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浙江省温州市十校联合体2013-2014学年高二数学上学期期末联考试题 理


浙江省温州市十校联合体 2013-2014 学年高二数学上学期期末联考 试题 理 新人教 A 版
选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 。 1.若直线 y=0 的倾斜角为 α ,则 α 的值是( )

? A.0 B. 4

? C. 2

r />D.不存在

x2 y2 ? ?1 4 2. 已知椭圆 8 上一点 P 到右焦点的距离是 1, 则点 P 到左焦点的距离是 (
A. 2 2 B. 4 2 C. 2 2 ? 1 D. 4 2 ? 1 3.在空间直角坐标系中,点 P(1,3,-5)关于平面 xoy 对称的点的坐标是 ( A.(-1,3,-5) B.(1,3,5) C..(1,-3,5) D.(-1,-3,5)
2 2



)

4.设 p : b ? 4ac ? 0(a ? 0) , q : 关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有实根,则

p 是 q 的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 设 (

m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列四个命题中假命题的是
) B.若 m // n, , m ? ? , 则 n ? ? D.若 ? // ? , ? // ? , m ? ? ,则 m ? ? )

A.若 m ? ? , n // ? , 则 m ? n C.若 l // ? , ? ? ? , 则 l ? ?

6.命题“若 a , b 都是奇数,则 a ? b 是偶数”的逆否命题是( A.若 a , b 都不是奇数,则 a ? b 是偶数

B.若 a ? b 是偶数,则 a , b 都是奇数

C.若 a ? b 不是偶数,则 a , b 都不是奇数 D.若 a ? b 不是偶数,则 a , b 不都是奇数

7.空间四边形 ABCD 中, AD=BC=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点, EF= 所成的角为( ) A.30° B. 60° C.90° D.120° 8.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与 该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )

3, 则异面直线 AD,BC
E B C

A

D F

A. 2
2 2

B. 3

3 ?1 C. 2

5 ?1 D. 2

9. 若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为

2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是(
?? ? ? ?12 , 4 ? ? A. ? ? ? 5? ? ?12 , 12 ? ? B. ?

)

?? ? ? ?6 , 3? ? C. ?
2

? ?? ?0, 2 ? ? D. ?

10.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分 ,它的方程是 x ? 2 y?0 ? y ? 20? .在杯内放入一 个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径 r 的范围是( A.0<r≤1 B.0<r<1 C.0<r≤2 D.0<r<2 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知命题 p: ?x ? R,sin x ? 1, 则?p为 。 )

12.已知某几何体的三视图(单位: cm)如右图所示,则该几何体的体 积是 。 第 12 题图 13.在二面角 ? ? l ? ? 中, A ? l , B ? l , AC ? ? , BD ? ? , 且

AC ? l , BD ? l , 若 AB ? 1,

AC ? BD ? 2 , CD ? 5 , 则 二 面 角 ? ? l ? ? 的 余 弦 值 为
________________。 14.已知抛物线 y ? ?4x 上一点 A 到焦点的距离等于 5,
2

则 A 到坐标原点的距离为



15.过点 P(3,4)的动直线与两坐标轴的交点分别为 A、B, 过 A、B 分别作两轴的垂线交于点 M,则点 M 的轨迹方程是
2 2 2 2



第 13 题图

x y x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ? ?1 2 b 16.若 F1,F2 是双曲线 a 与椭圆 25 9 的共同的左、右焦点,
点 P 是两曲线的一个交点,且 是 。

?PF1F2 为 等 腰 三 角 形 , 则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程
1 2 4 ,抛物线 y ? x 上一动点 P 到直线 l1 和

17.已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和直线 直线 2 的距离之和的最小值是

l 2: y ? ?

l



三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。

x2 y2 ? ?1 18.(本小题 12 分)已知命题 p : 方程 2m m ? 2 表示焦点在 x 轴上的双曲线。 命题 q :
2 曲线 y ? x ? (2m ? 3) x ? 1与 x 轴交于不同的两点,若 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,

求实数 m 的取值范围。

19.(本小题 12 分)已知曲线 C 上的动点 P ( 距离之比为 2 (1)求曲线 C 的方程。

x, y ) 满足到定点 A(-1,0)的距离与到定点 B (1,0)

(2)过点 M(1,2)的直线 l 与曲线 C 交于两点 M、N,若|MN|=4,求直线 l 的方程。

20.(本小题 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为一直角梯形,侧面 PAD 是等边 三角形,其中 BA ? AD, CD ? AD , CD ? 2 AD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面 ABCD , E 是

PC 的中点.
(1)求证: BE //平面 PAD ; (2)求 BC 与平面 BDE 所成角的余弦值; (3)线段 PC 上是否存在一点 M,使得 AM⊥平面 PBD,如果存在,求出 PM 的长度;如果不存 在,请说明理由。
P E

D

C

A

B

21.(本题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,左顶点 A?? 2,0? ,离心率 为右焦点,过焦点 F 的直线交椭圆 C 于 P 、 Q 两点(不同于点 A ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

e?

1 2 ,F

(Ⅱ)当 ?APQ 的面积

S?

18 2 7 时,求直线 PQ 的方程;

(Ⅲ)求 OP FP 的范围.

2013 学年第一学期温州市十校联合体期末考试 高二数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 D 7 B 8 D 9 B 10 A

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

?x ? R, sin x0 ? 1 11. 0

? 12. 3

1 13. 2

14. 4 2

3 4 ? ?1 xy ? 4 x ? 3 y ? 0 x y 15. (注: 不给分)
p 真得: m ? 2

y??
16.

7 x 3

17.

2 _

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 18.解:若 ??2 分;

若 q 真得: ∵

m?

5 1 m? 2或 2

??4 分;

p ? q 为假命题, p ? q 也为真命题


p, q 命题一真一假

??6 分;



p 真 q 假:

2?m? 1 2

5 2;

??8 分;

p q 若 假 真:

m?

??10 分

∴实数 m 的取值范围为:

2?m?

5 1 m? 2或 2

??12 分

19.解: (1)由题意得|PA|= 2 |PB| 故

??2 分; ??3 分;
2 2

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2
2 2

化简得: x ? y ? 6 x ? 1 ? 0 (或 ( x ? 3) ? y ? 8 )即为所求。 (2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,

??5 分;

将 x ? 1 代入方程 x ? y ? 6 x ? 1 ? 0 得 y ? ?2 ,
2 2

所以|MN|=4,满足题意。 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? k +2

??8 分;

d ?2?
由圆心到直线的距离

| 3k ? k ? 2 | 1? k 2
??10 分;

解得 k ? 0 ,此时直线 l 的方程为 y ? 2 综上所述,满足题意的直线 l 的方程为: x ? 1 或 y ? 2 。 20.解 (1)取 PD 中点 F,连接 AF, EF ??12 分.

1 EF / / CD 2 则 ,
又 BA ? AD, CD ? AD , CD ? 2 AD ? 2 AB

P E

N F D

1 AB / / CD 2 ∴
A B

G

C



EF / / AB
-------------------2 分

∴四边形 ABEF 是平行四边形 ∴AF∥BE

又 AF ? 平面 PAD, BE ? 平面 PAD -------4 分

∴ BE //平面 PAD (2)过 C 作 DE 的垂线,交 DE 的延长线于 N,连接 BN ∵平面 PAD ? 底面 ABCD , CD ? AD ∴ CD ? 平面 PAD ∴ CD ? AF 又 AF⊥PD, PD ? CD ? D

∴AF⊥平面 PCD ∴BE⊥平面 PCD ∴BE⊥CN,又 CN⊥DE, DE ? BE ? E ∴CN⊥平面 BDE ∴ ? CBN 就是直线 BC 与平面 BDE 所成角 ------7 分

CN ?
令 AD=1,,易求得

2 5 5 , BC ? 2

CN 2 ? 5 ∴sin ? CBN= BC

15 ∴cos ? CBN= 5 15 故 BC 与平面 BDE 所成角的余弦值为 5

------9 分

(3)假设 PC 上存在点 M,使得 AM⊥平面 PBD 则 AM⊥PD,由(2)AF⊥PD ∴PD⊥平面 AFM,又 PD⊥平面 ABEF 故点 M 与 E 重合。 ----11 分 取 CD 中点 G,连接 EG,AG 易证 BD⊥AG,又 BD⊥AE ∴BD⊥平面 AEG ∴BD⊥EG ∴BD⊥PD,又 PD⊥CD ∴PD⊥平面 BCD 从而 PD⊥AD,这与⊿PAD 是等边三角形矛盾 故 PC 上不存在点 M 满足题意。 -----------14 分 20. (另解坐标法) 证明:取 AD 中点 O,连接 PO∵侧面 PAD 是等边三角形 ∴PO⊥AD 又∵平面 PAD ? 底面 ABCD , ∴PO⊥平面 ABCD 设 AB ? 2a ,如图建立空间坐标系,则
P z

??2 分

A(a,0,0), B(a, 2a,0) , P(0,0, 3a) ,

E

C (?a, 4a,0), D(?a,0,0)

D


A x B

C y

a 3a E (? , 2a, ) 2 2 . BE ? (?
(1)

??3 分

3a 3 , 0, a) 2 2 , AD ? (?2a,0,0), AP ? (?a,0, 3a) ,

BE ?
所以

1 1 AD ? AP 2 2 ,
------------------5 分

∵ BE ? 平面 PAD ,∴ BE / / 平面 PAD .

1 3 DE ? ( a, 2a, a), DB ? (2a, 2a,0) 2 2 (2) ,

设平面 BDE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z)



n ?0 {DE DB n ? 0

求得平面 BDE 的一个法向量为 n ? (1, ?1, 3) ;????7 分

cos ? n, BC ??

?4a 10 ?? 5 5 ? 8a



----------------------------------8 分

15 所以直线 BC 与平面 BDE 所成角的余弦值为 5 。 ??10 分
(3)设存在点 M( ( x, y, z ) 满足 AM⊥平面 PBD,则 M、P、C 三点共线 因为 PC ? (?a, 4a, ? 3a) ,所以存在实数 ? ,使得

PM ? ? PC



( x, y, z ? 3a) ? ?(?a, 4a, ? 3a)

----------------------------------11 分

∵AM⊥平面 PBD



{AM AM

DP ? 0 DB ? 0

得 a ? 0 (不合题意) 点 M 满 足 题 意 。

故 在 线 段 上 不 存 在 -----------------------------------14 分

c 1 x2 y2 a ? 2, e ? ? , ? 2 ?1 2 a 2 b 21.解: (Ⅰ)设椭圆方程为 a (a>b>0) ,由已知
∴ ---------------------------------------2 分 ∴ 椭 圆 方

c ? 1 , b2 ? a2 ? c2 ? 3 ,
程 为

x2 y2 ? ?1 4 3 .

---------------------------------------------4 分(Ⅱ)

解法一: 椭圆右焦点 F ?1,0? . 设直线 P Q 方程为 x ? my ? 1 ( m ∈R) .------5 分

? x ? my ? 1, ? 2 ?x y2 ? 1, ? ? 3 由? 4
显 然 , 方

得 3m ? 4 y ? 6my? 9 ? 0 .①
2 2

?

?

-----------6 分







??0





P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y2 ?







y1 ? y2 ? ?

6m 9 , y1 y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4 .

---------8 分

3 36m 2 36 18 2 1 ? | AF | | y1 ? y2 | S? 2 2 2 (3m ? 4) 3m 2 ? 4 7 =2 由 ?APQ 的面积 =
解得: m ? ?1 . ∴直线 PQ 方程为 x ? ? y ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . ----------10 分

PQ ?
解法二:

?m
2

2

? 1 ? y1 ? y2 ? ?
2

?

?m

2

? 36m2 36 ? ? ?1 ? ? 2 2 ? 3m2 ? 4 ? 3 m ? 4 ? ?

?

?

?

? 12

?m ?3m

2 2

?1

? ? 4?

2

? 12 ?

m2 ? 1 3m 2 ? 4
?



----------------------6 分

d?
点 A 到直线 PQ 的距离

| ?2 ? 1| 1 ? m2

3 1 ? m2
----------------------8 分

2 18 2 1 | PQ | d ? 1 12 m ? 1 S? 2 3m2 ? 4 7 =2 由 ?APQ 的面积

3 m2 ? 1
解得 m ? ?1 . ----------10 分 ,不合题意. ------5 分

∴直线 PQ 方程为 x ? ? y ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 解法三: 椭圆右焦点 F ?1,0? .当直线的斜率不存在时,

PQ ? 3

当直线的斜率存在时,设直线 P Q 方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ? x ? 1?, ? 2 3 x ? 4 y 2 ? 12, 由?

得 3 ? 4k x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 .
2 2 2 2

?

?



----6 分

显然,方程①的 ? ? 0 . 设 P?x1 , y1 ?, Q?x2 , y2 ? ,则

x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 .

--------7 分

PQ ?

?1 ? k ???x ? x ?
2 1 2

2

? 4 x1 ? x2

?

?

?

?? 8k 2 ? 2 4k 2 ? 12 ? ? ? 1 ? k ?? ? 4 ? ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ? ? ? ? ? ?
2

?

12
=

?k ? 1? ?4k ? 3?
2 2 2

2

? 12

k 2 ?1 4k 2 ? 3



----------- ----------8 分

d?
点 A 到直线 PQ 的距离

| ?2k ? k | 1? k
2

?

| 3k | 1? k 2
----------------9 分

2 18 2 1 | PQ | d ? 1 12 k ? 1 S? 2 4k 2 ? 3 7 =2 由 ?APQ 的面积

| 3k | k 2 ?1
解得 k ? ?1 .

∴直线 PQ 的方程为 y ? ??x ? 1? ,即 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . ---------10 分
2 x0 y2 ? 0 ?1 (x , y ) 3 (Ⅲ)设 P 的坐标( 0 0 则 4
2 y0 ? 3?



3 2 x0 4



2 2 OP FP ? ( x0 , y0 ) ? ( x0 ?1, y0 ) ? x0 ? x0 ? y0

?

1 2 1 x0 ? x0 ? 3 ? ( x0 ? 2) 2 ? 2 4 4

------------------

--------------12 分 ∵

?2 ? x0 ? 2



OP FP











2,6



------------------------------------------14 分 (注:以上解答题其他解法相应给分)


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