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4、1二项式定理与杨辉三角完整讲义(最终修订版)


二项式定理
知识要点
(一)探究 (a ? b) ,(a ? b)的展开式
3 4

问题 1: (a1 ? b1) ? a2 ? b2 ?

? a3 ? b3 ? 展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项?

问题 2:将上式中,若令 a1 ? a2 ? a3 ? a, b1 ? b2 ? b3 ? b ,则展开式又是什么?

思考一:合并同类项后,为什么 a b 的系数是 3?

2

(a ? b)的展开式又是什么呢? 问题 3:
4

4 0 4 1 3 2 2 2 3 4 4 结论: (a ? b) ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 ab3 ? C4 b ;

(二)猜想、证明“二项式定理”

(a ? b)的展开式又是什么呢? 问题 4:
n

思考二:

(a ? b)展开有多少项? (1) 将
n

(2)每一项中,字母 a , b 的指数有什么特点? (3)字母 a , b 指数的含义是什么?是怎么得到的? (4)如何确定 a , b 的系数?

二项式定理:
0 n 1 n?1 1 2 n ?2 2 (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? r n ?r r ? Cn a b ? n n ? Cn b (n ? ?? ) ;

(三)归纳小结:二项式定理的公式特征 (1)项数:_______; (2)次数:字母 a 按降幂排列,次数由____递减到_____;字母 b 按升幂排列,次数由 ____递增到______; (3)二项式系数:下标为_____,上标由_____递增至_____; (4)通项: Tk ?1 ? __________;指的是第 k ? 1 项,该项的二项式系数为______;

(a ? b)的二项展开式。 (5)公式所表示的定理叫_____________,右边的多项式叫做
n

典型例题
例 1、求 (2 x ?

1 x

) 6 的展开式;

例 2、① (1 ? 2 x) 7 的展开式的第 4 项的系数及第 4 项的二项式系数。 ②求 ( x ?

1 9 ) 的展开式中含 x 3 的系数。 x

变式练习
7 1、写出 的展开式; (p ? q)

(2a ? 3b)的展开式的第 3 项; 2、求
6

?3 1 ? 3.写出 ? ? x? 3 ? ? 的展开式的第 r ? 1 项; 2 x? ?

n

(x ? 1 ) 的展开式的第 6 项的系数是 4、
10



例 3、求 (4 ? 2x ? x )(2 ? x) 的展开式中 x 的系数。
2 7
5

例 4、在 x ? 3x ? 2 的展开式中,求 x 的系数
2

?

?

5

王新敞
奎屯

新疆

3 例 5、求 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ??? ?1 ? x ? 展开式中 x 的系数
2 10

王新敞
奎屯

新疆

例 6、 x2 ? x10 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? A.9 B.10

? a9 ( x ? 1)9 ? a10 ( x ? 1)10 ,则 a9 =( )
D.-10

C.-9

2? ? 例 7、已知 ? x ? 2 ? 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14:3,求展 x ? ?
开式的常数项
王新敞
奎屯 新疆

n

高考真题

1? ? 1、 ? x 2 ? ? 的展开式中,常数项为 15 ,则 n ? ( x? ?
A. 3 2、 B. 4
8

n



C. 5

D. 6 . (用数字作答)

1? ? ( 1? 2 x 2 ?)x ? ? 的展开式中常数项为 x? ?

3、若 ? x 2 ?

? ?

5 1 ? 6 ? 的二项展开式中 x 的系数为 2 ,则 a ? ax ?

6

(用数字作答) .

随堂练习
1、 (2 x ? ) 的展开式中常数项是
2 6

1 x


3

2、已知 ( x ? a)9 的展开式中常数项是 ?8 ,则展开式中 x 的系数是( A. 168 B. ?168 C. 336
6



D. ?336 .(写出数字答案) .

3、在 ( x ? 2 2 )8 的展开式中, x 的系数是 4、 ( x ? 1) 的展开式中 x 项的系数是
8
5

5、 1 ? 2 x

?

?

6

的展开式中所有有理项系数之和等于_________。 (用数字作答)
6

1 ? ? 6、在 ? 2 x 2 ? ? x? ?
(A) ?30

的展开式中 x (B) ?60

2

项的系数是 (C)30 (D)60





课后作业
1、在 x ? 3
2 2、 ( x ?

?

?

10

的展开式中, x 的系数为 ;

6



1 9 ) 展开式中 x 9 的系数是 2x
12

? 1 ? 3、 ? ?x? 3 ? ? x? ?

的展开式中常数项为
10

; ;

4、 1 ? x3 ?1 ? x? 的展开式中,含 x5 项的系数是 5、 若 ?x ? a ?
100
98

?

?

的展开式中 x 前的系数是 9900,求实数 a 的值。 。

6、 ( x ? y)10 的展开式中, x7 y 3 的系数与 x3 y 7 的系数之和等于 7、求 (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中 x 的系数。
2 5
3

8、已知二项式 (3 x ?

2 10 ) ,(以下各题答案均用组合数表示); 3x

(1)求展开式的第 4 项的二项式系数; (2)求展开式的第 4 项的系数; (3)求展开式的第 4 项。

9、求二项式 ( x ?
2

1 2 x

)10 的展开式中的常数项。

杨辉三角二项式系数的性质
知识要点
1、二项式系数表(杨辉三角) 填表找规律(使用课本表格)

(a ? b)n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 ?时,二项
式系数表, 表中每行两端都是1 , 除1 以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和
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2、二项式系数的性质
0 1 2 n r ,Cn ,Cn , ?,Cn .Cn (a ? b)n 展开式的二项式系数是 Cn

可以看成以 r 为自变量的函数 f (r ) 定义域是 {0,1, 2, 的点(如图)

, n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立

(1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
m n?m (因为 Cn ) .直线 r ? ? Cn

n 是图象的对称轴. 2

(2)增减性与最大值
k ∵ Cn ?

n(n ? 1)(n ? 2) (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 ? Cn ? , k! k

k k ?1 ∴ Cn 相对于 Cn 的增减情况由

n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 ?1? k ? 决定, , k k 2

当k ?

n ?1 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中 2
n n ?1 n ?1

间取得最大值; 当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取得 最大值.

(3)各二项式系数和
1 ∵ (1 ? x)n ? 1 ? Cn x? r r ? Cn x ?

? xn ,
r ? Cn ? n ? Cn
王新敞
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0 1 2 令 x ? 1 ,则 2n ? Cn ? Cn ? Cn ?

典型例题
例 1、在 (a ? b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
王新敞
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0 2 注:由性质(3)及例 1 知 Cn ? Cn ?

1 3 ? Cn ? Cn ?

? 2n?1 ;

例 2、设 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ?
2 3

? ?1 ? x ? ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?
n
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? an xn ,

当 a0 ? a1 ? a2 ?

? an ? 254 时,求 n 的值

例 3、已知 (1 ? 2 x) 7 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? (1) a1 ? a2 ?

? a7 x 7 ,求:

? a7 ;

(2) | a0 | ? | a1 | ?

? | a7 | ; (3) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ;

例 4、在 (2 x ? 3 y)10 的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤ x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和;

例 5、已知: ( x ? 3x ) 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992 .求展
2 n

2 3

开式中二项式系数最大的项;

例 6、已知 (3 x ? x 2 ) 2n 的展开式的系数和比 (3x ? 1) n 的展开式的系数和大 992,求

1 (2 x ? ) 2n 的展开式中,求二项式系数最大的项。 x

10 例 7、 (1) ( x ? ) 的展开式中,系数最大的项为(

1 x

) D.第五项和第七项

A.第六项

B.第三项

C.第三项和第六项 )

(2) (1 ? x)13 的展开式中系数最小的项为( A.第六项 B.第七项 C.第八项

D.第九项

随堂练习
1、

?

x ?1

? ? x ?1? 展开式中 x 的系数为
4 5
4

,各项系数之和为



1 2 3 2、多项式 f ( x) ? Cn ( x ?1) ? Cn ( x ?1)2 ? Cn ( x ?1)3 ?

n ? Cn ( x ?1)n ( n ? 6 )的展

开式中, x 6 的系数为
2 3、若二项式 (3 x ?

1 n ) ( n ? N ? )的展开式中含有常数项,则 n 的最小值为( ) 2 x3
C 、6 D、8

A、4

B、5

4、在 (1 ? x) n 的展开式中,奇数项之和为 p ,偶数项之和为 q ,则 (1 ? x2 )n 等于( ) A.0 B. pq
10

C. p ? q
2

2

D. p ? q
2
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2

5、求 ? 2 ? x ? 的展开式中二项式系数最大的项

课后作业
2 1、若 ( x ?

1 n ) 的展开式的各项系数之和为 32,则 n= x3
。 (用数字作答)

。其展开式中常数

项为

2、已知 (1 ? x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? a3x 3 ? a4x 4 ? a5x 5 ,则 (a0 ? a2 ? a4 )(a1 ? a3 ? a5 ) 的值为 。

4 3 2 3、已知 ? x ? 2 ? ? 3 ? x ? 2 ? ? 2 ? x ? 2 ? ? a4 x ? a3 x ? a2 x ? a1 x ? a0 ,则 4 3

a0 =



4、若对于任意实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? a3 ( x ? 2)3 ,则 a2 的值为 ( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

3 ? ? 5、已知 ? x ? 3 ? 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64 ,则 x? ?

n

n 等于(
A、 4

) B、 5 C、 6 D、 7

6、若 ( x ? A、10

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( x
B、20 C、30 D、120



? 16 2 1 ? 7、已知 (ax ? 1) 展开式中的二项式系数的和等于 ? x ? ? 的展开式的常数项,而 x? ?5
n

5

(ax ? 1)n 展开式的二项式系数最大的项的系数为 54 ,求 a 的值 (a ? R)

王新敞
奎屯

新疆

8、设 f ( x) ? ( x2 ? x ?1)9 (2x ? 1)6 ,试求 f ( x ) 的展开式中: (1)所有项的系数和; (2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
王新敞
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9、设 ?1 ? x ? ? 3 ? 2 x ? ? a0 ? x ? 1? ? a1 ? x ? 1? ?
5 9 14 13

? a13 ? x ? 1? ? a14

求:① a0 ? a1 ?

? a14

② a1 ? a3 ?

? a13 .


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