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求函数值域


函数值域的求法





1)什么叫函数的值域?函数的值域应该怎样表示? 答:由自变量对应的所有函数值构成的集合叫 函数的值域。函数的值域应该用集合的描述法或区 间表示。 2)正比例函数y=kx、一次函数y=ax+b的值域分别 是什么? 答:都是R。 k 3)反比例函数 y ? (k ? 0)的值域是什么? x ?y 答: y ? R且y ? 0? 。
4)二次函数y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)的值域是什么?
? ? 4ac ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? 答:a ? 0时为? y y ? ?;a ? 0时为? y y ? ?。 4a ? 4a ? ? ?

三.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域: 1.问题:初中学过哪些函数?它们的定义域、值域、对 应法则分别是什么?
一次函数 函 数 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) a>0 a<0 反比例函数

y=ax+b (a≠0)

k y ? (k ? 0) x k x→ x

对应关系 定义域
值 域

x→ax+b b ? 2a R
R

x→ R

ax2+bx+c
R

{x|x≠0} {y|y≠0}
? b 2a

4ac - b 2 4ac - b 2 {y|y≥ } {y|y≤ } 4a 4a

对于一元二次函数y=ax2+bx+c

(a≠0) ,当a>0时,那么x=

b 4ac ? b 2 4ac ? b 2 时取得最小值 ,当a<0时,那么x= ? 2a 时取得最大值 4a 4a

无论采用什么方法 求函数的值域,均应优 先考虑定义域。 求函数值域没有通用 的方法和固定的模式。只 能依据函数解析式的结构 特征来确定相应的解法。

方法一

直接法

根据基本函数的值域及不等式性质、非负数性质,通过观 察分析直接得出函数值域的方法叫直接法。也叫观察分析法。 ——常用于一些解析式结构比较简单的函数。

题组1:求下列函数的值域:(抢答)

1) y ? x ? 1;
3) y ? 1 ? 2x ;

2) y ? 2 ? x ;
2

4) y ? 2x ? x ? 2
4 2

答:?1,???; ?? ?,2? 3)?0,???; ?? 2,???。 1) 2) ; 4)

题组2:求下列函数的值域:(每组选答一题)

1) y ? ( x ? 1) ? 2( x ? 0);
2

2) y ? 1 ? x ? x ? 1;

3) y ?

25 ? x ;
2

1 4) y ? 。 2 2? x
? 1? 答:?3,???;2)? ? 3)?0,5? 4)? 0, ?。 1) 0; ; 2? ?

例题1

求下列函数的值域:

5x ? 1 1) y ? ; 方法二 4x ? 2

分离常数法

把已知函数分离成一个常数与另一个函数 的和,从而求得函数值域的方法叫分离常数法。 ——常用于分子分母都是一次式的分式函数。

2) y ? ? x ? 2 x ? 2。 方法三
2

配方法

通过把已知函数(或其部分)配成完全平方, 再利用非负数的性质求得函数值域的方法叫配方法。 ——常用于二次函数及与其有关的函数。

解析:

因为y ?

2x ?1 启示:让我们先看看如何求函数y ? 的值域。 k x ?1 2x ?1 1
x ?1 =2 ? x ?1 。 由反比例函数y ?

x

(k ? 0)的值域知,

1 1 不能为0, 那么y ? 2 ? 中y ? 2, x ?1 x ?1

2x ? 1 即是说函数 y ? 的值域为 ?y y ? R且y ? 2? 。 x ?1 说明:分子分母都是一次式的分式函数可以分离成一个常 数与一个反比例型函数的和。
5 10 ( 4 x ? 2) ? 1 ? 5x ? 1 4 7 5 4 ?5? 于是有: y ? 1 ) ? ?y? 。 4x ? 2 4x ? 2 4 2(4 x ? 2) 4
? 5? 故所求函数的值域为 y y ? R且y ? ?。 ? 4? ?

启示2 由二次函数 ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)的值域是 y 通过配方法(也可用判 别式法或图象法)求得 的。

所以用配方法解2)得:

由? x2 ? 2 x ? 2 ? 0得 1 ? 3 ? x ? 1 ? 3。
当 ? 3 ? x ? 1 ? 3时,因为? 3 ? ?( x ?1)2 ? 0 1
所以0 ? ?( x ?1)2 ? 3 ? 3。

? 0 ? y ? 3。 故所求函数的值域为 , 3 。 0

?

?

题组3:求下列函数的值域:(每组选答一题)

2 ? 3x 1) y ? ; 2x ? 1

? 3? 答案 ? y y ? R且y ? ? ? 2? ?

2) y ?

? x ? 4x ;
2

答案?0, 2?
答案 ? 0,5?

5 3) y ? 2 。 2x ? 4x ? 3

数学小博士 出新招:

也可以用逆求法解例1的1)题: 5x ? 1 2y ?1 由y ? 解出x得x ? ? 。 4x ? 2 4y ? 5
而4 y ? 5 ? 0,即 y ? 5 。(此法也叫反函数法 ) 4

x2 ?1 2 或y ? 2 ? 1 ? 2 (分离常数法), x ?1 x ?1 2 2 2 而x ? 1 ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 ? ?1 ? 1 ? 2 ? 1。 x ?1 x ?1
(直接法——用不等式性质、非负数性质)

x2 ?1 再如求y ? 2 的值域: x ?1 y ?1 y ?1 先解出x 2 得:x 2 ? ? ?0? ? 0 ? ?1 ? y ? 1。 y ?1 y ?1

即函数的值域为 1,1)。 [?

数学小博士 考考你:(抢答)
(1)(由启示1、例1的1)和题组3的1)归纳总结)
? c? ? y y ? R且y ? ? cx ? d a? ? 函数 y ? (ac ? 0)的值域为 __________ ________ 。 ax ? b

ax ? 3 ( )用()的结论解答)函数 y ? 2 1 的值域为 1 ? 2x

?y y ? R且y ? ?2?。则a ? __________ __________ 。
一4

例题2

求下列函数的值域:

1) y ? 2x ? 4 1 ? x;

方法四

换元法

通过换元把求已知函数的值域转化为求关于新元 的函数值域,从而求得原函数值域的方法叫换元法。 ——常用于部分根式函数。

x 2) y ? 2 。 x ?1

方法五

判别式法

把已知函数转化为关于变量的二次方程,再利用方程有 解则判别式非负。从而求得原函数值域的方法叫判别式法。 ——常用于分子或分母中有二次式的分式函数。

解析:

1)中含二次根式,要设法转化。

一)(换元升次)

设 1? x ? t ? 0 (注意新元的取值范围 ? x ? 1 ? t 2, )

则y ? ?2t 2 ? 4t ? 2 ? ?2(t ? 1) 2 ? 4(t ? 0) ? 4。
二)(整体配方)

y ? ?2(1? x) ? 4 1? x ? 2 ? ?2( 1? x ?1)2 ? 4
因为 1 ? x ? 0, 所以y= ? 2( 1? x ?1)2 ? 4 ? 4。

三)(平方升次再用判别式)

y ? 2x ? 4 1 ? x ? ( y ? 2x) 2 ? 16(1 ? x)
? 4 x 2 ? 4(4 ? y) x ? y 2 ?16 ? 0

? ? ? 4 2 (4 ? y) 2 ? 4 ? 4( y 2 ? 16) ? 0 ? y ? 4。

? 所求函数的值域为? ?,4? 。

数学小博士 特别提示3:

有时一题有多种解法,而有时 一题又要同时使用多种方法才能解 决。只有灵活选用最恰当的方法, 才能快捷解题。

2) 由函数的表达式可知x ? R,
x 由y ? 2 ? yx 2 ? x ? y ? 0。 x ?1
当 y=0时,x=0,所以y可以为0;
1 1 当y ? 0时,?=1-4y ? 0 ? ? ? y ? ( y ? 0)。 2 2 ? 1 1? 综上可得所求函数的值 域为?? , ?。 ? 2 2?
2

先用判别式法求下列函数的值域, 数学小博士 考考你: 再用其它方法检验:(讨论)

1) y ? x ? x ?1;
x 2 ? 3x ? 2 2) y ? 2 。 x ? x?2

?1, 。 答: ? ??

( x ? 1)( x ? 2) x ? 1 (2)答:y ? ? ( x ? 1且x ? ?2) ( x ? 1)( x ? 2) x ? 1

? 1? ? ? y y ? R且y ? 1, y ? ?。 3? ?

方法总结
方法名称
直接法 配方法 分离常数法 (反函数) 换元法 判别式法

求函数值域的常用方法
主要适用函数 注意事项

简单函数 一般与非负数有关 与二次函数有关的函数 取等号条件 分子分母都是 一次式的分式函数 部分根式函数 分子或分母中有 二次三项式的分式函数 可直接用结论 新元的取值范围 判断——讨论 ——检验

数学小博士 特别提示5:

求函数值域的方法将随着知 识面的扩大而不断丰富。所以在 学习过程中,要善于积累经验, 归纳总结,才能提高。

课 后 作 业

1)求下列函数的值域: 1 ? 3x (1) y ? ; (2) y ? x ? 1 ? 2x ; x ?1 2

(3) y ? x ? 4 ? x 2 ;

x (5) y ? ; (6) y ? x ?1 ? x ? 2。 x ?1 ax ? b 2 )y ? 2 的值域为 ?? 1,? 4 。求 a、b的值。 x ?1

3x ? 3x ? 1 (4) y ? 2 ; x ? x ?1

作业 求下面函数的值域

x?2 2) y ? 2 。 x ? 3x ? 6

1) y ? x ? 2 ? x;

9? ? ? ? ?, ? 4? ?
? 1 1? ?? 5 , 3 ? ? ?

3) y ? x ? x ?1;

?1, 。 答: ? ??






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