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《2.3 平面向量的基本定理及坐标表示》一课一练1


2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
一、选择题 1、平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) ,B(-1,3) ,若点 C 满足

???? ??? ? ??? ? OC ? ? OA ? ? OB ,其中 α、β∈R,且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程为
A、3x+2y-11=0 C、2x-y=0 B、 (x-1)2+(y-2)2=5 D、x+2y-5=0





2、若向量 a =(x+3,x2-3x-4)与 AB 相等,已知 A(1,2)和 B(3,2) ,则 x 的值 为 A、-1 B、-1 或 4 C、4 D、 或-4 1

?

3、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0)(3,0)(1,-5) , , ,则第四个顶点 的坐标是( ) A、 (1,5)或(5,5) C、 (5,-5)或(-3,-5) B、 (1,5)或(-3,-5) D、 (1,5)或(5,-5)或(-3,-5)

4、 i、是平面直角坐标系内分别与 x 轴、 轴方向相同的两个单位向量, OA ? 4i ? 2 j , 设 j y 且

OB ? 3i ? 4 j ,则△OAB 的面积等于(
A、15 B、10 C、7.5 D、5



5、己知 P1(2,-1) 、P2(0,5) 且点 P 在 P1P2 的延长线上, | P P | ? 2 | PP2 | , 则 P 点坐标为 1 ( ) A、(-2,11) B、(

4 ,3) 3

C、(

2 ,3) 3

D、(2,-7)

6、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是(5,7)(-3,5)(3,4) , , ,则第四个顶点 的坐标不可能是。 ( ) A、 (-1,8) B, (-5,2) C、 (1l,6) D、 (5,2)

7、已知 O 为原点,A,B 点的坐标分别为(a,0)(0,a) , ,其中常数 a>0,点 P 在线段

OP AB 上,且 AP =t AB (0≤t≤1) ,则 OA · 的最大值为
A、a B、2a C、3a D、a2





8、已知 a =(2,3) , b =( ? 4 ,7) ,则 a 在 b 上的投影值为(

?

?

?

?



A、 13

B、

13 5

C、

65 5

D、 65

二、填空题 9、已知点 A(-1,5) ,若向量 AB 与向量 a =(2,3)同向,且 AB =3 a ,则点 B 的坐 标为 10、平面上三个点,分别为 A(2,-5) ,B(3,4) ,C(-1,-3) 为线段 BC 的中 ,D 点,则向量 DA 的坐标为

?

?

??? ?

三、解答题
? 11、已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限, | OA |? 4 3 , ?xOA ? 60 ,求向量 OA 的

??? ?

??? ?

坐标、

12、已知点 A(-1,2) ,B(2,8)及 AC ? AB , DA ? ? BA ,求点 C、D 和 CD 的 坐标。

??? ?

? 1??? 3

??? ?

? 1 ??? 3

??? ?

13、已知平行四边形 ABCD 的一个顶点坐标为 A(-2,1) ,一组对边 AB、CD 的中点 分别为 M(3,0) 、N(-1,-2) ,求平行四边形的各个顶点坐标。

14、已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5)及 OP = OA +t AB , 求: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否构成平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由。

15、已知向量 u =(x,y)与向量 v =(y,2y-x)的对应关系可用 v =f( u )表示。 (1)证明:对于任意向量 a 、 b 及常数 m、n,恒有 f(m a +n b )=mf( a )+nf( b ) 成立; (2)设 a =(1,1) b =(1,0) , ,求向量 f( a )及 f( b )的坐标; (3)求使 f( c )=(3,5)成立的向量 c 。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

参考答案
一、选择题 1、D;2、A;3、D;4、D;5、A;6、D;7、D;8、C 二、填空题 9、B(5,14) 10、 DA = (1, ? 三、解答题
? ? 11、解:设点 A(x,y) ,则x=| OA | cos 60 = 4 3 cos 60 = 2 3 ,

??? ?

11 ) 2
??? ?

? ? y=| OA | sin 60 = 4 3 sin 60 =6,

??? ?

即 A( 2 3 ,6) ,所以 OA =( 2 3 ,6) 、

??? ?

3 ,( ) 12、 设 C 解: (x1, 1) D y , (x2, 2) 由题意可得 AC = y , (x1+1, 1-2) AB ? 6 y ,

????

??? ?



??? ? ??? ? , DA =(-1-x2,2-y2) BA =(-3,-6)

? ? ? 1 ??? ??? 1 ??? 1 AB , DA ? ? BA ,∴(x1+1,y1-2)= (3,6)=(1,2) 3 3 3 1 (-1-x2,2-y2)=- (-3,-6)=(1,2) ,则有 3
∵ AC ?

????

? x1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? x2 ? 1 ? x1 ? 0 ? x2 ? ?2 和? ,解得 ? 和? 、 ? ? y1 ? 2 ? 2 ? 2 ? y2 ? 2 ? y1 ? 4 ? y2 ? 0
∴C、D 的坐标分别为(0,4)和(-2,0) 、因此 CD =(-2,-4) 、 13、解:设其余三个顶点的坐标为 B(x1,y1) ,C(x2,y2) ,D(x3,y3) 、 因为 M 是 AB 的中点,所以 3= 解得 x1=8,y1=-1、 设 MN 的中点 O? (x0,y0) ,则 x0= 又是 BD 的中点, 所以 x0= 即 1=
x A ? x2 y ? y2 ,y0= A , 2 2 3 ? (?1) 0 ? (?2) =1,y0= =-1,而 O? 既是 AC 的中点, 2 2

??? ?

?2 ? x1 1 ? y1 ,0= , 2 2

?2 ? x2 1 ? y2 ,-1= 、 2 2

解得 x2=4,y2=-3、 同理解得 x3=-6,y3=-1、 所以 B(8,-1) ,C(4,-3) ,D(-6,-1) 、 14、解: (1) OP = OA +t AB =(1+3t,2+3t) 、 若 P 在 x 轴上,只需 2+3t=0,所以 t=-
2 、 3

1 若 P 在 y 轴上,只需 1+3t=0,所以 t=- 、 3
?1 ? 3t ? 0, 若 P 在第二象限,只需 ? ?2 ? 3t ? 0,

∴-

2 1 <t<- 、 3 3

(2)因为 OA =(1,2) PB =(3-3t,3-3t) , ,若 OABP 为平行四边形,则 OA = PB 、
?3 ? 3t ? 1 由于 ? ,无解,故四边形 OABP 不能构成平行四边形、 ?3 ? 3t ? 2

15、 (1)证明:设向量 a =(x1,y1) b =(x2,y2) , , 则 f(mx1+nx2,my1+ny2)=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2) 、 又 mf( a )=(my1,2my1-mx1) ,nf( b )=(ny2,2ny2-nx2) , 所以 mf( a )+nf( b )=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2) 、 所以 f(m a +n b )=mf( a )+nf( b ) 、 (2)f( a )=(1,1) ,f( b )=(0,-1) 、

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? x ? 1, ? y ? 3, (3)由 ? 得? 所以 c =(1,3) 、 ?2 y ? x ? 5, ? y ? 3.


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