ,? x2 ? ?1, x3 ? 4 ,? x1 ? ?6 由 f (?6) ? 3 ,解得 a ? ?

----------------------------7 分

----------------------8 分

------------------------9 分

11 ,满足 f ( x) ? 3 在 ?? ?, a? 上有一解。---------------11 分 6

ⅱ) ? 1 ? a ? 4 , f ( x) ? 3 在 ?? ?, a? 上有两个不同的解,不妨设 x1 , x 2 ,其中 x3 ? 4 所以有 x1 , x 2 是 2a ? x ? 得到 ?

1 2 ? 3 的两个解, 即 x1 , x 2 是 x ? (2a ? 3) x ? 4 ? 0 的两个解。 x

? x1 ? x 2 ? 2a ? 3 ? x1 ? x 2 ? 4

又由设 f ( x) ? 3 的 3 个根为 x1 , x2 , x3 成差数列,且 x1 ? x2 ? x3 ,得到 2 x2 ? x1 ? 4

第 8 页 共 9 页

? ? ? x1 ? 2 3 ? 2 ? x1 ? ?2 3 ? 2 ? ? ? ? 解得: ? x 2 ? 1 ? 3 , ? x 2 ? 1 ? 3 (舍去) ? ? ?a ? 1 ? 3 3 ?a ? 1 ? 3 3 ? ? 2 2 ? ?
ⅲ) a ? 4 , f ( x) ? 3 最多只有两个解,不满足题意 综上所述 a ? ?

----------------------------14 分

11 3 3 或 a ? 1? 6 2

---------------------15 分

第 9 页 共 9 页


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