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高三一轮复习:第二章 函数与基本初等函数(Ⅰ)第九节 函数模型及其应用


第2章

第九节 函数模型及其应用

一、选择题(6×5 分=30 分) 1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x), 则以下结论正确的是( A.x>22% B.x<22% C.x=22% D.x的大小由第一年的产量确定 解析:(1+x)2=1+44%,解得 x=0.2<0.22.故选 B. 答案:B 2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2 和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大 利润为( ) B.45.6 D.45.51 A.45.606 C.45.56 )

解析:依题意可设甲销售 x 辆,则乙销售(15-x)辆, ∴总利润 S=5.06x-0.15x2+2(15-x) =-0.15x2+3.06x+30(x≥0). ∴当 x=10 时,Smax=45.6(万元). 答案:B 3.(2011· 安 徽 合

肥 )某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如右图,为降低消耗,开源节流,现要从这 些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x ,y应为( )

A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 24-y x 解析:由三角形相似得 = , 24-8 20 5 5 得 x= (24-y),∴S=xy=- (y-12)2+180, 4 4 ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 答案:A

B.x=12,y=15 D.x=10,y=14

4.某市2008年新建住房100万平方米,其中有25万平方米经济适用房,有关部门计划

以后每年新建住房面积比上一年增加5%,其中经济适用房每年增加10万平方米.按照此计 划,当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据:1.052 =1.10,1.053=1.16,1.054=1.22,1.055=1.28)( A.2010年 C.2012年 ) B.2011年 D.2013年

解析:设第 n 年新建住房面积为 an=100(1+5%)n,经济适用房面积为 bn=25+10n,由 2bn>an 得:2(25+10n)>100(1+5%)n ,利用已知条件解得 n>3,所以在 2012 年时满足题 意.故选 C. 答案:C 5.在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据: x y -2.0 0.24 -1.0 0.51 0 1 1.00 2.02 2.00 3.98
x

3.00 8.02 )

则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a,b为待定系数)( A.y=a+bx C.y=ax2+b B.y=a+b

b D.y=a+ x

解析:法一:作散点图,由散点图可知,应选 B. 法二:从表中发现 0 在函数的定义域内而否定 D,函数不具奇偶性,从而否定 C,自变 量的改变量相同而函数值的改变量不同而否定 A.故选 B. 答案:B 6.(2011· 长 沙 模

拟 )如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系:y=at,有以下叙述 :

①这个指数函数的底数为2; ②第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2; ③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月; ④浮萍每月增加的面积都相等; ⑤若浮萍蔓延到2 m2,3 ) m2,6

m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中正确的是(

A.①② C.②③④⑤

B.①②③④ D.①②⑤

解析:由图象过(1,2),可知 2=a1,∴a=2,故①正确; 当 t=5 时,y=25=32>30,②正确; 12=2t,∴t=log212,t-2=log212-2=log23≠1.5, ∴③不正确; 由图象观察④显然错误; t1=log22=1,t2=log23,t3=log26, log26=log22+log23, ∴t1+t2=t3,⑤正确.故①②⑤正确. 答案:D 二、填空题(3×5 分=15 分) 7.(2011· 研 苏 、 锡 、 常 、 镇 四 市 调

)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km但不超过8

km(不超过3

km按起步价付费);超过3

km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8

km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出 租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________km. 解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元,由题意可得:

?8+1,x∈?0,3] ? f(x)=?9+?x-3?×2.15,x∈?3,8] ?9+5×2.15+?x-8?×2.85,x∈?8,+∞? ?
令 f(x)=22.6,解得 x=9. 答案:9



8.(2011· 威 海 质 检 )一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全 ,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过________小时,才能开车? 解析:设 x 小时后,血液中的酒精含量不超过 0.09 mg/mL, 3 3 则有 0.3· )x≤0.09,即( )x≤0.3,估算或取对数计算得 5 小时后,可以开车. ( 4 4 答案:5 9.如图所示是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法:

①这几年人民生活水平逐年得到提高; ②人民生活费收入增长最快的一年是2005年; ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2006年; ④虽然2007年生活费收入增长缓慢,但由于生活价格指数略有降低,因而人民生活有 较大的改善.其中说法正确的是________(填写标号即可). 解析:由题意,“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的,故① 正确;“生活费收入指数”在 2005 年~2006 年最陡,故②正确;“生活价格指数”在 2006 年~2007 年最平缓,故③不正确;由于“生活价格指数”略呈下降,而“生活费收入指 数”曲线呈上升趋势,故④正确. 答案:①②④ 三、解答题(共 37 分) 10.(12分)(2011· 淄 博 模

拟)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信 息,分别得到甲、乙两图.

甲调查表明:每个鱼池平均产量直线上升,从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条. 乙调查表明:全县鱼池总个数直线下降,由第1年30个减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明: (1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数. (2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了?说明理由. (3)哪一年的规模(即总产量)最大?说明理由. 解析:由题意可知,图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点, 从而求得其解析式为 y 甲=0.2x+0.8. 图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点, 从而求得其解析式为 y 乙=-4x+34. (1)当 x=2 时,y 甲=0.2×2+0.8=1.2,

y 乙=-4×2+34=26, y 甲×y 乙=1.2×26=31.2. 所以第 2 年鱼池有 26 个,全县出产的鳗鱼总数为 31.2 万条. (2)第 1 年出产鳗鱼 1×30=30(万条),第 6 年出产鳗鱼 2×10=20(万条),可见第 6 年这 个县的鳗鱼养殖业规划比第 1 年缩小了. (3)设当第 m 年时的规模,即总产量为 n, 那么 n=y 甲· 乙=(0.2m+0.8)(-4m+34) y =-0.8m2+3.6m+27.2 =-0.8(m2-4.5m-34) =-0.8(m-2.25)2+31.25. 因此,当 m=2 时,n 最大值为 31.2. 即当第 2 年时,鳗鱼养殖业的规模最大,最大产量为 31.2 万条. 11.(12分)(2010· 银 川 模

拟 )某厂家拟在2010年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万 件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3- k m+1

(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2010年生产该产 品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价 格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2010年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 解析:(1)由题意可知当 m=0 时,x=1(万件), ∴1=3-k?k=2, 2 ∴x=3- , m+1 每件产品的销售价格为 1.5× 8+16x (元), x

8+16x ∴2010 年的利润 y=(1.5× )x-(8+16x+m) x 2 =4+8x-m=4+8(3- )-m m+1 16 =-[ +(m+1)]+29 (m≥0). m+1 (2)∵m≥0 时, 16 +(m+1)≥2 16=8, m+1

∴y≤-8+29=21, 16 当且仅当 =m+1?m=3(万元)时,ymax=21(万元). m+1

∴(1)y=-[

16 +(m+1)]+29(m≥0). m+1

(2)该厂家 2010 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大为 21 万元. 12 . (13分)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内, 西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的 关系用图2的抛物线表示.

(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);写出图2表示的种植成本与时 间的函数关系式Q=g(t); (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大? (注:市场售价和种植成本的单位:元/百千克,时间单位:天) 解析:(1)由图 1 可得市场售价与时间的函数关系为
?300-t,0≤t≤200, ? f(t)=? ? ?2t-300,200<t≤300;

由图 2 可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)= 1 (t-150)2+100,0≤t≤300. 200

(2)设 t 时刻的纯收益为 h(t), 则由题意得 h(t)=f(t)-g(t),

?-200t +2t+ 2 ,0≤t≤200, 即 h(t)=? 1 7 1 025 ?-200t +2t- 2 ,200<t≤300.
1
2

1

175

2

当 0≤t≤200 时,配方整理得 1 h(t)=- (t-50)2+100, 200 所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理得 1 h(t)=- (t-350)2+100 200 所以,当 t=300 时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值 87.5. 由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t=50,即从二月一日开始 的第 50 天时,上市的西红柿收益最大.


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