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高三第一轮复习函数的单调性


第 9 课时
一、目标检测:

函数的单调性
区间

问题 1:根据右图说出函数的单调区间,以及在每一单调 上,函数是增函数还是减函数.

问题 2:整个上午(8:00~12:00)天气越来越暖,中午时分(12:00~13:00)一场暴雨使天气骤然凉爽 了许多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山(18

:00)才又开始转凉.画出这一天 8:00~20:00 期间气温作为 时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间.

变式: (汕尾市2016届高三上期末) 定义在 R 上的函数 f (x)对任意

都有

, 且函数y =

f (x)的图像关于原点对称,若 f (2) = 2,则不等式 f (x) - x > 0的解集是( ) A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C. (-∞,-2)∪(0,2) D. (-2,0)∪(2,+∞)

问题 3:已知函数 f ( x) ? x ? kx ?1 在 [1, 4] 上是单调函数,求实数 k 的取值范围.
2

三、题型研讨 问题 1(求单调区间) 例题 1: (1)下列函数中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0, ??) ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”的是( A. f ( x ) ? )

1 x ?1
2

B. f ( x) ? ( x ? 1)
2

2

C. f ( x) ? e

x

D. f ( x) ? ? ln( x ? 1) .

( 2 )函数 f ( x) ? log 1 ( x ? 5 x ? 6) 的单调递减区间为

问题 2(单调性的判定) 例题 2:试讨论函数 f(x)=

ax ,x∈(-1,1)的单调性(其中 a≠0). x -1
2

问题 3(参数与单调性)

例 3: (1)函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间 [1, ??) 上为增函数,则实数 a 的取值范围为

.

?a x , x ?1 ? (2)若函数 f ( x) ? ? 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围. a ?(4 ? ) x ? 2, x ? 1 ? 2
问题 4(单调性的综合应用) 例题 4:设 f ( x) 为奇函数,且在 (??, 0) 内是减函数, f (?2) ? 0 , m ? 0 .求 xf ( x) ? mf 综合练习 1.对于函数 f(x),若存在区间 A=[m,n],使得{y|y=f(x),x∈A}=A,则称函数 f(x)为“同域函数”, 区间 A 为函数 f(x)的一个“同域区间”.给出下列四个函数: π 2 x ①f(x)=cos x;②f(x)=x -1;③f(x)=|2 -1|;④f(x)=log2(x-1). 2 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是________(请写出所有正确结论的序号). 2.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ? ?) 单调递增的函数是(
x A. y ? ( )

? x? 的解集.


? | x|

1 2

B. y ? | x | ?1

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? 2 )

3.设函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的减函数,则( A. f (a) ? f (2a) C. f (a ? 2) ? f (2a)
2

B. f (a ) ? f (a)
2

D. f (a ? 1) ? f (a)
2

4.已知 f ( x) 为 R 上的减函数,则满足 f ( ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是

1 x

.

5.若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 的 x 的取值 范围是 .
2

6.函数 f ( x) ? ln(2 x ? x ) 的单调递增区间为

. .

2 7.函数 f ( x) ? x ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 ( ??, 4) 上是减函数,则 f (?1) 的取值范围是

8.若偶函数 f ( x) 在 [0, 2] 上单调递减,则( A. f (?1) ? f (log 0.5 ) ? f (lg 0.5)



1 4

B. f (lg 0.5) ? f (log 0.5 ) ? f ( ?1)

1 4

C. f (log 0.5 ) ? f ( ?1) ? f (lg 0.5)

1 4

D. f (lg 0.5) ? f (?1) ? f (log 0.5 )

1 4

9.已知 f ( x) ? ?

?(3a ?1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数, log x , x ? 1 ? a
.

则实数 a 的取值范围为

10.已知偶函数 f ( x) 在区间 [0, ??) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) ? f ( ) 的 x 的取值范围为 11.已知函数 f(x)=- 2

1 3

.

x+1

,x∈[0,2],用定义证明函数的单调性,并求函数的最大值和最小值.

12.已知函数 f(x)=log1(x -ax+3a)在[1,+∞)上单调递减,求实数 a 的取值范围,
3

2

x2+2x+a 13.已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a= 时,求 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.


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