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2016年福建高职招考数学模拟试题:点与圆的位置关系


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2016 年福建高职招考数学模拟试题:点与圆的位置关系
【试题内容来自于相关网站和学校提供】

1: 若⊙O 的半径为 r,点 P 到圆心 O 的距离 d 不大于 r,则点 P( A、在⊙O 内 B、在⊙O 外 C、不在⊙O 内 D、不在⊙O 外 )

2: 以线段 AB:x+y﹣2=0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )

A、

B、

C。

D、

3:点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y =1 的内部,则 a 的取值范围是 A.|a|<1 B.a< C.|a|< D.|a|<

2

2

4:

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已知 A 为圆 A: A、点 P 在圆 A 上 B、点 P 在圆 A 内 C、点 P 在圆 A 外 D、无法确定 的圆心,平面上点 P 满足 PA=

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,那么点 P 与圆 A 的位置关系是(



5: 以两点 A(﹣3,﹣1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )

A、

B、

C、

D、

6:

当 a 为任意实数时, 直线

恒过定点 C, 则以点 C 为圆心,

为半径的圆的方程是________.

7: 如果直线

和函数

的图象恒过同一个定点, 且该

定点始终落在圆

的内部或圆上,那么

的取值范围__________.

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8:

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圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点

的圆的方程是________.

9: 圆(x+3) +(y- 1) =25 上的点到原点的最大距离是.
2 2

10:如果圆(x-2a) +(y-a-3) =4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围是________。

2

2

11: (本小题满分 12 分) 设直线 (I)证明 与 相交; (II)证明 与 的交点在椭圆

12: 已知实数 x、y 满足方程 x + y -4x+1=0 求:
2 2

(1)

的最大值;

(2)y-x 的最小值.

13:

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在气象台 A 正西方向 300 千米处有一台风中心,它以每小时 40 千米的速度向东北方向移动,距台风中心 250 千 米以内的地方都要受其影响.问: 从现在起, 大约多长时间后, 气象台 A 所在地将遭受台风影响?持续多长时间?

14: 一个圆经过 A(10,5),B( -4,7)两点,半径为 10,求圆的方程.

15: 一个圆经过点 A(5,0)与 B(﹣2,1) ,且圆心在直线 x﹣3y﹣10=0 上,求此圆的标准方程.

答案部分

1、D 已知点 P 到圆心 O 的距离 d 不大于 r,当大于 r 时点 P 在圆外,因而则点 P 不在⊙O 外。 故选 D、

2、B ∵线段 AB:x+y﹣2=0(0≤x≤2)两个端点为(0,2) 、 (2,0) , ∴以线段 AB:x+y﹣2=0(0≤x≤2)为直径的圆的圆心为(1,1) ,

半径为 故选:B、



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3、D 点 P 在圆(x-1) +y =1 内部 (5a+1-1) +(12a) <1
2 2 2 2

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|a|< .

4、C

A 为圆 A:

的圆心,

圆的半径为 5,平面上点 P 满足 PA=







∴点 P 与圆 A 的位置关系是:点 P 在圆 A 外。 故选:C、

5、A

由题意可得,圆心为线段 AB 的中点 C(1,2) ,半径为 r=

AB=

=5,

故要求的圆的方程为 故选:A、



6、

将直线方程整理为 .



可知直线恒过点

,从而所求圆的方程为

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7、

试题分析:由题意可知,定点为

,所以

,即

,因为定点始终落在圆 ,即 ,

的内部或圆上,所以



,得



,所以

.

考点:点和圆的位置关系.

8、

设圆的方程为

,将

代入



.

9、5+ 可画图,所求最大距离为圆心与原点的距离再加上半径.

10、
2 2 2 2

因为圆(x-a) +(y-a) =8 和圆 x +y =1 相交,两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和,可知结论为

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11、 (I)反证法,见解析; (II)交点 P 在椭圆

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(I)本小题不易直接证明,因而可考虑采用反证法,先假设 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平行可得 k1=k2,这样可以推证 与已知条件矛盾.从而问题得证. (II)先根据 l1 和 l2 的方程联立解方程组可求出其交点坐标,然后代入椭圆方程证明方程成立即可. 证明: (I)反证法,假设是 l1 与 l2 不相交,则 l1 与 l2 平行,有 k1=k2,代入 k1k2+2=0,得 此与 k1 为实数的事实相矛盾. 从而 相交. …………5 分

(II) (方法一)由方程组

解得交点 P 的坐标



而 此即表明交点 (方法二)交点 P 的坐标 满足 …………12 分

整理后,得

所以交点 P 在椭圆

12、 (1)

; (2)

.

将 x + y -4x+ 1 =0、

2

2

、y-x 赋予几何意义,利用数形结合来解决.

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将实数 x、y 看做点 P(x,y)的坐标,满足 x + y -4x+ 1 =0 的点 P(x,y)组成的图
2 2

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形是以 M(2,0)为圆心,半径为

的圆,如图所示.

(1)设

,即

是圆上的点 P 与原点 O 连线的斜率.

由图可知,直线 y=kx 和圆 M 在第一象限相切时,k 取最大值.

此时有 OP⊥PM,|PM|=

,|OM|=2,∴∠POM=60°.

此时 k= tan 60°=

,∴

的最大值为

.

(2)设 y-x=b,则 y=x+b,b 是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距.由图可知,当直线 y=x+b

和圆 M 在第四象限相切时, b(b<0)取最小值,此时有 .

,解得

,∴y- x 的最小值是

13、2 小时后,大约持续 6 小时 37 分. 以气象台为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向,建立平面直角坐标系,则现在台风中心 B 的坐标为(-300,0).根 据题意可知,t 小时后,B 的坐标为(- 300 + 40tcos 45°,40tsin 45°),即(- 300 + 20 t,20 t ).因为以台风中心

为圆心,以 250 千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以 A 在圆上或圆内时,气象台将受台风影响. 所 以 令 | AB | ≤250 , 即 ( - 300+20 t) +(20
2

t) ≤250 , 整 理 得 16t - 120

2

2

2

t+ 275≤0 , 解 得

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,即 2. 00≤8. 61,8.61-2.00=6. 61(小时).故大约 2 小时后,气象台 A 所在地将遭 受台风影响,大约持续 6 小时 37 分.

14、(x-2) +(y+l) =100 或(x-4) + (y-13) =100 解法一:设圆心为(a,b),

2

2

2

2

∴ ①-②整理得 7a-b-15 =0,即 b=7a-15,③ 将③代入①得 a -6a+8=0. :.a=2 或 a=4,则 b=-1 或 b=13. 故所求圆的方程为(x-2) +(y+l) =100 或(x-4) + (y-13) =100.
2 2 2 2 2

解法二:AB 的垂直平分线方程为 y-6= 设圆心为(a,b),由于圆心在 AB 的垂直平分线上, ∴b=7a-15.① 又∵(a-10) +(6-5) =100,② 将①代入②可得 a=2 或 d = 4.(以下同解法一)
2 2

,即 y=7x-15.

15、

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可用待定系数法或几何法求出圆心坐标与半径长. 方法一:设圆心 P(a,b) ,则有

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解得

于是圆的半径长 r= ∴圆的标准方程为(x﹣1) +(y+3) =25.
2 2

.

方法二:由题意易知,线段 AB 的中点坐标为(



) ,即(



).

直线 AB 的斜率 k=

.

于是,弦 AB 的垂直平分线的方程为

,即 7x﹣y﹣10=0.

解方程组



即圆心坐标为(1,﹣3).

于是,圆的半径长 r=
2 2

=5.

∴圆的标准方程为 (x﹣1) +(y+3) =25.


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