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6.示范教案(3.1-单调性与最大(小)值-第1课时)


1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 整体设计 教学分析 在研究函数的性质时,单调性和最值是一个重要内容.实际上,在初中学习函数时,已经重 点研究了一些函数的增减性, 只是当时的研究较为粗略, 未明确给出有关函数增减性的定义, 对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出, 而本小节内容, 正是初中有关内容的深化 和提高: 给出函数在某个区间上是增函数或减函数的

定义, 明确指出函数的增减性是相对于 某个区间来说的, 还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法, 又有 根据定义进行证明的较为严格的方法、 最好根据图象观察得出猜想, 用推理证明猜想的正确 性,这样就将以上两种方法统一起来了. 由于函数图象是发现函数性质的直观载体, 因此, 在本节教学时可以充分使用信息技术创设 教学情境,以利于学生作函数图象,有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性 质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程,以便加深对单调性和最值的理解. 三维目标 1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自 主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛,学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义,掌握用定义证明函数单调性的步骤,会求函数的 单调区间,提高应用知识解决问题的能力. 3.通过实例,使学生体会、理解到函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的 直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识. 4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题, 使学生感受到学习函数单调性的必 要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性. 重点难点 教学重点:函数的单调性和最值. 教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成. 课时安排 2 课时 设计方案(一) 教学过程 第 1 课时 函数的单调性 导入新课 思路 1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850~1909),他以自 己为实验对象,共做了 163 次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再 重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据. 时间间隔 t 0 分钟 20 分钟 60 分钟 8~9 小时 1天 2天

6天 一个月 记忆量 y(百分比) 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% 观察这些数据,可以看出:记忆量 y 是时间间隔 t 的函数.当自变量(时间间隔 t)逐渐增大 时,你能看出对应的函数值(记忆量 y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就 是著名的艾宾浩斯曲线 ).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗? 通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(可以借助信息技术画图象) 图 1-3-1-1 学生:先思考或讨论,回答:记忆量 y 随时间间隔 t 的增大而增大;以时间间隔 t 为 x 轴, 以记忆量 y 为 y 轴建立平面直角坐标系, 描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图 1-3-1-1 所示. 遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚 开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解 和记忆.教师提示、点拨,并引出本节课题. 思路 2.在第 23 届奥运会上,中国首次参加就获 15 枚金牌;在第 24 届奥运会上,中国获 5 枚金牌;在第 25 届奥运会上,中国获 16 枚金牌;在第 26 届奥运会上,中国获 16 枚金牌; 在第 27 届奥运会上,中国获 28 枚金牌;在第 28 届奥运会上,中国获 32 枚金牌.按这个变 化趋势,2008 年,在北京举行的第 29 届奥运会上,请你预测一下中国能获得多少枚金牌? 学生回答(只要大于 32 就可以算准确),教师:提示、点拨,并引出本节课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如图 1-3-1-2 所示为一次函数 y=x,二次函数 y=x2 和 y=-x2 的图象,它们的图象有什么变化 规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? 图 1-3-1-2 ②函数图象上任意点 P(x,y)的坐标有什么意义? ③如何理解图象是上升的? ④对于二次函数 y=x2,列出 x,y 的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在 y 轴右侧上升. x -4 -3

-2 -1 0 1 2 3 4

f(x)=x2

表(1) ⑤在数学上规定:函数 y=x2 在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义? ⑥增函数的定义中, 把“当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)”改为“当 x1>x2 时,都有 f(x1)>f(x2)” , 这样行吗? ⑦增函数的定义中, “当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的 图象有什么特点? ⑧增函数的几何意义是什么? ⑨类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义? ⑩函数 y=f(x)在区间 D 上具有单调性,说明了函数 y=f(x)在区间 D 上的图象有什么变 化趋势? 讨论结果:①函数 y=x 的图象,从左向右看是上升的;函数 y=x2 的图象在 y 轴左侧是下降的, 在 y 轴右侧是上升的;函数 y=-x2 的图象在 y 轴左侧是上升的,在 y 轴右侧是下降的. ②函数图象上任意点 P 的坐标(x,y)的意义:横坐标 x 是自变量的取值,纵坐标 y 是自变量为 x 时对应的函数值的大小. ③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐 增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大 ,也就是对应的函数值随着逐渐增大 . 也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大. ④在区间(0,+∞)上,任取 x1、x2,且 x1<x2,那么就有 y1<y2,也就是有 f(x1)<f(x2).这样可以体 会用数学符号来刻画图象上升. ⑤一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数. ⑥可以.增函数的定义:由于当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),即都是相同的不等号“<” ,也就

是说前面是“<” ,后面也是“<”,步调一致; “当 x1>x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”都是相同的不 等号“>” ,也就是说前面是“>” ,后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为:步调一致 增函数. ⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的. ⑧从左向右看,图象是上升的. ⑨一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数.简称为: 步调不一致减函数.减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值 随着自变量的增大而减小.总结:如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数(或减函数),那么就 说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调递增(或减) 区间. ⑩函数 y=f(x)在区间 D 上,函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小) ,几何意 义:从左向右看,图象是上升(下降)的. 应用示例 思路 1 例 1 如图 1-3-1-3 是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? 图 1-3-1-3 活动:教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示 并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数,图象下降则在此区间上是减函数. 解:函数 y=f(x)的单调区间是[-5,2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中函数 y=f(x)在区间[-5,2),[1,3) 上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数. 点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数 的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调 性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的 图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性. 图象法求函数单调区间的步骤是第一步:画函数的图象;第二步:观察图象,利用函数单调 性的几何意义写出单调区间. 变式训练 课本 P32 练习 1、3. 例 2 物理学中的玻意耳定律 p=(k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积 V 减少时,压强 p 将增大.试用函数的单调性证明. 活动:学生先思考或讨论,再到黑板上书写.当学生没有证明思路时,教师再提示,及时纠正 学生解答过程出现的问题, 并标出关键的地方, 以便学生总结定义法的步骤.体积 V 减少时, 压强 p 将增大是指函数 p=是减函数;刻画体积 V 减少时,压强 p 将增大的方法是用不等式 表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时,常用单调性的定义来解决. 解:利用函数单调性的定义只要证明函数 p=在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性. 定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步: 在所给的区间上任取两个自变量 x1 和 x2, 通常令 x1<x2;第二步:比较 f(x1)和 f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它 们大小的步骤是作差、变形、看符号;第三步:再归纳结论.定义法的步骤可以总结为:一 “取(去)” 、二“比” 、三“再(赛)”,因此简称为: “去比赛”. 变式训练

课本 P32 练习 4. 思路 2 例 1(1)画出已知函数 f(x)=-x2+2x+3 的图象; (2)证明函数 f(x)=-x2+2x+3 在区间(-∞,1]上是增函数; (3)当函数 f(x)在区间(-∞,m]上是增函数时,求实数 m 的取值范围. 图 1-3-1-4 解: (1)函数 f(x)=-x2+2x+3 的图象如图 1-3-1-4 所示. (2)设 x1、x2∈(-∞,1] ,且 x1<x2,则有 f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3) =(x22-x12)+2(x1-x2) =(x1-x2)(2-x1-x2). ∵x1、x2∈(-∞,1] ,且 x1<x2,∴x1-x2<0,x1+x2<2. ∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)=-x2+2x+3 在区间(-∞,1]上是增函数. (3) 函数 f(x)=-x2+2x+3 的对称轴是直线 x=1, 在对称轴的左侧是增函数, 那么当区间(-∞,m] 位于对称轴的左侧时满足题意,则有 m≤1,即实数 m 的取值范围是(-∞,1]. 点评:本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性 问题时,常用数形结合的方法,结合二次函数图象的特点来分析;二次函数在对称轴两侧的 单调性相反;二次函数在区间 D 上是单调函数,那么二次函数的对称轴不在区间 D 内. 判断函数单调性时, 通常先画出其图象, 由图象观察出单调区间, 最后用单调性的定义证明. 判断函数单调性的三部曲: 第一步,画出函数的图象,观察图象,描述函数值的变化趋势; 第二步,结合图象来发现函数的单调区间; 第三步,用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论. 函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何 意义,会根据定义判断、证明函数的单调性,会求函数的单调区间,能综合运用单调性解决 一些问题,会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为 密切,是高考命题的热点题型. 变式训练 已知函数 f(x)是 R 上的增函数,设 F(x)=f(x)-f(a-x). (1)用函数单调性定义证明 F(x)是 R 上的增函数; (2)证明函数 y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形. 活动: (1)本题中的函数解析式不明确即为抽象函数,用定义法判断单调性的步骤是要按格 式书写; (2)证明函数 y=F(x)的图象上的任意点关于点(,0)的对称点还是在函数 y=F(x)的图象 上即可. 解: (1)设 x1、x2∈R,且 x1<x2.则 F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(a-x1)]-[f(x2)-f(a-x2)] =[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]. 又∵函数 f(x)是 R 上的增函数,x1<x2,∴a-x2<a-x2. ∴f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1). ∴[f(x1)-f(x2)]+[f(a-x2)-f(a-x1)]<0. ∴F(x1)<F(x2).∴F(x)是 R 上的增函数. (2)设点 M(x0,F(x0))是函数 F(x)图象上任意一点,则点 M(x0,F(x0))关于点(,0)的对称点 M′

(a-x0,-F(x0)). 又∵F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)) =f(a-x0)-f(x0) =-[f(x0)-f(a-x0)] =-F(x0), ∴点 M′(a-x0,-F(x0))也在函数 F(x)图象上, 又∵点 M(x0,F(x0))是函数 F(x)图象上任意一点, ∴函数 y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形. 例 2(1)写出函数 y=x2-2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察: 在函数图象对称轴两侧的单调 性有什么特点? (2)写出函数 y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察: 在函数图象对称轴两侧的单调性有什 么特点? 图 1-3-1-5 (3)定义在[-4,8]上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,y=f(x)的部分图象如图 1-3-1-5 所 示,请补全函数 y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什 么特点? (4)由以上你发现了什么结论?试加以证明. 活动:学生先思考,再回答,教师适时点拨和提示: (1)画出二次函数 y=x2-2x 的图象,借助于图象解决; (2)类似于(1) ; (3)根据轴对称 的含义补全函数的图象,也是借助于图象写出单调区间; (4)归纳函数对称轴两侧对称区间 上的单调性的异同来发现结论,利用轴对称的定义证明. 解: (1)函数 y=x2-2x 的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线 x=1;区间 (-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线 x=1 对称,而单调性相反. (2)函数 y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是 y 轴即直线 x=0;区间 (-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线 x=0 对称,而单调性相反. (3)函数 y=f(x),x∈[-4,8]的图象如图 1-3-1-6. 图 1-3-1-6 函数 y=f(x)的单调递增区间是[-4,-1],[2,5];单调递减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1] 和区间[5,8]关于直线 x=2 对称,而单调性相反,区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线 x=2 对 称,而单调性相反. (4)可以发现结论:如果函数 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称,那么函数 y=f(x)在直线 x=m 两侧 对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下: 不妨设函数 y=f(x)在对称轴直线 x=m 的右侧一个区间[a,b]上是增函数,区间[a,b]关于直 线 x=m 的对称区间是[2m-b,2m-a]. 由于函数 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称,则 f(x)=f(2m-x). 设 2m-b≤x1<x2≤2m-a,则 b≥2m-x1>2m-x2≥a, f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2). 又∵函数 y=f(x)在[a,b]上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0. ∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2). ∴函数 y=f(x)在区间[2m-b,2m-a]上是减函数. ∴当函数 y=f(x)在对称轴直线 x=m 的右侧一个区间[a,b]上是增函数时,其在[a,b]关于直 线 x=m 的对称区间[2m-b,2m-a]上是减函数,即单调性相反.

因此有结论:如果函数 y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称,那么函数 y=f(x)在对称轴两侧的对称单 调区间内具有相反的单调性. 点评:本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主 要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住,可以提高解 题速度.图象类似于人的照片,看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点,同样根 据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力. 变式训练 函数 y=f(x)满足以下条件: ①定义域是 R; ②图象关于直线 x=1 对称; ③在区间[2,+∞)上是增函数. 试写出函数 y=f(x)的一个解析式 f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况). 活动:根据这三个条件,画出函数 y=f(x)的图象简图(只要能体现这三个条件即可) ,再根据 图象简图,联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出. 解:定义域是 R 的函数解析式通常不含分式或根式,常是整式;图象关于直线 x=1 对称的函 数解析式满足:f(x)=f(2-x),基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数,则由①②想到了二次 函数;结合二次函数的图象,在区间[2,+∞)上是增函数说明开口必定向上,且正好满足二 次函数的对称轴直线 x=1 不在区间[2,+∞)内,故函数的解析式可能是 y=a(x-1)2+b(a>0). 结合二次函数的图象和性质,可知这三条都可满足开口向上的抛物线,故有: 形如 y=a(x-1)2+b(a>0),或为 y=a|x-1|+b(a>0)等都可以,答案不唯一. 知能训练 课本 P32 练习 2. 【补充练习】 1.利用图象法写出基本初等函数的单调性. 解:①正比例函数:y=kx(k≠0) 当 k>0 时,函数 y=kx 在定义域 R 上是增函数;当 k<0 时,函数 y=kx 在定义域 R 上是减函数. ②反比例函数:y=(k≠0) 当 k>0 时,函数 y=的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞),不存在单调递增区间;当 k<0 时,函 数 y=的单调递增区间是(-∞,0),(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数:y=kx+b(k≠0) 当 k>0 时,函数 y=kx+b 在定义域 R 上是增函数;当 k<0 时,函数 y=kx+b 在定义域 R 上是减 函数. ④二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0) 当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 的单调递减区间是(-∞,] ,单调递增区间是[,+∞); 当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 的单调递减区间是[,+∞),单调递增区间是(-∞,]. 点评:以上基本初等函数的单调性作为结论记住,可以提高解题速度. 2.已知函数 y=kx+2 在 R 上是增函数,求实数 k 的取值范围. 答案:k∈(0,+∞). 3.二次函数 f(x)=x2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,求实数 a 的值. 答案:a=2. 4.2005 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 卷 , 8 已 知 f(x) 是 定 义 在 (0,+ ∞ ) 上 的 减 函 数 , 若 f(2a2+a+1)<f(3a2-4a+1)成立,则 a 的取值范围是______. 分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞), ∴解得 a<或 a>1.

∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0. ∴0<a<5.∴0<a<或 1<a<5,即 a 的取值范围是(0,)∪(1,5). 答案:(0,)∪(1,5) 点评:本题实质是解不等式,但是这是一个不具体的不等式,是抽象不等式.解与函数有关 的抽象不等式时,常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣” ,转化为整式不等式. 拓展提升 问题:1.画出函数 y=的图象,结合图象探讨下列说法是否正确? (1)函数 y=是减函数; (2)函数 y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.对函数 y=,取 x1=-1<x2=2,则 f(x1)=-1<f(x2)=,满足当 x1<x2 时 f(x1)<f(x2),说函数 y=在定 义域上是增函数对吗?为什么? 3.通过上面两道题,你对函数的单调性定义有什么新的理解? 解答:1.(1)是错误的,从左向右看,函数 y=的图象不是下降的. (2)是错误的,函数 y=的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定 义域上是减函数,在定义域上函数 y=的图象,从左向右看不是下降的,因此这是错误的. 2.不对.这个过程看似是定义法,实质上不是.定义中 x1、x2 是在某区间内任意取的两个值, 不能用特殊值来代替. 3.函数单调性定义中的 x1、x2 必须是任意的,应用单调性定义解决问题时,要注意保持其 任意性. 点评:函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质,是函数的“局部性质” ;函数 y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增(减)函数,那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定. 课堂小结 本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法. 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师提示、点拨,及时评价. 引导方法:从基本知识和基本技能两方面来总结. 作业 课本 P39 习题 1.3A 组 2、3、4. 设计感想 “函数单调性”是一个重要的数学概念,以往的教学方法一般是由教师讲解为主,在单调性 的定义教学中,往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程,即缺少“意义建构”.本设 计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、 发展中, 通过层层设问, 调动学生的思维, 突出培养了学生的思维能力,体现了教师是用教材教,而不是教教材. 本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境, 引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学, 为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、 思维较为活跃的特点 ,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究 函数单调性埋下伏笔. 设计方案(二) 教学过程 第 1 课时 函数的单调性 导入新课 思路 1. 为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学兴趣小组研究了 2002 年到 2006 年每年 这一天的天气情况, 如图 1-3-1-7 是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲

线图. 图 1-3-1-7 问题:观察图 1-3-1-7,能得到什么信息? (1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻; (2)在某时刻的温度; (3)某些时段温度升高,某些时段温度降低. 引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考回答.教师:在生活中,我们关心很多数据的变化 规律,了解这些数据的变化规律,对我们的生活是很有帮助的.归纳:用函数观点看,其实 这些例子反映的就是随着自变量的变化,函数值是变大或变小. 思路 2.如图 1-3-1-8 所示,观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些 变化规律: 图 1-3-1-8 随 x 的增大,y 的值有什么变化? 引导学生回答,点拨提示,引出课题. 设计意图:创设情景,引起学生兴趣. 推进新课 新知探究 提出问题 问题①:分别作出函数 y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=的图象,并且观察自变量变化时,函数值的变化 规律. 如图 1-3-1-9 所示: 图 1-3-1-9 问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 设计意图:从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识:直观感知. 问题③:如图 1-3-1-10 是函数 y=x+(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减 函数吗? 图 1-3-1-10 设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题④:如何从解析式的角度说明 f(x)=x2 在[0,+∞)上为增函数? 设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度 ,完成对概念的第二次认识 .事实上也 给出了证明单调性的方法,为第三阶段的学习作好铺垫. 问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 设计意图:让学生由特殊到一般, 从具体到抽象归纳出单调性的定义, 通过对判断题的辨析, 加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识. 活动:先让学生思考或讨论后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对 回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 引导方法与过程: 问题①: 引导学生进行分类描述图象是上升的、 下降的(增函数、 减函数), 同时明确函数的图象变化(单调性)是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质. 问题②:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置.

问题③:通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精 确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究. 问题④:对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识 到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 x1、x2. 问题⑤:师生共同探究:利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义,然后学生类 比得出减函数的定义. 归纳总结:1.函数单调性的几何意义:如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增(减)函数,那么在 区间 D 上的图象是上升的(下降的). 2.函数单调性的定义:略.可以简称为步调一致增函数,步调相反减函数. 讨论结果:①(1)函数 y=x+2,在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大;函数 y=-x+2,在整个定 义域内 y 随 x 的增大而减小.(2)函数 y=x2,在[0,+∞)上 y 随 x 的增大而增大,在(-∞,0)上 y 随 x 的增大而减小.(3)函数 y=,在(0,+∞)上 y 随 x 的增大而减小,在(-∞,0)上 y 随 x 的增大而 减小. ②如果函数 f(x)在某个区间上随自变量 x 的增大,y 也越来越大,我们说函数 f(x)在该区间上 为增函数;如果函数 f(x)在某个区间上随自变量 x 的增大,y 越来越小,我们说函数 f(x)在该 区间上为减函数. ③不能. ④(1)在给定区间内取两个数,例如 2 和 3,因为 22<32,所以 f(x)=x2 在[0,+∞)上为增函数. (2)仿(1),取多组数值验证均满足,所以 f(x)=x2 在[0,+∞)上为增函数. (3)任取 x1、x2∈[0,+∞),且 x1<x2,因为 x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)<0,即 x12<x22.所以 f(x)=x2 在 [0,+∞)上为增函数. ⑤略 应用示例 思路 1 例 1 课本 P29 页例 1. 思路分析:利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论,再回答. 点评:本题主要考查函数单调性的几何意义. 图象法求函数单调区间的步骤: ①画函数的图象; ②观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 图象法的难点是画函数的图象,常见画法有描点法和变换法. 答案:略. 变式训练 课本 P32 练习 4. 例 2 课本 P32 页例 2. 思路分析:按题意,只要证明函数 p=在区间(0,+∞)上是减函数即可,用定义证明. 点评:本题主要考查函数的单调性. 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: (定义法) ①任取 x1、x2∈D,且 x1<x2; ②作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性).

易错分析:错取两个特殊值 x1、x2 来证明. 答案:略. 变式训练 判断下列说法是否正确: ①已知 f(x)=,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数. ②若函数 f(x)满足 f(2)<f(3),则函数 f(x)在区间[2,3]上为增函数. ③若函数 f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数 f(x)在区间(1,3)上为增函数. ④因为函数 f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,所以 f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函 数. 活动:教师强调以下三点后,让学生判断. 1.单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. 2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数),有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二 次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数). 3.函数在定义域内的两个区间 A、B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在 A∪B 上是 增(或减)函数. 答案:这四个判断都是错误的. 思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 证明一个命题成立时,需要有严格的逻辑推理过程,而否定一个命题只需举一个反例即可. 也就是说,只要找到两个特殊的自变量,不符合定义就行. 思路 2 例 1 证明函数 f(x)=x+在(2,+∞)上是增函数. 思路分析:利用单调性的定义证明.可以利用信息技术,先画出函数的图象,体会一下再证 明. 点评:本题主要考查函数的单调性. 引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形、断号、定论. 答案:略. 变式训练 证明函数 f(x)=x 在[0,+∞)上是增函数. 思路分析:此函数是一个具体的函数,用定义法证明. 思考: 除了用定义外, 如果证得对任意的 x1、 x2∈(a,b), 且 x1≠x2 有分 f(x2)-f(x1)x2-x1 式>0, 能断定函数 f(x)在区间(a,b)上是增函数吗? 活动:引导学生分析这种叙述与定义的等价性 .让学生尝试用这种等价形式证明函数 f(x)=x 在[0,+∞)上是增函数. 讨论结果:能. 例 2 用计算机画出函数 y=的图象,根据图象指出单调区间,并用定义法证明. 思路分析:在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的,在哪个区间函数图象是下降的,借 助于单调性的几何意义写出单调区间,再用定义证明. 教师画出图象, 学生回答, 如果遇到障碍, 就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 点评:讨论函数单调性的三部曲: 第一步,画函数的图象; 第二步,借助单调性的几何意义写出单调区间; 第三步,利用定义加以证明. 答案:略. 变式训练

画出函数 y=的图象,根据图象指出单调区间. 活动:教师引导学生利用变换法(也可以用计算机)画出图象,根据单调性的几何意义写出 单调区间,再利用定义法证明. 答案:略. 知能训练 课本 P32 练习 2. 拓展提升 试分析函数 y=x+的单调性. 活动:先用计算机画出图象,找出单调区间,再用定义法证明. 答案:略. 课堂小结 学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成 小结. (1)概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2)证明方法和步骤:设元、作差、变形、断号、定论. (3)数学思想方法:数形结合. (4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的. 设计感想 本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情 境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来 辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识. 考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对 定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔. 作业:课本 P39 习题 1.3A 组 2、3、4.


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