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2.2.1


向量加法、减法运算及 其几何意义

2013-12-25

高一、一科数学专用课件

知识回顾
1. 向量与数量有何区别?
数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等

2. 怎样来表示向量向量?
1)用有向线段来表

示,线段的长度表示线段的大小,箭头所 A B 指方向表示向量的方向。 2)用字母来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终 ? 如 a , AB 点字母表示.

3. 什么叫相等向量向量?
长度相等,方向相同的向量相等. (正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向 量可以在不改变它的大小和方向的前提下,移到任何位置.) 2013-12-25 高一、一科数学专用课件

由于大陆和台湾没有直航,因此2006年 春节探亲,乘飞机要先从台北到香港,再从 香港到上海,则飞机的位移是多少?
上海
? b
? ? ? c ? a ?b

上海

台北
香港

香港

? a

台北

C

1、位移
2013-12-25

??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? AC

A

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B

向量加法的三角形法则
? ? b a

首尾顺次相连

?? ?? ? ? ? 已知向量 a , b, 求作向量a + b
作法(1)在平面内任取一点O ??? ? ?? ??? ? ? ? (2)作 OA = a , AB = b ??? ? ? ? (3)作OB = a + b
A

o

??? ??? ??? ? ? ? OA ? AB ? OB
2013-12-25

B

这种作法叫做向量 加法的三角形法则 ( 位 移 合 成 )

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思考1:如图,当在数轴上两个向量共线时,加法的三角形
法 则是否还适用?如何作出两个向量的和?

? a

? a
b

b
A (1) B

(2) C

? ? a?b

C ?

?A a?b

B

?? ? ? ? ? 若a, b方向相同,则 | a ? b |?| a | ? | b | ?? ? ? ? ? ? ? 若a, b方向相反,则 | a ? b |?| a | ? | b(或 | b | ? | a | ) |

? ? ? ? ? 规定:? a ? a ? 0 ? a 0
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2013-12-25

? ? ? ? 当向量 a?、不共线时,和向量的长度 | a ? b | 与向量 b ? ? ? ? a?、的长度和 | a | ? | b |之间的大小关系如何? b
? ? a?b

? b

三角形的两边之和大于第三边
? ? ? ? ? ? 当向量a?、不共线时有 | a ? b |?| a | ? | b | ?b
综合以上探究我们可得结论:

? a?

? ? ? ? | a ? b |?| a | ? | b |
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2013-12-25

尝试练习一:
(1)根据图示填空:

E

D

C A

B

??? ??? ? ? ???? AC AB ? BC ? _____ ? ??? ??? ? ? ??? BC ? CD ? _____ BD ??? ??? ??? ? ? ? ???? AD AB ? BC ? CD ? _____ ? ??? ??? ??? ???? ??? ? ? ? AB ? BC ? CD ? DE ? _____ AE

引入2: 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下,沿MC方向 伸长了EO;图2表示橡皮条在一个力F的作用下,沿相同 方向伸长了相同长度EO。从力学的观点分析,力F与F1、 F2之间的关系如何?
F1 M 图1 M E O
2013-12-25

C EO F2 F 图2

F1 F F2

F=F1+F2

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向量加法的平行四边形法则:
B C

b
O

a?b

起 点 相 同

? a

A

? ? 以同一点O为起点的两个已知向量 a、 为邻边作? OACB, b ???? ? ? ? ? 则以O为起点的对角线OC就是 a与 b 的和 a ? b, 即 ? ? ??? ??? ???? ? ? a ? b ? OA ? OB ? OC 这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则。

向量加法的平行四边形法则:
B C

b
O

a?b

起 点 相 同

? a

A

文字表述为:以同一起点的两个向量为邻边作平行 四边形,则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是 和向量。

例题讲解:

? ? ? ? 例1.如图,已知向量 a, b ,求作向量 a ? b 。
作法2:在平面内任取一点O, ? ??? ? ??? ? ? OB 作 OA ? a , ? b ,

? 以 OA、OB为邻边作 OACB a, ???? ??? ??? ? ? ? ?
连结OC,则 OC ? OA ? OB ? a ? b.

b

A

? a
a?b

C O

b

平行四边形法则

B

尝试练习二:

?? ? (3)已知向量? ?、 ,用向量加法的三角形法则和平行四边形 a ?b ? 法则作出 a ? b




? b
? a

? b
? a

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输, 如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。 C
D

???? ??? ? (1)如图所示, 表示船速, 表示水速, AD AB ??? ? 以AD、AB为邻边作? ABCD, 则 AC表示
2013-12-25

解:

A

B

船实际航行的速度. 高一、一科数学专用课件

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输, 如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以 2 3 km/h的速度向 垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度; (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度的夹 角来表示)。 ??? ? ??? ? 解: 在Rt? ABC中,AB |? 2,| BC |? 2 3 (2) | ? C D ??? ? ??? 2 ? ??? 2 ? ? AC |? | AB | ? | BC | |

? ?4

22 ? (2 3) 2
A
B

2 3 ? tan ?CAB ? ? 3 2

??CAB ? 60 .
?

2013-12-25 高一、一科数学专用课件 答:船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60? 。

补充练习
例1:已知O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量 ??? ???? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? () ? OC (2) BC ? FE (3) OA ? FE 1 OA
解:(1 OA ? OC ? OB; )
(2) ? FE ? AD; BC

E

D

F A

O
B

C

(3) ? FE ? 0. OA
2013-12-25 高一、一科数学专用课件

向量的减法运算及其几何意义
回顾: (1)你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗?

实数

思考(2)两个实数的减法运算可以看成加法运算吗? 如设



a 的相反数记作 ?a 。
x ? (? y )

x, y ? R , x ? y ?

如何定义向量的减法运算呢?

2013-12-25

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2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、相反向量:
? ? 设向量 a ,我们把与 a 长度相同,方向相反 ? ? 的向量叫做 a 的相反向量。 记作:? a

规定: (1)

? ? ? ? 二、向量的减法: a ? b ? a ? (?b)
2013-12-25 高一、一科数学专用课件

?( ? a ) ? a ? ? ? ? ? ? (2) a ? (?a) ? 0 (?a) ? a ? 0 ? ? (3)设 a , b 互为相反向量,那么 ? ? ? ? ? ? ? a ? ?b, b ? ?a, a ? b ? 0

? ? 。 0的相反向量仍是 0 ? ?

? ? 你能利用我们学过的向量的加法法则作出 a ? ( ?b) 吗?


??? ? ???? ? ? AB ? b, AC ? a ? ? ??? ? ? ? AE ? a ? (?b) ? a ? b ? ???? ? 又 b ? BC ? a ??? ? ? ? 所以 BC ? a ? b

B

? b

? ? a ?b ?
a A ? ?b

? ? a ?b
D

C E

不借助向量的加法法则你能直接作出

? ? a ? b 吗?

2013-12-25

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一般地

? a

? b

??? ???? ??? b ? a ? ??? ??? ? ??? ? ? ? ? (1) ? AB ? AD ? DB ? ? BA ? BC ? CA (2) (2)当 a ??? 共线时,怎样作 a ? b 呢? , ? ??? b ? ???? ???? ??? ???? ? ? BC ? AC (4) OD ? OA ? AD ? ? (3) ??? ? BA ? ??? B a ? OA? ??? ? OB O A b? ??? ??? ??? ? ? ? ? (5) OA ? OB ? BA 2013-12-25 ? b ? BA 高一、一科数学专用课件 a
B O A

? ? ? a ? b 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a 的终点的向量 注意:(1)起点必须相同。(2)指向被减向量的终点。 ? ? (1)如果从 a 的终点指向 b 终点作向量,所得向量是什么呢? 练习: ? ?

三、几何意义:

( O 三 ? A 角 b ? ? 形 a ?b 法 B 则 ? )

? a

例3 已知向量

? ? a ?b
? a ? b
? ? d

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a, b, c, d ,求作向量 a ? b , ? d 。 c

? ?? c?d
? c

B A
? a ? b
? ? d

D C

? c
O

作法:

? ??? ? ??? ? ???? ? ???? ? ? ? 在平面内任取一点O, 作 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d ,


??? ? ? ? BA ? a ? b

???? ? ? ? DC ? c ? d

起点相同,连接终点,指向被减向量的终点。 注意:
2013-12-25 高一、一科数学专用课件

? ? ? ? 练习:已知向量 a, b,求作向量 a ? b
(1)
? a



(2)

? ? a ? ?b
b

? a ? b

? ? a ?b
? a

(3)

? ?? a ?b a

(4)
? b
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? b

? ? a ?b

2013-12-25

??? ? ???? ? ? 例4 在 AB ? ? ABCD 中, ???? ???a, AD ? b, ? ? 你能用 a, b表示 AC , DB 吗?

? ? 变式一 本例中,当 满足什么条件时, a, b ? ? ? ? ? ? 互相垂直? a ? b a ?与 b a ?b ? ? 变式二 本例中,当 a满足什么条件时, ,b ? ?
? ? ? ? a ?b ? a ?b ?

???? ? ? AC ? a ? b ???? ? ? DB ? a ? b

? b

D

C

A

? a

B

a与b互相垂直

2013-12-25

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? ? ? ? a+ b = b+ a ? ? ? ? ? ? (a + b) + c = a + (b + c )
2013-12-25 高一、一科数学专用课件

向量的减法
一、定义(利用向量的加法定义)。 二、几何意义(起点相同,由减向量的终点 指向被减向量的终点)。

2013-12-25

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