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均值不等式在求最值中的应用


2 0 1 4 年第 1 期 

数 学 教 育 研 究 

?  5 1  ?  

均 值不 等 式 在 求最 值 中 的应 用 
华腾 飞  ( 安 徽省灵璧 县黄湾中学 2 3 4 2 1 3 )  
运 用 均 值 不 等 式 求 最 值 是 我 们 常 用 的 求 最 值 的基 

>本方法 , 不 过 在 采 用 此 法 求 解 时 应 遵 循 的 规 律 和 注 意  事项 , 下 面分别举例 说明, 相 信 定 会 对 同 学 们 有 所  启迪 .  

_

y 1  ̄ > 1 4 + 4 + 6 + 1 2 — 3 6 .  
当且 仅 当 z 一百 1
,   一

÷ ,   一 丢 时 取 等 号 , 故 所 求  

1 应 遵循 的规 律 
1 .表 达 式 中 含变 量 的 项 均 为 正 ;   2 .表 达 式 中 含 变 量 的 项 之 和 ( 积) 是定值 ;   3 .表 达 式 中 含 变 量 的 项 可 以相 等 .  

最小值 为 3 6 .  
2 . 3 注 意 配 系数 

用 均 值不 等 式 求 最 值 时 , 常 将 所 求 式 的 某 些 因 子  同乘 以或 同 除 以某 一 正 数 , 使 含 变 量 的 各 因 子 之 和 为  定值 且能够相等.  

2 注 意事 项 
2 . 1   注 意化 正 


例4   已知 n >0 , 6 >o , 且n   +姜 一1 , 求  
、 , / 丽 的最大值.  
解 析 :由 a 2 +  一1得 2 n z +6 z 一2 , 故 
n 

如果 含 变 量 的 项 是 负 的 , 通过添 负号 , 将 其 转 化 为  正, 以利 于 运 用 均 值 不 等 式 求 解 .  

例 1 求函数 y =: c - t - ÷ 一1 ( z <o ) 的最大值.  
解 析 :因 为 z< O , 所以一- z >O , 则 一 z+  一≥ 


干  一  



一 
一  .  

≤  ×  

/ ( - x ) ?  一 4 , 故 z + - 4     m 一 4 , 从 而   ≤ 一 5 , 当  
即   一 一 2时 取 等 号 , 所 以 当 z一 一 2  

当 且 仅 当 a 一 雩 、 6 =  时 取 等 号 , 故 所 求 最 大 值  
为 半.  
2 . 4 注 意 添 项 

且仅 当 一z一  
时,  … 一 ~5 .  

2 . 2   注意 乘 “ 1 ”  

在求 条 件 最 值 时 , 要 敏 锐 地 洞 察 到 已 知 条 件 中 的  “ 1 ” 与要求解 的式子 中 的“ 1 ” 的联 系 , 并 进 而 灵 活 地 进  行代 换 , 可非常简捷获解.  

利用 均值 不 等 式 求 和 的 最 小 值 时 须 积 一 定 , 为 此 
可进行添项求 解.  

例5  设 z 、 Y 、   ∈R  , 求函数 “ 一圭 ~  z  z +圭   +  
÷ 十V   的最小值 
解 析 : 因 为 “ 一 
z 

例2  已 知口 、 b E   R   且n + b 一 1 , 求 √n + 寺+  
, 、
Y  

/ 6 +寺 的最大值.  

+ 

z  

T  L

+ 

Z 卞  

解 析 :   巧十  
a - } - @   - t - - 1 +


一  
b + l +l

+  (  
—  

十 1 ) + (   + 1 ) 十 (   十 1 ) 一 3 一 ( - z +   十  

1(  

) + 



÷ 一2 . 当且仅当n =6 一÷ 时取等号 , 故所求的最大值 
为 2 .  

) (   +   1 + 三 =  ) 一 3 =  ̄ - - I ( z +   ) + (   + z ) +   (   + 圳? (  + 熹+  ) 一 s ≥÷? s  
 ̄ / ( x + y ) ( y - 4 - z ) ( z - f - x ) 一 ? 。 ^ 、 a /  1 ? 雨1 ?   1 —3  


例 3已 知   、 . ) , 、   ∈ R   且 z +   +   一 1 , 求 ÷ + ÷  
+旦 的最 小 值
. 

÷. 当且仅当z —  —  时取等号, 故“ …一昔 .  
在求最值 时 , 为 了创 造 条 件 使 用 均 值 不 等 式 , 有 时 

2 . 5 注 意 拆 项 

解 析 :因为 z、  、  ∈R 且 z+ + 一 1 , 所 以 
- ̄ 9  1  + 4 /

z  

_

_  

_

= I   X ( 、  + Z  一 4 v +   9 z   / 1 一 ( z +   。   +   )  

需要将一 些项作适 当的变 形 , 拆 为 多 项 之 和 或 分 解 为 

( ÷+÷+ i 9 ) =  
一   +f   +堑


y  

+   +   1 + ( 、   ÷ + 警 ) + ( \   等 +  


多个 因子之积 , 从而达到凑 积或 和为定值 的 目的, 但 为  了使 等 号 成 立 , 常遵循“ 平均拆分” 的原 则 .   例6   已知 x y > 0 , 且 3 2   一2 , 求 x y十 z  的 最  小值.  
解析 : 因 为 已知 x y > 0 , 且 z 0 Y 一2 , 所以 x y + 

? 

5 2  ?  

数 学 教 育 研 究 

2 0 1 4 年第 1 期 



号  + ÷  

≥ s .  

一 s .  

一 百   每一 一   t — +4 + 4  ≤  
一  
— -


一  ’  

一 s ,  

当且仅 当 一÷ , 即t 一2 , 亦 即 z一1时取等 号 , 此 

当且仅当÷ x y =z   且z   3 J 一2 , 即z —l ,   一2 时取  
等号 , 故所 求的最小值为 3 .  

时 … 一3 .  

2 . 8 注 意 引 参 
有 些 最 值 问 题 无论 是 乘 “ 1 ” 、 配 系数 , 还是添 项 、 拆 

例7  已 知o <z <÷ , 求函数  — n  ( 1 - a x ) 的  
最大值.   解 析 :由 题 意 知 a x >O , 1 -a x >O , 又 

项或平方均不奏 效 , 此时可 考虑 引入参数 , 把 问 题 转 化  为 对 参 数 的讨 论 , 使 参 数 在 用 均 值 不 等 式 解 题 中 起 到 


个桥 梁 的作 用 .  

—n   z   ( 1 一n z ) 一÷ n   ?a x( 2— 2 a x ) ≤ 

例l 0 求 函 数 — x ( x +3 ) ( 5 一z ) ( O <z <5 ) 的 最 
大值.  

1厂 L n ———  z + a z +2 ( 2 —一 一 a x ) ] _ J 。 一   4  
‘ 

解 析 :因为 z +( - z +3 ) +( 5 一z ) 不是常数 , 用 均 值 不  等 式无 能 为力 , 若 调 整 三 个 因 式 的 系数 , 使 它们 均 为 正且 

当且 仅 当 a X =2 —2 a x, 即z 一   时取等号 , 所以 当  
z 一   3 a 时,   一  .  

和 为定 值 , 又要 使它 们 相等 时 的 z值 存 在 , 系 数难 确 定 . 从 
整 体考 虑 , 对其 一般 化 , 用 待 定 系数 法则 易处 理 .   设 m   —mz?(  + 3 )?  ( 5 一z ) ( 其 中 正 数 Ⅲ、   为 待 定 系数 ) , 令 
mz+ ( z+ 3 ) + ( 5 一  ) 一( m + 1一 n) z+ ( 3+ 5 n )  

2 . 6   注 意 平 方 

当 函数 恒 为 正 值 时 , 有 时 平 方 目标 函数 可 达 到 凑 
和 为定 值 的 目的 .   例 8   若 a 、 b 、 C ∈R  , 且 a+ b +C 一1 , 求 “一  

为 常数 , 则 
m+1一 一0   ① 

V q  ̄ T- f + ̄ /  。 干T+  ̄ /  干T的最大值.  
解 析 :因为 “ ≥o , 所 以 

由 mz一3 + , 得 z一÷
5n~ 3  

; 由3 + 一  ( 5 一z) , 得 

U 2 —4 ( a+ b+ C ) +3 + 2、 / 厂   干T   2、   F  +  ̄ /   F   而

+  



 
’  

≤7 +( 4 a +  

若 满 足 mz —z +3 一n ( 5 一z ) > O的  存 在 , 则 


拍+2 ) +( 4 a+ 4 c +2 ) + ( 4 b 4 - 4 c +2 ) =1 3 + 3( Ⅱ+ b+ 

5 n- -3  




m一1  

, 2 4 - 1  

c ) 一2 1 , 即“ ≤  2 1 .  

当且仅 当 4 D +1 —4 b +1 —4 c + 1且 a +b - t - c :1 , 即  

由① 、 ②解得 m=2 ,  一3或 m:一 ÷ , ( 因 m 为 
正 , 故舍去 ) , 这 样 就 有 
2× 3 y : 2 x (z + 3) × 3 (5 一 z ) ≤  
6 。 .  

n 一6 一C 时取等号 , 这时 U … 一、 / ,  
2 . 7   注 意换 元 

通 过 换 元 改 变 式 子 的结 构 , 使 问题 变 得 更 加 明 显 ,   从 而 发 现 使 用 均 值 不 等式 的 方 法 .  

r   2 z +( z +3 ) +3 ( 5 -x ) ] 。   : L   3   j  
号, 故 Y … 一3 6 .  

例 9求 函 数   一 等 Z 量 -   厂 6   J   (   > 一 1 ) 的 最 大 值 .  
解 析 :因 为 z > 一1 , 所 以 z+ 1 > 0 , 令 t — z+  1 , 则 有 

当且仅当 2 x =z +3 =   3 ( 5~ z) , 即 z一 3时 取 等 

[ 责 任编 校

钱骁 勇]  

( 上接第 6 1页 )  
变 形 构 造 恰 当 的辅 助 函数 , 借 助导数 这一 有效工 具 , 通  过 讨 论 函数 的单 调 性 、 极 值 等 使 问题 得 到 解 决 .  

( 2 )当做 题 时 遇 到 一 个 复 杂 的 问题 , 我 们 一 般 应 该  怎么办?引导 学生 将 复杂 的 问题简 单 化 , 寻 找 类 似 的 

5   感  悟 
( 1 )教 学 中 注 意 低 起 点 、 重探究 、 求 能力 的 同 时 , 还 

简 单 问 题 的解 决 方 法 .   ( 3 )在 数 学 教 学 中始 终 贯 穿 数 形 结 合 思 想 , 它 是 数  学 中最 重 要 也 是 最 基 本 的 思 想 方 法 之 一 , 中 学 数 学 研 
究 的 对 象 可 分 为两 大 部 分 , 一个部 分是 数 , 另 一 部 分 是  形. 正所 谓 是 “ 数 形 结合 百 般 好 , 隔列分家万事休” .  

注重抓住分 析问 题 、 解决 问题 中的信 息点 、 易错 点、 得  分点 , 培 养 良好 的 审 题 、 解题 习惯 , 养成规 范作答 、 不 容  失 分 的 习惯 , 培 养 学 生 扎 实 的数 学 功 底 .  

[ 责任 编校



蓓]  


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