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福建省福州八中2013届高三毕业班(5月)模拟考数学文科试卷


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福州八中 2012—2013 学年高三毕业班模拟考

数学(文)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

y 参考公式:回归直线方程: ? ? bx ? a ,其中 b ?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

, a ? y ? bx

2 i

? nx

2

1 Sh , 其中 S 为底面面积, h 为高; 3 球的表面积公式: S ? 4? R2 ; 4 球的体积公式: V ? ? R 3 ,其中 R 为球的半径。 3
锥体体积公式: V ? 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z ? 1? 2i ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部为 D. 2i a b 2.命题 p : 若x ? y, 则 | x |?| y | ,命题 q : 若 2 ? 2 ,则 a ? b .则 c c A. p 或 q ”为真 “ C. p 真 q 假 B. p 且 q ”为真 “ D. p, q 均为假
开 始 n=6, i=1

A. ? 2

B. 2

C. ? 2i

3.在递增等比数列{ a n }中, a 2 ? 2, a 4 ? a3 ? 4 ,则公比 q = A.-1 B.1 C.2

1 D. 2
是 n=3n-5

4.某程序框图如图所示,则该程序 运行后输出的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 5.下列说法中,正确的是 A.与定点 F 和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 m B.抛物线 x2=2my 的焦点坐标为?0, 2 ?,准线方程 ? ?

n 是奇数

否 n n= 2

i=i+1 n=2 是 输出 i 结 束 否

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m 为 y=- 2 C.准线方程为 x=-4 的抛物线的标准方程为 y2=8x D.焦准距(焦点到准线的距离)为 p(p>0)的抛物线的标准方程为 y2=± 2px 6.若角 ? 的终边与单位圆交于第三象限的一点 P,其横坐标为 ? A. ?

10 ,则 tan? ? 10

1 3

B.

1 3

C. ? 3

D. 3

7. 如图正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是 底面的中心)P-ABCD 的底面边长为 6cm,侧棱长为 5cm,则它 的侧视图的周长等于 A.17cm C.16cm B. 119 ? 5cm D.14cm

8. M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点, OA ? OB ? OC ? OD ? 设 则 A. OM B. 2OM C. 3OM D. 4OM

9.在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一个矩形,邻边长分别等于线段 AC、CB 的 长,则该矩形的面积大于 24cm2 的概率是 A.

1 6

B.

1 5

C.

1 4

D.

1 3
sin 2 ? ,其中 k 是常 r2

10.在半径为 a 的圆桌中心上方安装一吊灯,桌面上灯光的强度 y ? k

数,r 是灯与桌面上被照点的距离,错误!未找到引用源。是光线与桌面的夹角(如图),现 为使桌边最亮,则 sin ? 错误!未找到引用源。 A.

3 2 2 3

B.

3 3 2 2

r
?

C.

D.

11. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 是偶函数,且满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,当 x ? ?? 1,1? 时,

a

f ( x) ? 1 ? x 2 ,若函数 g ( x) ? log 5 x ,则 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间(0,5]内的零点的个数是
A.2
2

B.3
2

C.4

D.5

12.若双曲线

x y ? ? 1 渐近线上的一个动点 P 总在平面区域 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 16 内,则 9 16

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实数 m 的取值范围是 A. [?3,3] C. [?5,5] 第Ⅱ卷

B. (??, ?3] ? [3, ??) D. (??, ?5] ? [5, ??) (非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应横线上. π 13.函数 y=sin (2x+ )的图象可由函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度 4 而得到. 14.设函数 f ( x ) ? ? 围是 .

? x 2 ? x ? b, x ? 3 ? ,若函数 f (x) 在 R 上为增函数,则实数 b 的取值范 ?2 x , x ? 3 ?


15.若关于 x 的不等式 m ? x ? 1? ? x 2 ? x 的解集为 ? x 1 ? x ? 2? ,则实数 m 的值为 16. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 上任意一点 P , A1 , A2 是椭圆的左、右顶点, 设直线 PA1 , PA2 斜 9 5 率分别为 k PA1 , k PA2 ,则 k PA1 ? k PA2 ? ,现类比上述求解方法,可以得出以下命题:已知 x2 y2 ? ? 1 上任意一点 P , A1 , A2 是双曲线的左、右顶点,设直线 PA1 , PA2 斜率分别 a2 b2 为 k PA1 , k PA2 ,则 k PA1 ? k PA2 ? .
双曲线 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 12 分) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学 生 , 将 其 数 学 成 绩 ( 均 为 整 数 ) 分 成 六 组 [90,100) , [100,110),?, [140,150]后得到如下部分频率分布直方图, 观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在[120,130)内的频率; (2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区 100+110 间[100,110)的中点值为 =105)作为这组数据的平 2 均分,据此,估计本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, 将该样本看 成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率.

18. (本题满分 12 分) 已知 a ?

?

3 sin ?x, ? cos?x ,b ? (cos?x, cos?x) ,? ? 0 , 函数 f ( x) ? a ? b , f (x) 且

?

的图像相邻两条对称轴间的距离为

? . 2

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(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)若 ? ABC 的三条边 a , b , c 所对的角分别为 A,B,C 满足 2 bc cos A ? a 2 ,求角 A 的取 值范围.

19. (本题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC , AA1 ? A1C ? AC ? 2 ,

AB ? BC, AB ? BC, O 为 AC 的中点.
⑴ 证明: A1O ? 平面 ABC ; ⑵ 若 E 是 线 段 A1 B 上 一 点 , 且 满 足
A1 C1

B1

VE ? BCC1 ?

1 V ABC ? A1B1C1 ,求 A1 E 的长度. 12

A

O B

C

20. (本题满分 12 分) 数列 { an } 的前 n 项和 S n ?

n2 1 5 ,已知 a1 ? , a2 ? . an ? b 2 6

(1)求数列 { an } 的前 n 项和 S n ; (2)求数列 { an } 的通项公式; (3)设 bn ?

an ,求数列 { bn } 的前 n 项和 Tn . n ? n ?1
2

21. (本题满分 12 分)

2 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 (0, ?1) . 2 a b (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)若过点 M (2, 0) 的直线与椭圆 C 相交于两点 A、B ,设 P 为椭圆上一点,且满足

??? ??? ? ? ??? ? OA ? OB ? tOP (其中 O 为坐标原点) ,求整数 t 的最大值.
22. (本题满分 14 分)

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若斜率为 k 的两条平行直线 l ,m 与曲线 C 相切并至少有两个切点,且曲线 C 上的所有点 都在 l , m 之间(也可在直线 l , m 上) ,则把 l , m 称为曲线 C 的“夹线” ,把 l , m 间的距 离称为曲线 C 在“ k 方向上的宽度” ,记为 d (k ). 已知函数 f ( x) ? x+3cos x . (Ⅰ)若点 P 横坐标为 0,求 f ( x) 图象在点 P 处的切线方程; (Ⅱ)试判断 y ? x ? 3 和 y ? x ? 3 是否是 f ( x) 的“夹线” ,若是,求 d (1) ;若不是,请说 明理由; (Ⅲ)求证:函数 F ( x) ? ? x3 ? x 的图象不存在“夹线”.

1 3

福州八中 2012—2013 学年高三毕业班模拟考

数学(文)试题参考答案
1-12、BACCB DDDBD CD

π 13、 14、 [2,??) 15、2 8 17、解:(1)分数在[120,130)内的频率为

b2 5 16、 ? ; 2 a 9

1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3 ????3 分 (2)估计平均分为

x =95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121
?????????6 分 (3)依题意,[110,120)分数段的人数为 60×0.15=9(人). [120,130)分数段的人数为 60×0.3=18(人). ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m,n; 在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a,b,c,d; 设“从样本中任取 2 人, 至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A, 则基本事件共有(m, ), n (m,a),?,(m,d),(n,a),?,(n,d),(a,b),?,(c,d)共 15 种. 则事件 A 包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,

c),(n,d)共 9 种.∴P(A)= = .
18、解: (I) f ( x) ? a ? b ?

9 15

3 5

????12 分

3 sin ?x cos?x ? cos?x cos?x

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?

3 1 1 ?? 1 ? sin 2?x ? cos 2?x ? ? sin? 2?x ? ? ? 2 2 2 6? 2 ?

……….2 分

∵ f (x) 相邻两条对称轴的距离为

? ,∴ f (x) 最小正周期为 ? 2
?????? 4 分



?? 1 2? ? ? ? 得 ? ? 1. 函数 f ( x) ? sin? 2 x ? ? ? 6? 2 2? ?

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

 k ? Z 得
, k? ?

k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

∴函数 f (x) 的单调增区间[ k? ? (II)∵2 bc cos A ? a
2 2

?
6

?
3
2

]

k ? Z ……………….6 分
2 2

又由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A .
2

∴ 4bc cos A ? b ? c

,

∴ cos A ?

b 2 ? c 2 2bc 1 ? ? 4bc 4bc 2
…………………….12 分

3 19、解:(1) ? AA1 ? A1C ? AC ? 2 ,且 O 为 AC 的 中点,? A1O ? AC ,又?侧面 AA1C1C ? 底面 ABC ,交线 为 AC , A1O ? 面A1 AC ,? A1O ? 平面 ABC ???? 6 分 1 1 (2) VE ? BCC1 ? V ABC ? A1B1C1 ? V A1 ? BCC1 , A1 12 4 1 3 B1 因此 BE ? BA1 , 即 A1 E ? A1 B , 4 4 又在 Rt?A1OB 中, A1O ? OB, A1O ? 3 , BO ? 1 , 3 可得 A1 B ? 2, 则A1 E 的长度为 ???? 12 分 A C 2 O 1 1 1 4 20、 (1) S1 ? a1 ? , 解: 由 得 由 ? ; S2 ? a1 ? a2 ? , B 2 a?b 2 3 4 4 得 ? . 2a ? b 3 ?a ? 1 ?a ? b ? 2 n2 ∴? ,解得 ? , 故 Sn ? ???? 4 分 n ?1 ?b ? 1 ? 2a ? b ? 3

又∵ A 为三角形内角,所以 0 ? A ?

?

.

C1

n2 ( n ? 1) 2 n3 ? ( n ? 1) 2 (n ? 1) n 2 ? n ? 1 ? ? ? 2 (2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? S n ?1 ? . n ?1 n n(n ? 1) n ?n
n2 ? n ? 1 n2 ? n ? 1 1 也适合 an ? . ∴通项 an ? n2 ? n n2 ? n 2 a 1 1 1 (3) bn ? 2 n . ? ? ? n ? n ? 1 n( n ? 1) n n ? 1
由于 a1 ? ???8 分

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∴数列 { bn } 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? bn ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 3 n ?1 n n n ? 1

1 n ??? 12 分 ? n ?1 n ?1 c2 a 2 ? b2 1 c 2 2 ? .即 a 2 ? 2b2 . 21、解: (Ⅰ)由题知 e ? ? , 所以 e ? 2 ? a 2 a a2 2 x2 2 2 ? y 2 ? 1 ??3 分 又因为过点 (0, ?1) ,所以 b ? 1 , a ? 2 .故 C 的方程为 2 (Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x, y ) , ? 1?
? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2 1 ? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ? ??????5 分 2 8k 2 8k 2 ? 2 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ??? ??? ? ? ??? ? x1 ? x2 8k 2 ? ∵ OA ? OB ? tOP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ? , t t (1 ? 2k 2 ) y ? y2 1 ?4k . ??????8 分 y? 1 ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? t t t (1 ? 2k 2 )

(8k 2 ) 2 (?4k ) 2 ?2 2 ?2, ∵点 P 在椭圆上,∴ 2 t (1 ? 2k 2 ) 2 t (1 ? 2k 2 ) 2 2 2 2 ∴ 16k ? t (1 ? 2k )

t2 ?

16k 2 16 16 ? ? ? 4,则-2 ? t ? 2 , 2 1 1 ? 2k 2?2 ?2 k2

??????11 分

∴ t 的最大整数值为 1. ????????12 分 22、解: (Ⅰ)由 f '( x) ? 1 ? 3sin x , k ? f '(0) ? 1 ? 3sin 0 ? 1 ,

f (0) ? 0+3cos 0 ? 3 ,所以 P 坐标为 P (0,3) , ? f ( x) 图象在点 P 处的切线方程是 y ? 3 ? x ? 0 即 y ? x ? 3 ????3 分 (Ⅱ) y ? x ? 3 和 y ? x ? 3 是 f ( x) 的“夹线”. ????4 分 由(Ⅰ)知 y ? x ? 3 是 f ( x) 图象在点 P 处的切线,切点为(0,3). ? f '( x) ? 1 ? 3sin x ? 1,? sin x ? 0 . 当 x ? 2? 时, y ? 2? +3 , f (2? ) ? 2? +3cos 2? ? 2? +3 , 是函数 y ? x ? 3 和 f ( x) ? x+3cos x 图象的另一个切点. (2 ? ?,2? +3) y ? x ? 3 和 f ( x) ? x+3cos x 的图象相切且至少有两个切点. 同理, ? , ? -3)( 3? , 3? -3)是 y ? x ? 3 和 f ( x) ? x+3cos x 图象的两个切点 ( ,
因此,两条平行直线与曲线相切并至少有两个切点。 对任意 x∈R, g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 3? ? ? x +3cos x ? ? 3 ? 3cos x ? 0 ,? g ? x ? ? f ? x ?

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x h ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? 3? ? ? x +3cos x ? ? ?3 ? 3cos x ? 0 , ? h ? x? ? f? ?

y ? x ? 3 和 y ? x ? 3 是 f ( x) 的“夹线”
? d (1) ? 3 ? ? ?3? 1 ?1
2 2

?3 2

??????9 分

(Ⅲ)证明:设 F ( x) ? ?

1 3 ( x ? x 的图象上任一点为 P x0 , y0 ) , 3 1 ? F ?( x) ? ? x 2 ? 1,? k ? F '( x0 ) ? ? x0 2 ? 1, F ( x0 ) ? ? x03 ? x0 , 3 ? 1 ? ( F ( x) 在点 P x0 , y0 ) 处的切线方程为? y ? ? ? x03 ? x0 ? ? ? ? x0 2 ? 1? ( x ? x0 ) ? 3 ? 2 3 ? 2 ? y ? ? ? x0 ? 1? x ? 3 x0 1 2 ? 即? ?? x3 ? x ? ? ? x0 2 ? 1? x ? x03 1 3 3 ? y ? ? x3 ? x ? 3 ?
2

? ? x ? x0 ? ( x ? 2 x0 ) ? 0

? x ? x0或x ? ?2 x0
2

? k ? F '( x0 ) ? ? x0 ? 1,
2

? k ? ? F ?(?2 x0 ) ? ?(?2 x0 ) 2 ? 1 ? ?4 x0 ? 1 ,

1 ? k ? k ' 时,当且仅当 x0 =0 时取到,此时切线与 F ( x) ? ? x3 ? x 的图象只有一个交点. 3 1 ? F ( x) ? ? x3 ? x 的图象和它在任一点处的切线至多只有一个切点. 3 1 ?函数 F ( x) ? ? x3 ? x 的图象不存在“夹线”????????14 分 3
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