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美国高中数学核心概念图




3 3

卷第
3

1

1

期 i 累
?



?

表 材 来 砝 V
? I

o

l

.
<

br />3 3

,

N
,

o

.

1 1


2 0

1



1

1

月 C U R R C U
I

L

U M

,

T E A C H

N G

M A T E R

I

A

L

A N D M E T H O D

N

o v e m b

e r

2 0 1 3


美 国 高 中 数学核心 概念 图
章 建跃
( 1
.


*


,

宋莉莉
北京
1


1
;


2
.






,


上海


2

人 民 教育 出 版 社

0 0 0 8

上 海 市 封浜 高 中

2

0

1

8

1

2


)

摘 要 数 学 核 心 概念 的 确 立
:



组织 和 呈 现 方 式 反 映 了



个 国 家数 学 课程



教材


的 主要 特 点



从 美 国 数 学 课程 标
S

准中析出 高



核 心 概 念集

,

结 合 课 程 标 准 的 解 释性

,

文件 程


,

以 U C
S

M

P

系 列

教科 书



容结 构为 线 索绘制 核 心 概念 图


探讨



美 国 数 学课



U C

M


P

教 材 在 构 建 核 心 概 念体



上 的 主要特点

,

并 对我

国 高 中

数 学课 程




材 建 设提

建议
:

关 键词

核心
:

概念
6 3 3

;

概念 图
6

;

高 中数 学
:

;

美国


中 图 分 类号 G


.

文 献标志 码 A

文章 编号
,

:

1

0 0 0

-

0

1

8 6

(

2

0

-

1

3

)

1

1

0

-

1

1

5

0 7




,

数 学 核 心 概 念 在 数 学 课 程 中 的 重 要 性 程 的 核 心


希 望 以 此 贯 穿 高 中 阶段 所 有 内 容 的 学 习



已引

起 国 际 数学 教 育 界 的 关 注
:

围 绕 核 心 概 念 的 研 和 教 学




本文在研究
,

原则 和标准






9



1

2

年级


究有三个基本问题
地位
;

(

1

)

怎 样 的 概 念具有
;

核 心 的 内 容 标 准

"

参考
C SM P
P
r



髙 中焦点
(

以 及美国芝加哥 大

o
f

(

2

)

哪些 是 核 心 概 念


(3

)

核 心 概 念 是 如 何 学 编 写 的 U
a
t

U

n

i

v

e r s

i

t

y

C
(

h

i

c a

g o

S

c

h o o


l

组织和 呈现的 究成果
,

对于 问 题

(

1

)

,

国 际 上 已 有 许 多 研 M


h e m

a

t

i

c s

o

j

e c

t

)

系 列教科 书

此套 教 科书 体

)

人 民教 育 出 版社中 学数学室 牵 头 的


中 学 现 了
,



原 则 和 标 准 》 的 各 项 标 准 和 教 育理 念 试图 析出


的基


数 学 核 心 概念 论与 实 践


思 想 方 法结 构 体 系 及 教 学设 计 的 理 础 上


+ 美国 高中 数学的




核 心 概念
,

课 题 对 此 也 进行 了 较 深 人 的 探 讨
,

本 文 图


,

并 探 讨 其处 理 核 心 概 念 的 方 式 和 特 点


以期


将 以美 国 高 中数学 课程 为 例

(3 )


讨论 问 题
C T M ( N


(

2

)

和 问 为 我 国 高 中 数 学 的 课 程 设 置



教 材 建设 提 供 有 益 的


参考
)

美 国 国 家数 学教 师 理事 会

2 0 0 0


_

人 &


发布 的






学校数学教育 的删 和标 准




(

下 文 简 称





L


"

原则和标 准


)

明确


提出 了





数与 运 算




代 核 心 概 念 集 是 由 核 心 概 念 及 其 生 长 出 的 子 概 念
[ 。 3
]



几何



度量
w
,

数 据分 析 与 概 率



五 个 组 成 的 知 识体 系
,


为 了 获 得 各 领域 的核 心 概 念 及


领域 的 内容标 准
核心

M

:

旨 在 设 立 面 向 所 有 学 生 的 课 程 其 子概 念

我 们 先对

原 则 和标 准




,

9



1

2

年级




2 0 0 9



,

N C T M


又出版 了
(



高 中 数 学 的 焦 五 个 领 域 的 内 容 标 准 分 别 绘 制 了 概 念 图
i

以 明确 概


推理和 数学意 识
t

F

o

c

u s

n

H
a

i

g h
n g

S

c

h o o

l

念 之 间 的 层次 和 联 系
(c




a

h

e

m

a

t

i

c s

R
:

e a s

o n

i

n g

a n

d

S

e n s e

M

k

i

,

简 称 概 念 图

o n

c e

p

t

m a p
(J

)


s e

2 0

世纪
.

6

0

年代美 国

)

高中 焦点



[

2 ]

)

,

探讨了



原则 和标准



中髙 中

阶 康 奈 尔 大 学 的 诺 瓦 克
(

o

p h

D

N
l

o v a

k

教授 等


段内 容的焦 点

,

将 推 理 和 数 学 意 识 作 为 高 中 数 学 课 根 据 奥 苏 贝 尔


D

a v

i

d

P

.

A

u s u b e

)

的 有 意义学 习


*

本 文 系 国 家社 会 科 学 基 金
0 0 0 0 9
)









规划

2 0

1

0

年度 教


学重 点 课 题



主 要 国 家 商 中 数学 教材 比 较研 究

(


(

课题 批准 号




:

A D A

1

子课题
:



主 要 国 家 商 中 数 学 教 材 核 心 概念
0 4
-

技 能 及 敢 要 思 想 方 法 的 比 较研 究

主持 人

:

章 建跃

)

的 阶段 性 成 果

收稿





2 0

1

3

-

2 5


作者简介

:

彷述 跃
,

(1

9 5 8

)

,

人 民 教竹 出 版 社 资深 编糾
;

;

宋莉莉

( 1

9 7 6

)

,



,

人民 教宵出 版社 高级编辑
;

,


主 要 研究 方向 为 中 学数
,

学 课程 及 教 材 编 写

数 学 课觉 教 学

王嵘

( 1

9 7 8 )

,



,

人 民 教 育 出 版 社 商级 编 糾

周丹

(1

9 8 6

)

,



,

硕士

上 海市 封 浜 高 中 教 师
?




1 1

5


?

理 论提 出 的



种 教学策 略

,

其 基 本 思 路 是 用 节 点 代


续表




我 们 按 照 下 面 用 函 数 建 模 用 迭 代 和 递 归 符 号 表
的 步 骤 绘 制 概 念 图 征 关 系 解释模 型 化 的 问 题情 境 代数 识点 列 1 选 取 各领 域 中 的 基本 知 各 种情 境 中 用 图 象 和 数 字 形 式 的 数 字 逼 近 和 理
二f i 识 作 为 绘 制 概 念 图 的 节 点 的 变 化关 系 解 变 化率 表 概念
,
,

用 连 线 表 示概 念 间 的 联 系


,




/


2
.

f






确定知 识 等级
'



根 据 知 识 的 概 括 性 和包 容








1

性 确 定 知 识 的 等级

按 照 从 上 位 到 下 位 逐 渐 細 二


维和 三维

原 则 对 知 识进 行 分 层 几 何 图 形 3 建立 层 级 连 接 用 线 条 将 相 关 概 念 连 接 起
.

翦S
体之 间 的 关 系
长度和角

,
,


S

用三 角 关系式 确定











也 于 二 和 关 维 提 出 假设 用 演 绎 支 持假 设 的 可 靠
可 以 是 建 立 在 不 同 模 块 间 的 交叉 连接 连线 类 型 三 维 空 间 中 性 解 决 有 关 问 题 判 断 他 人 的
几 关 系 的 据 论 何 示 概 念 般 为 单 向 表 同 模 块 念 间 的 从 属 关 系 或概 数学 推 理 间 的 相 关关 系 必 要 时 在 连 线 上 用 连 接 词 标 明 概 念


,

这种 连 接 可 以 是 建 立 在 同

模块 内 的 连 接


,



,

,






,

'






之 间 的 关 系 坐 标 系


笛 卡 儿 坐标 系
,

,

其他坐 标 系
,




在 概 念图 中


,

我们 规 定 领 域 名 称


代数


)







概念
1

,

属 于第
o

0

直 接 连 接 的 概 念 为第
?

M

自 于第

1

旋转 变 换 反 射变 换 伸缩 变 换 简 单 变 换 及 其 复 合 用
层 与 根概 念 变& 记 以及 函
层 的 概 念 在 概 数 号
(

如图

1

中 的 平 移 变 换
,


,

,

,

括 性 和 包 容性 上 是 最 高 的
核心概念
;

,

我 们 将其 作 为 该 领 域 的
,








与 核 心 概念 直 接 连 接 的 概 念


则 看 成 由 表




,

核 心 概 念生 长 出 的 子概 念
U
2



1

是 完 成上 述 步骤
,

X S



m



而 析 出 的 五 个领域 的 核 心 概 念 及 其 子 概 念 集
'

我 们 将 其 作 为 美 国 髙 中 数学 核 心 概念 集

它呈现 了

理 解度量

选择 单 位 和 比 例 尺 度








美国高 □

*
,

心 概 念的 _
1

发 贿络
^



美 国 离 中 数 学核 似 概 念 集 实 施度 1
?
r

^

a

s

^


运 用 面 积公 式
:



表 面 积 公式 和 体 积








`


应用


` `

逐 次逼 近
,




上下



领域
I

核 心概 念 数 很大 的 数
,

极限

"

等概念

单 位分 析
,






数 的 表征 提 出 用 数 理 解各 种 研 究 之 间 的 差 别 明 确 研 据 表 达 的 究 的 推论 了 解 经 过 良 好设 计 的 研
有 理数 无 理 数 复 数 向 量 注 问 题 究 的 特点 揪 笨 承 奴 矩 阵 注 作 为 系统 作 为 系统 收集 组 度 量数 据 分类 数 据 单 变 量数 据 乘 除 幂 求 方 根 运 算 对 数 值 的 织 展示 多 变 量 数 据 变 量 直 方 图 平 行 数与
运箅 运 黧 的 章 义 影 响 矩 阵 的 加 法 和 乘 法 的 性 质 与 数 据 图 基 本统 计 量 图 散 点 框 运畀 葸乂 表征 向量 的加 法 和乘 法 的 性 质 与 表 征 排 列 组 合 的 意 义 单 变 量 数据 双 变量 数 据 至 少 个 变 量是分类 变量 的 双 变量 数 据 i 实 数的 运 算 矩 阵 的 运 算 向 量 的 运 算 与 估算 概 模 拟 样本 统 计 量 的 变 异 性 用 样 本
运 算 数 字计算 和 答 案 的 合 理性 ^ 率 统 计 量 反 映 总 体参 数 以 样 本 分 布
正 推 预 理 和 函 数 函 数 各 种 表 征 形 式 测 作 为非 式 推 断 的 础 评 价
基 研究 的 关系 m m w 函 数 的 变 换 函 数 的 性 质 报告 理解 基 本 统 计 在 质量 监 督 中
的应用 用 符 号 代数 表 征 和 解 释 数 学 关 系 代 数表 达 式 方 程 不 等 式 及 关 系 样 本 空 间 概 率 分 布 棋拟 经 验 概
代数符 号 的 等价 形 式 和 意 义 评 价 和 识 别 符 率的 分 布 随 机变 量 的 期 望值 条

号 运算 的 结 果 意 义 作 用 及 合 理 件概 率 独 立 亊 件 的 概 率 复 合 亊 性 解 方 程 不 等 式 和 方 程 组 件 的 概率
,

很小 的 数
,

,





'

,

(

:




)

,

(

:

)



























,



,



,







,




,





,

,



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V

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,

'

,




,

,

:



'

-

,

,



,

,



,






,








,

,

,

,

,

;





,

,

,








?

1

1 6


?

-





塞 国* 中教



^





概令


,

图 象求 解 部 分 方 程







程组 和不 等式结 等成 为 可

[






酣 酬 象雜 还 職用 于 讓舰 和 变 化 率
,

核心 概 念 的 强 大 生 长 力 和 深 刻 的 思 想性
了 它 必然 具 有 内 容 的 丰 富 性


决 定 等 械 念
3 ]

为 分析 变 化关 系 提供 了 手段

,

而各种情境

,

联 系 的 广 泛性
[



表 现 中 的 变 化 关 系 中 主 要 涉 及 两种 变 化 关 系
为了
(


直接变化
"
:

方 式 的 多 样 性 和 育 人 功 能 的 全 面 性 等特 点 进 准




d

i

r e c

t

v a

r

i

a

t

i

o n

,

称为
(
i

y

直接随 着 J
v a
r
i

的变

y

=

?

步 了 解 美 国 高 中 数 学 核 心 概 念 的 发 展 脉 络 和 联 化 而 变 化
中 的 关键 兀素 为 依 据
,

)

和 反 向 变化

n v e r s e

a

t

i

o n

,

,



,

并以U

C S M P

系 列 教科




随着 — 变化 而反 向 变化
,

)

_
,

)

它们 都


重 点 探 究 了 三 个 领 域 中 概念 的 是 函 数关 系 其 中 的 反 向 变 化关 系 是 构 肆 逆变 化 模 的 基础 在 函 数 的各 种 表 征 形 式 中 还 特 别
纵 向 发 展 主 线 和 横 向 联 系 点 希望从 中 析 出 核 心 概 型
书 内 容 结 构为 线 索
[

4 ]

<

1

1

4

>

,



念 的 关系 网 络


"

,

并 绘 出 三 个 领 域 的 核 心 概念 图

,



二 次 函 数 的 各种 表征 由 关 注 了

,

其 中 涉 及 的 二次 函 数


数与 运 算





度量




领域 的 内 容 不 是 美 国 高 知 识 被 应用 于 构 建 二 次 模 型


,

体 现 了 函 数 与 数 学模

复合和求

为/ 士 君



中 数学 的 重 点 内 容
"

我们重点 对

代数
4

,

,

"


几何



型的 联系
3
.




数 据 统 计与 概 率


三 个领域 进 行 了 分 析
c e

,

与此
e

函 数 的 变 换 主 要 包 括 算 术 合成



相关 的 教 科 书 是
t

A

d va n
s

d
t

A
i

l

g

e

b

r a

[

]
,





G

o m e
e

-



,

函 数 符 号 的 使 用 使 得这 些 变 换 的 形 式 表示 成 为



r

y y



[

5]






F

u n c

t

i

o n

,

S

t

a

s

t

i

c s

,

a n d

T

r

i

n o m g o

-

可 能

例如
,

,

函 数 的 四 则 运算 可 以



7

K


,

和 士 从 而体 现 了 函 数 与 代 数 符 号 的 联 系
代 数领 域 核 心 概 念 图 g 4 函 数 _ 质包 括 多项 式 函 数 有 理 函 数 图 1 是 美 国 高 中 代数 领 域 的 核 械 念 图 m 对数 函 数 周 期 函 数 次函 数 和指 数 函 数的
可见 整 个 代 数 领域 的 概 念 构 成 了 张 纵 横 交 错 的 质 其 中 次 函 数 周 期 函 数 和指 数 函 数 的 知 识 分
网 这 张 网 中 有 四 个明 显 的 节 点 代 数 符号 “ ” 别 为 构 建 线 性模 型 和 指 数模 型 提供 了 基 础 体 现 了
函数 数学 模 型 和 各 种 情 境 中 的 变 化 关 ” @ 数 与数学 模 3 _ 系 其 中 函 数 处 于整 細 膽 心 位 置 由 函 系 此 外 類 髙 中 阶 段 代 数 领域概 念 的 发 展 中 还
数 生 成 了 四 个 子 概念 这 些子 概 念 通 过 各 种 通 道 与 出 主 达 式 是 代数 表 作 为 关系 的
舰 赚 线 其他 核 心 概念 及 其 子 概 念 以 及 難 领 域 产 生 联
t


r



w

(

)

-










-

-



,







,

,

,



,













,





!




,



,

,

-



-

:

,





具体 表 现 如 下
1
.



函 数
,



作为 对象 的 函 数


,



这 条主 线蕴 含 于 用符号
关 系 和 函数


关 系 和 函 数这 个子 概 念 说 明 美 国 高 中 数 学


代 数 表 征 和 解 释 数 学关 系
换等 概 念 中
;



函 数 的变

,

将 函 数定 位 为

种 特殊 的 关 系

而 由其 中的
,



二次
W
(

二 是 运算 贯 穿 整 个 代 数 领 域
,

算术的

以及 方


关系



出 发 讨论二 次 曲 线 和 二 次 曲 线 的 分 类


7

9 S

)

运 算 法 则 和 运 箅 性 质 也 是 进 行 符 号 运 算

,


体现 了 代 数 与 几 何 的 联 系 程 不 等 式 和 函 数运 算 的 依 据 主 要 体 现 于 用 符 号
2 代 数不 等 式 方 程 不 函 数 的各 种 表 征 形 式 显 示 函 数 主 要 包 括 三 种 代数 表 征 和 解 释数 学 关 系
,





,

表征形 式



符号
(



表 格和 图 象
l i

,

美 国 — 关注 的 用 等 式 及 关 系 的 等 价形 式 和 意 义

;

,

评价 和 识 别 符 号 运

,

显 示形 式定 义

e x

p

c

i

t

l

y

d e f n ed
i

,

y

=

o r

2

o + + f
:

c

)

算 的 结果
和 方 程组
-



意义



作 用 及合 理 性

解方 程




不等 式


或 递 归 方式 定 义
2 6
= |

(r

e c u r s

i

v e ly
0

d e

f

i

ne d

,



6

(

n

,

m

)

,

以 及 函 数 的 变换
,

概念 中 %

在 代 数符 号
意义
3
1

3 5 5

,

n m
-

=

;

这 个 核 心 概 念 的 子概 念 中
)

U

?

-

1

,

)

m

,

?



的 函 数归纳模 式属 9

则 体现 了 代 数 与 几何 的




0

.

个 联系 点

:

评 价 麵赚 号 运 算 的 结 果


函 数 的符号表征



而 函 数 的 符 号 表征 与 代 数 表 达 式 作用 及 合 理 性包 含 了
,

几 何情 境 代数化

,

代 数情 境


[ 2 ]
(

和 方 程 具 有 等 价 形式

这 表 明 了 函 数 与 代 数 符 号 的 几何 化


,

利 用代 数 和 几 何 的 联 系 解 决 问 题






+

联系



这 种 等 价形 式 也 使 得 解 方程 成 为


已 知 函 数 推 理
1



例 如
1

,

利 用 面 积 模 型 解 方 程 P
6

)

值求 相 应 的

变量 的 值



的 过程

,

并 且 为借 助 函 数

0 工

= =

4 4

_


?

1 1

7


?

-

y

等价 形



-

Z
,


:

双曲
: ;

“ “

"






、 、 、



,
'

/


/


% %
\

n
\

t
\

\
:

泣 ^ r
:

:

:

t






_

使用 函 数符号
'

:

r



士 4 T ^ ? p ? C Z V
'







\



-

-




:

一 _

对”
i








j
-

-


'


'

>

^
>

\

'
' ' , ' '

-



代数 表 达 武


方孩 等价 务 及关 系 形 * 和 意 义 一 和 解释 數 学 关 系 v
'
?

^ 不 等式 ^ v 的
%
f
I

V





表示








\

:

\

、 、
、 、


^

-


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-

-

-

\ 級

'

\

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>

-

?



函数 的 i 种表 关 系 和 征形 式 ^ 函数 U


T
r



,

-

4

L

.

-





V
I
|

评价 和 识 别
-

\
^
-

S

T



^

/



'

^

/
/

^

`

r

,

'

r



~

T

t 遒 归形 武 宁 或 \










)

i

i

H

代数 符

a
%

-

:

\

/
\
/


1

>

*

w



_
^

数 t 二 次 丄 数的
_


\
\


/
\

Z

I

Z

L









函数 : 性质
]


:
i

w











\

^ 不等 式 和 ^
-

解 方程
X V

? ?

、 .

方 祖组
.

,

!

几何 情 境


J J f 、
1

M

項 式 函 数的 代 数 性质



/

I

I

有理 函数
的性

I

I



对数 函数 的性 盾

I

I

屑期 函数 的性

?

i



I

i

l u d



' .


:

函数 的性

函数 、 的性 、


:









、 、 \ 、


'

!

:

k S何 化


^
1 ;

-


|
|

>^
解所 有 问題

!







笔 算解 简单趙

/

/
'

/



J ^




.



\
.

各 种 情境


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、 、
\


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化 艾I
I


\



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W
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~

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*

~

… — ^


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.

.

.

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-

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-

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-

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-

-

-

-

-

-

-

-

-

:

.

v

-

1

\

)












I

:

、 、




和 觯 变化 率


^





a





,



1 % % %



1

\ 关
、 、

、 、

、 、



:







-



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= 題情 騐 堍
" I



;

2 ^
. .

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:

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.

^

y

=

k / x


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2

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l



_

::

: :

:

:


-







(

1

美 国 离 中 代 数领域 核心 概 念 图




2

)

几 何 领 域 核 心 概 念 图 以 及不 同 几 何 体 之 间 的 关系

用 演 绎支 持 假 设 的 可

圆 的方 程



是 美 国 髙 中 几 何 领域 的 核 心 概念 图




可 以 靠 性 还包 含 用
,

坐 标 检 验对 二 维 和 三 维 空 间 中 物 体 的

、 、

发现

,

美 国 髙 中 阶 段 的 几 何 内 容 具有 以


二 维 和 三 假 设


如 推 出 两 点 间 距 离公 式
[ 5 ]

线段 中


维几 何 图 形
坐标 方 法


为 对象

,

通 过 直观描 绘



数学 推理

点 公式






在 核 心概念 的 组 织 上



变 换 等 多 种 手 段研 究 几 何 对 象 的 特 点 提 出 假设 包 含 归 纳 推 理 过 程 用 演 绎 支 持 假 设 m 主 《 G e o e 两 显 理 性包 程 的可靠 含 演绎 推 过
则 呈 现 出 条明 的 线 和 y 中还 强

,
1

,

,

t r



三 个联 系 点 调 公 理 化体 系 内 的 演 绎
1
.

,

例 如 引 入 欧 氏 几何 中 的 公

[ s ]

几 何领 域核 心 概念 的 发 展主 线 设
1
:

,

指出
y
m




好 的定义



的条件


" "
,

以及



数学 推


主线


提出 假设


,

用 演 绎 支 持 假 设 的 可 理 的 基 础 是 使 用 定 义

[
(

公 设 和 定理 证 明 结


靠 性 论

因 此本 条 主 线 中 隐 含 了 由 归 纳 推 理 到 演




提 出 假设 的 过程是

通过 分析平 面 或 空 间 中 的 绎推 理 再 到 构 建 公 理 化体 系 的 过 程

,

构 造 和 对 几 何 关 系 进 行 归 纳 性 推理

[

2 ]

(

5 5

>

提 出 的 假 主 线
,

2

:

用变 换理解 和 证 明 图形 的 性质 和


设 包 括 二 维 和 三 维 空 间 中 物 体 的 性质 和 特 点


以 及 关 系




不 同 几 何 物 体 之 间 的 关系 变 换 包 括 平 移 变 换



旋 转 变换
,



反 射变 换







用 演 绎 支 持 假 设 的 可 靠 性指 的 是



构 建 和 评 价 缩 变 换 和 简 单 变 换 及其 复 合
(

其中 平 移
)

反射








关 于 图 形 及其 性 质 的 推 理 式 命 题

`

(

正 式 的 和 非 正 式 转 和 滑 动 反 射

平移 和 反 射 的复 合
,

是等距 变换

)

,

帮 助 理 解 几 何 情境



[ 2 ]

(

5 5

>

,

用 演 绎 推 理 支 持 的 在 美 国 髙 中 几 何 课 程 中

变 换 被 作为 理 解 和 证 明 图



结论 同 样 包 括 二 维 和 三 维 空 间 中 物 体 的 性质 和 特 点 形 性 质 和 关 系 的 有 效 手 段
?

具 体表 现为 以 下 三个


1

1

8


?

方 面 教 材 不 仅 注 重 数 学 内 部 概 念 之 间 的 联 系 性


,

而 且注


(

1 )

等距 变 换 可 以 用 来 定 义 全 等 图 形
,

,

证 明 两 重 几 何 与 其 他 学科



现 实世 界 的联 系

,

具 体联 系 点


个 图 形 全等

还可 以 用 来 证 明 图 形 的 性 质

,

例 如 可 有 如 下 三 个





以 用 反 射 变 换 证 明 线 段 的 垂 直 平分线 的 性 质
(

(1

)

用 坐标 检 验 对 二 维 和 三维 空 间 中 物 体 的 假




2

)

等距 变换 可 以 用 来定 义 对 称 图 形
(

,

证明



设 体现 了代 数 与 几何 的 联 系
(2

个 图 形 是对称 图 形
平行 四 边形
(

例 如 等腰 三 角 形




等 腰 梯形


)

使 用 几 何 模 型 解 决 其他数 学 领域




学科和


)

,

从 而 推 出 图 形 的 性 质 现 实 世 界 的 问 题 体 现 了 几 何 与 数学 领域



学科 和 现


3

)

伸 缩 变换 和 反 射 变 换 的 组 合 可 以 用 来 定 义 实 世 界 的 联 系


和证 明 相 似 图 形
2
.

(

3

)

用 草图



坐标



向量



函 数记 号 以 及矩 阵

,

几 何 领 域 核 心 概念 与 其 他 领 域 的 联 系 点 理 解 和 表 示 平 面 上 物 体 的 变 换
2


体现 了 变 换与坐

从图

可见

,

美 国 高 中 几何课 程 以及
!

U C

S

M P





向量
i
t



函 数 和矩 阵 的联 系




* #

:







-

-

"

.

W






T
… . 一

"

1

一 线
I







几何体

:

检 驗 对二 维 和

I



l 中 雉空f


r

i t i T
>

r

r

S
J
;

"



_ 働
" ”

r

^

r

A

、 、

、 、

、 、 、 、


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`

i

I









品 W
:
:


;



《 ?



^

n
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.

.

和 性*
;

-

. .

-

y



/
/


'

维空 q 中 物 体的 a 质 和特 点


\ ^
S +
L
,

"

坐标

[

* * *



:

长 度和 *
~

:

^ ^
r

,



]




:

* *

j

>
" ,
i


v

/



;

i

v v

^

"

i


^

/

i
/
i

/
?



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恶L
,

-


^
几竹


t 芝 *
:

,
*

全等 样 相似
l —

x
w

f

\

和该 明






r

j

二7
\

-

'


-

用草田



i

t









A

\

1
\

\

%

/

,

\
关 于 二 维和
三 维空 间 中

1 1

?

W
\


1

/
1



V
;

\



\

J

提出
假设


^

>
归 納 推理
^

>

~





\


^

/



e

f

t

[ _

几何 关 系 的

— ^




描給 几 何 物体 i ^ 和 几 付模 S ^ 2
I

\
1 |


糾 攻 解和 表*



1

l f

t f
^
4

l


^


U

!


r



解决 有 付 思 想
1 4

1

使用 几
^


^

1

演 峄推 理
/

Z

m

关 问







使用 几 柯财
1

三蛾
| I

~


H
.

体A

空岡物 枧


|


I








.

.

T


,







解 决 其他 數 学 领域 学 科 和 现 实世 界 的 问 題






:



:

公理 化体 系

-





-

-



;

用 定 义 公 设和 定理 证 明 结论
、 ”





'


i


:

r

好的定 义








2





美 国 寓 中 几 何 领域 核 心 概念 图


(


3

)

数 据 分 析 与 概 率 领 域 核 心 概 念 图 问 题是 用 对

个 或 多个 变 量 的 观 察或 测 量 的 数 据 表





是 美 国 高 中 数据 分 析 与 概 率 领 域 的 核 心 概
收集


达问 题

,

数 据 的 变 异性 表 现 在 对 同
;

个变 量 的 不 同


展 示 数 据要 用
;

念图 程
,



图 中 显 示 了 数 据 分 析是 由 四 个 要 素 组 成 的 过


观 测 可 能 取不 同 的 值

收集



组织



即 提 出 用 数据 表 达 的 问 题




组织




展示

对 表 述 问 题 有 意 义 的 方式 收 集 和 总 结数 据 计模 式 的 误 差
方 式 推 断结 论

分 析数

,

数据

分析 数 据
(



推理



预测



高 中焦 点
(

认为
t
i

,

据 指 的 是 总 结 和 描述 变 异 性 中 的 模 式 和 关 系
;

并估


贯穿 这 个 过程 的 主线 是 对数 据 变 异
d a
t

v a

r

i

a

o n

i

n

推理




预 测 要 以 承认 随 机 变 异 性 的

a

[

?

M

>

)

的推理和 数 学意 识



提 出 用 数 据表达 的




?

1

1 9


?

此外

,

数 据 分 析 与 概 率 领 域 的 核 心 概 念 图 中 还 长 期 行 为



;

[ 2 ]

<

w

在推理



预测中


,

样 本分 布 提供

,

反 映 了 两个 联 系 点



是概 率 的 概 念 为 数 据 分析 提 了
:



种 描 述 样 本统计 量 的 预 期 变 异 性

以 及决定
,




供 了 理 论依 据 数据 中 分析 从 途径

;

,

具体 体现 为

在 收集



组织
,



展 示 个 观 察 数 据是 否 从 机 会 变 异 性 的 角 度 是 合 理 的


[





,

通 过 在 数据 收 集 中 植 入 随 机 性


概 率 为 者 更 可 能 受 到 其他 因 素 的 影 响 的 结构


2 ]

(

8 6

)

二 是用


,



个 样本 到 另
?

个 样 本 的 变 异 性提 供 了



种 函 数模 型

(

直线



指 数模 型




二 次模 型



多项 式

_
(

在 分 析数 据 中

,

个样 本 统 计 量 的 样 直接变化 和反 向 变化 模 型


模 拟 双 变 量情 形 中 的 趋




本分 布

例 如 样本 的 均 值
)



众数

样 本 中 事 件发 生 势

,

表 明 函 数 在 数据 处 理 中 的 应 用

的 频 数或频 率

总 结 了 统 计 量 在 反 复 随机 抽 样 中 的


随 机 选 择在 问 卷 调 查 和 实 驗




用 「
:

;

个变 量 的 现 察或 测 量 的 数据表 达 问 *





J 了 解 经过 良 好 设
^
.
~

`

明 桷研
|


!

9
1

i

K

|

S



V
j

f

t J



i


-





计 的研 究 的 特 点

V
理 解各种 研 究 之 间的差别 n


究 的推 论

支方



图 平行 框 图 7 奴点 图


I

#





1

基本 跣 计量

r—


~

), 前槌
教 表 收集 组 “ 提出 用 、 数据 示 展 达的 问 趙



t



/




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接 变化

)

(



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"

,

-



1


~

至少

~

个 变 量是 分 类 变 量 的 双 变 量 数#


□=


注 拟
.


“叫

_ -

w

-

-

-

-

-

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-

-

.










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I

i




I

嫌姒肚 太 》

i+

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l
I



I

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"

"

推理



!


1







. I


I

计在 量 监 督 中W 用

I



总结 和 描 述 变 异 性 中 的模式 和 关 系 并估 计 模 式 的 谈 差
'


I

:



,

-




用 样本 銑 计 量

反 狭 总体 参数

1

V 究 评价 报告
~
' ~

以 样本分 布 作


I

^

为 非 正式 推断

的 基础


\
:

变 异性 的 方 A 推断 t 论


i

;


;

m
=

3

美 国 商 中 数 据 分 析 与 概 車领 域 核心 概念 图

“ ”
, ,












领 域 的 知 识 体 系 时 选 取 函 数 为 核 心 将 整 个 领域 的 知 识 组 织成 以 函 数 为 核 心 的 辐 射 状 的 网

“ ”

概念 图 中 既 呈 现 了 每 个 核 心 概 念 的 纵 向 发 展 主
线
,

络体 系

,

并以



函数
,



的 某 些子 概 念 与 其 他 领 域 知



又 显 示 了 概念 间 的 横 向 联 系




可 以说

,

每个概
,

识的 联 系 为载 体

发 展 不 同 领 域 间 的联 系
,

同时


,

念 图 都是
联系

个 主线 明 确



联 系 通 道顺 畅 的 网 状 体 系
U C
S

以 运 算 贯 穿 整个 代 数 领 域

用 由 算术 的 运 算 法 则 和



不 同 领域 的 概 念 图 通 过




些联 系 点 表 明 相 互 之 间 的
M
P

运箅 性 质 发 展 而 来 的 代 数 性 质 统 辖 符 号 运 算 和 不 等式 以 及 函 数 的 运 算



方程

由 此 可见

,

美 国 高 中 数学 课 程 和



这 样 的 知 识体 系
,

,

充分


材 在三个领域 的 核 心 概 念 处理 上 都 有 鲜 明 特 色

,



发 挥 了 核 心 概 念 的 强 大组 织 功 能

借助核 心 概念 的

,

得我 国 在 髙 中 数学 课 程 设 计




教材 的研究 和 编 写 中
以 运算为 纽带

自 我生长能力 和 有 力 的联 系 纽 带作用


把数 学 知 识


,

参 考 组 织 成 为 纵 向 综 合 贯 通
-

横 向 紧 密联 系 的 网 络 结 构
,

(

)

以 函 救概念 为

核心

,

,

构建

知 识 之 间 的 逻 辑关 系 比 较 淸 晰
,

不 同 领域 知 识 的 联


代 数 知 识 体 系 系 也 比 较 明 确

非 常 有利 于学生 了 解知 识 的 发展 脉



美 国 髙 中 数学 课 程 和 U
?

C SM P

教 材 在 构 建代 数



,

有利于学生

主学 习



相 比之 下

,

我国




前髙

1

2 0


?

中 数 学课 程 采 取



模块化



方式 组 织

,

对概 念 的 逻


概率 的 概 念作 为 数 据 分 析 的 理论 依 据

,

贯 穿数 据 分

,

辑组 织 和 不 同 领 域 知 识 的 联 系 都 有 不 利 影 响
美 国 的 经验
,

借鉴


析 的 整 个 过程 就突 出 了 这


,

是 数据 分 析 各 阶 段 的 思 想 基 础





以 及我 国 高 中 数 学 课程 标 准 及其 教 材
,

内 容的
,

数学 味




因此

,

在 高 中 阶磁




在 十 年 实施 中 发 现 的 问 题


我 们 应 该对




模块化

的 数 学课 程 中
,

我们 应 特别 关 注 如 何 加 强 统 计 思 想

的 课 程 结构 进 行实 事 求 是 的 调 整
(

数 据分析 观念
,

使 学 生 掌握 基本 的 数 据 收 集
,



整理
,






)

突出

变换



方法

,

注 重 公理 化 思 想



分析 的 技 能 的 同 时
于解 决




加 强 统 计与 概 率 的 综 合
,

使学


强 推 理 能 力 的 培 养 生 掌 握 用 概 率知 识研 究 随 机现 象 的 基 本 方 法


并能用
,

众 所周 知

,

在几 何 领域


,

美国



新数 运 动






,



些实 际 问 题 等 的 研 究
,



从某 种 意 义 上 说






的 数学课程似 乎 走 了

欧 几里 得 滚 翬

的 路线

,

整 个 中 学数学 课 程 中


统计 与 概 率更多 地 扮 演 了








人 的 印 象 是美 国 中 学 数 学 课程 不 注 重 公理 化 思 想
不 强调 逻 辑推 理
,

综合






问 题 解决




实 际 应用

等角 色

,

甚 至连欧 氏 几何 都不 要 了
,



我国

样 的特 点 需要 关 注

可以说
,

,

我 们 在 概 率统计 课程 建




世纪之 交 开始 的 数学 课 程 改革
几何


也呈现 出 降低 平面


设上 与 美 国 的 差 距较 大


需 要 作出 更 大 的 努力

立 体几 何 的 要 求
,

,

强 调 合 情推 理


降低 演 绎

?

_

推 理要 求 的 倾 向

强 调 逻辑 推 理


双 基 等 几 乎 成 了 , ,
,

落后 的 代 名 词
U C
S



但上 述 研究 发 现


美 国 课賴 及

,

M

P

教材 以

变换
'

为 核 心概念

贯穿 图形 的

`

f f
[ 2 ]

S
_

^
F
o c u s

0 4


性质 和 关系 的 学习
归纳

在 推 理能 力 的 培 养 中 构 建 了 S
公 理 化 体系 的 发 展 主 线
□ ;

到 演 绎 推 理再


,

N C T M
a

i

n n g

H
[

i

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S

c

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S

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M

a k

i

M

]

,

R
,

e s

t

o n

N C T M

,

2 0 0 9


.

说明 美 国 的 数 学 课程 不 是 不 要 欧 氏 几 何
了 用 现 代 化 的 数学 方 法
(

,

而是 注重
)

[ 3 ]

王嵘

,

章建 跃

,

宋莉 莉


周丹

.

高 中 数学 核 心 概 念 教

.

特别 是 变 换 的 思 想 和 方 法


材 编 写 的 国 际比较 法
[ 4 ]
,

以 函数为例

.

课程

?

教材

.




处 理 传统 内 容
涉及


,

在推 理能力


公理 化 思 想 这 样
丝毫没 有放 松







2 0 1

3

(

6



)

:

5

1

5 6

数学 命 脉


的问 题上

,

降低

U C
c

S
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M P
a w

.

A d H
i

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,

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1

[

M

]

.

C

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T

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要求 的倾向
(

这 样 的 做 法 值 得 我们 警 醒 M
,

G

l l

C
e

o m p a n
t

2 0

0


.

三)

体 现 数椐 收 集 与 处 理 的 全 过 程

强调 用 概

[ 5

]

U C S M P

.

G
a n

om e

r

y

[

M

]

.

C

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T

h

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M

c

G

r a


w

牟 知 识 研 究 随机现 象 的 基 本 方 法

H


i

l

l

C om p
S

i

e s

,

2 0 0 9


.

统 计 与 概率
` `



直是 我 国 中 学 数 学 课 程

教 材 的

C

6

]

U C

M
C

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F
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2 0
1

弱项


,

因 此 也 成 为 我 国 近 年 来 中 学 数学 课 程 改 革

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T

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M

G

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H

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U

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i

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'

0


.

的重 点

,

主 要 特点 是 新 增 了 大 量数 据 分 析 的 内 容
-

[ 7 ]
,

U —

中 学 数 学 课 程 发 展 的 九条 主 线




也增 加 了

些 概 率模 型 的 知 识
,



美 国 的 概 率 统计 课

H U

s

程 已有多年 的触
U C
M P

在 ― 職 職 设s 滅 龍


J m

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1

[

J

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-

0

(

9


X

学 研 究 上 都 处 于世 界 领先 水 平
S

从美 国 高

中 课程 和
,

教材 对 概 率 统 计 内 容 的 编 排 上 可 以 看 出
C
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1


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