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【原创精品资料】3.3《三角函数的恒等变换》错误解题分析


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3.3《三角函数的恒等变换》错误解题分析
一、知识导学 1、两角和、差、倍、半公式 (1)两角和与差的三角函数公式

sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos?

cos ? ? sin ? sin ?

tan( ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

(2)二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

(3)半角公式

sin 2

1 ? cos ? 1? c o s ? 2 ? ? , cos , 2 2 2 2 ? sin ? 1 ? cos ? tan ? ? 2 1 ? cos ? sin ? ?

?

tan 2

?
2

?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

2、恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形,常见于化简求值和恒等式证明。恒 等式证明就是利用公式消除等式两边的差异, 有目的地化繁为简, 使左右相等, 常用方法为: (1)从一边开始证得它等于另一边,一般由繁到简;(2)证明左右两边都等于同一个式子 (或数值)。 二、疑难知识导析 1、两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律,常用于解 决求值、化简和证明题。 2、倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律。如

sin 2? ? 2 sin ? cos ? 成立的条件是“ ? 是任意角, 2?是? 的 2 倍角”,精髓体现在角的“倍
数”关系上。 3、公式使用过程中(1)要注意观察差异,寻找联系,实现转化,要熟悉公式的正用逆用和
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变形使用,也要注意公式成立的条件。例 tan? ? tan ? ? tan( ? ? )(1 ? tan? tan ? ) 、 ?

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 、 cos ? ? 等。 2 2

4、三角公式由角的拆、凑很灵活。如 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 、 ? ? (? ? ? ) ? ? 、

??

???
2

?

???
2



???
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

? ? ) 等,注意到倍角的相对性。

5、化为三角函数式,常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次,切割化弦、特殊值与特 殊角的三角函数互化等。 6、三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式 (1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找 突破口。 (2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形。采 用消去法或基本量法等求证。 三、典型例题导讲 [例 1] 在?ABC 中,2sinA+cosB=2,sinB+2cosA= 3 ,则?C 的大小应为( A、 )

? 6

B、

? 3

C、

? 5 或 ? 6 6

D、

? 2? 或 3 3

【错解】C 【错因】求角 C 有两解后未代入检验。 【正解】A [例 2] 已知 tan? tan?是方程 x2+3 3 x+4=0 的两根,若?,??(A、

? ?

, ),则?+?=( 2 2



? 3

B、

? 2 或- ? 3 3

C、-

? 2 或 ? 3 3

2 D、- ? 3

【错解】B。 【错因】未能准确限制角的范围。 【正解】D。
n n [例 3] 若 sin? ? cos? ? 1 ,则对任意实数 n,sin ? ? cos ? 的取值为(



A、 1 【错解】C

B、 区间(0,1)

C、

1 2 n?1

D、 不能确定

【错因】此题极易认为答案 A 最不可能,怎么能会与 n 无关呢?其实这是我们忽略了一个
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2 2

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隐含条件 sin ? ? cos ? ? 1,导致了错选为 C 或 D。 【正解】解法一 设点 (sin?, cos? ) ,则此点满足

?x ? y ? 1 ? 2 2 ?x ? y ? 1

解得 ?

?x ? 0 ?x ? 1 或? ?y ? 1 ?y ? 0

即?

?sin? ? 0 ?sin? ? 1 或? ?cos? ? 1 ?cos? ? 0

?sin n ? ? cosn ? ? 1

?选 A
解法二:用赋值法,令 sin? ? 0, cos? ? 1 同样有 sin ? ? cos ? ? 1
n n

?选 A
[例 4] △ABC 中,已知 cosA= A、

16 65

5 3 ,sinB= ,则 cosC 的值为( 13 5 56 16 56 B、 C、 或 65 65 65

) D、 ?

16 65

【错解】C 【错因】是忽略对题中隐含条件的挖掘。 【正解】A [例 5] 已知 sin ? ? A、

4 ? 2m m?3

m?3 4 ? 2m ? , cos ? ? ( ? ? ? ? ),则 tan ? ? ( m?5 m?5 2 m?3 5 3 5 B、 ? C、 ? D、 ? 或 ? 4 ? 2m 4 12 12



【错解】A 【错因】是忽略 sin ? ? cos ? ? 1 ,而解不出 m
2 2

【正解】C

sin 7 ? ? cos15? ? sin 8? [例 6]求值: =_______________ cos 7 ? ? sin 15? ? sin 8?
解:答 2- 3 解法一
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原式 ?

sin 15? ? cos 8? sin(15? ? 8? ) ? cos15? ? sin 8? ? ? tg15? ? tg(45? ? 30? ) cos(15? ? 8? ) ? sin 15? ? sin 8? cos15? ? cos 8?

3 3 ? 3? 3 ? 2 ? 3 ? 3 3? 3 1? 3 1?
解法二
1 (sin 23? ? sin 7 ? ) 2 原式 ? 1 cos 7 ? ? (cos 23? ? cos 7 ? ) 2 ? sin 23 ? sin 7 ? ? cos 23? ? cos 7 ? 2 sin15? cos 8 ? ? 2 cos15? ? cos 8 ? ? tg15? ? … (余同解法一) sin 7 ? ?

[例 7] 已知 ? 是第三象限的角,若 sin ? ? cos ? ?
4 4

5 ,则 sin 2? 等于( 9
D、 ?



A、

2 2 3

B、 ?

2 2 3

C、

4 3

2 3

【答案】选 A。
4 4 【解析】 sin ? ? cos ? ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) 2 ? 2 sin 2 ? cos2 ? ? 1 ?

1 2 5 sin 2? ? 2 9

? sin 2 2? ?

8 9

3? 2 ? 4 k? ? 2? ? 2? ? 4 k? ? 3?(k ? Z) ? sin 2? ? 0 ? 2 k? ? ? ? ? ? 2 k? ? ? sin 2? ? 2 2 3

1 [例 8] 化简sin2 ? ? sin2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos 2? ? cos 2? 2

【分析】对三角函数式化简的目标是: (1)次数尽可能低; (2)角尽可能少; (3)三角函数名称尽可能统一;
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(4)项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现: (1)次数为 2(有降次的可能); (2)涉及的角有α、β、2α、2β,(需要把 2α化为α,2β化为β); (3)函数名称为正弦、余弦(可以利用平方关系进行名称的统一); (4)共有 3 项(需要减少),由于侧重角度不同,出发点不同,本题化简方法不止一种。 解法一:(复角→单角,从“角”入手) 原式 ? sin ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ?
2 2 2 2

1 ? (2 cos 2 ? ? 1)( 2 cos 2 ? ? 1) 2

1 (4 cos2 ? ? cos2 ? ? 2 cos2 ? ? 2 cos2 ? ? 1) 2 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2 1 1 1 ? sin ? ? ? cos 2 ? ? ? 1 ? ? 2 2 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ?
解法二: (从“名”入手,异名化同名)

原式 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ? ) ? cos2 ? ? ? cos2 ? ? sin 2 ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ?

1 cos 2? ? cos 2 ? 2

1 cos 2? ? cos 2 ? 2

1 cos 2? ? cos 2 ? 2 1 ? cos2 ? ? cos 2? ? (sin 2 ? ? cos 2? ) 2

?
?

1 ? cos 2? 1 ? ? ? cos 2? ?sin 2 ? ? (1 ? 2 sin 2 ? )? 2 2 ? ?
1 ? cos 2 ? 1 1 ? cos 2 ? ? 2 2 2

解法三 (从“幂”入手,利用降幂公式先降次)

1 ? cos 2? 1 ? cos 2 ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? ? ? ? cos 2? ? cos 2? 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? cos 2? ? cos 2? ? cos 2? ? cos 2? ) ? (1 ? cos 2? ? cos 2 ? ? cos 2? ? cos 2? ) 4 4 1 1 1 1 ? ?c o s? ?c o s ? ? ? ? 2 2 2 4 4 2 原式 ?
解法四 (从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)
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原式 ? (sin ? ? sin ? ? cos? ? cos ? ) 2 ? 2 sin ? ? sin ? ? cos? ? cos ? ? 1 1 sin 2? ? sin 2 ? ? cos 2? ? cos 2? 2 2 1 ? cos2 (? ? ? ) ? ? cos(2? ? 2 ? ) 2 1 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? ? 2 cos2 (? ? ? ) ? 1 ? 2 2 ? cos2 (? ? ? ) ?

1 cos 2? ? cos 2? 2

?

?

【点评】在对三角式作变形时,以上四种方法,提供了四种变形的角度,这也是研究其他 三角问题时经常要用的变形手法。

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