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圆的标准方程说课课件(修改)


万宁三中

邓雯

教材结构分析
《圆的方程》安排在高中数学必修二第 四章第一节.圆作为常见的简单几何图形, 在实际生活和生产实践中有着广泛的应用. 圆的方程属于解析几何学的基础知识,是 研究二次曲线的开始,对后续直线与圆的 位置关系、圆锥曲线等内容的学习,无论 在知识上还是方法上都有着积极的意义, 所以本节内容在整个解析几何中

起着承前 启后的作用.

教学目标
知识与技能
1.掌握圆的标准方程; 2.会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐 标,能根据条件写出圆的标准方程; 3.利用圆的标准方程解决简单的实际问题.

教学目标
过程与方法
1.进一步培养学生用代数方法研究几何问题 的能力; 2.加深对数形结合思想的理解以及对待定系 数法的运用; 3.通过圆的方程在实际中的应用,增强学生 用数学的意识.

教学目标 情感、态度与价值观
1.培养学生主动探究知识、合作交流的意识;

2.通过圆的方程在实际中的应用,体验数学与
生活的联系,培养学生用数学的眼光审视现

实生活问题的意识。

教学重点与难点
重点:
圆的标准方程的求法及其应用.

难点:
1.会根据不同的已知条件求圆的标准方程; 2.选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问 题.

创设情境,启迪思维

深入探究,获得新知

应用举例,巩固提高

反馈训练,形成方法

教 学 过 程 与 设 计

小结反思,拓展引申

创设情境,启迪思维
问题一:最著名的古桥要数我国河北赵县建于1500年前的
单拱石桥——赵州桥,它的设计思想和建造工艺师世界石拱
桥的卓越典范,对直接后代的桥梁建筑有着十分深远的影响。 它全长64.40米,最大圆拱跨径37.4米,拱高7.2米。这座桥 建得科学合理精巧新奇,造型优美,通体为巨大花岗岩石块 组成,很像天上的长虹,如此雄伟秀逸的圆拱形的建筑,是

著名匠师李春建造的。它的建造应该说是中国古代数学、物
理学、工程学融合的结晶,体现了中国古代劳动人民的智慧 和力量。在赞叹之余,我们能否确定出圆拱所属圆的大小和 中心呢?

什么叫做圆?

深 入 探 究 获 得 新 知

圆的定义:平面内与定点距离等
于定长的点的集合(轨迹)是圆。

定点就是圆心,定长就是半径
哪几个要素定圆?

圆心定位 半径定形

深 问题二 : 入 1.你能得到圆心在原点,半 探 究 径为r的圆的方程? , 2.如果圆心在C(a,b),半径 获 得 为r时又如何呢? 新 知

Y

P(x,y)

取圆上任意一点 P(x,y),则:OP=r
B (r,0) X

A (-r,0)

O

于是 即:

( x ? 0) 2 ? ( y ? 0 ) 2 ? r

x2 ? y 2 ? r 2

这就是圆心在原点、半径为r的圆的方程

现在让我们来看看这个问题:

如果一个圆的圆心不在原点,而在点
C(ɑ,b)上,且半径为r,求此圆的方程。 Y 根椐两点间的距离 P ? x, y ?

公式得:
2

? x ? a? ? ? y ? b?
C ? a, b ?

2

?r
?r
2

0

X

? x ? a ? ? ? y ? b?
2

即:

2

Y

P ? x, y ?

C ? a, b ?

0

X

直接应用

内化新知

,半径长等于 应 M ( 5 , ? 7 ) 5的圆的方程,并判断点 1 , M 2 (? 5 ,?1) 用 是否在这个圆上. 解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标 举 准方程是:( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 例
2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 把 M 1 (5,?7) 的坐标代入方程 , 左右两边相等,点 M 1 的坐标适合圆的方程, 巩 M 所以点 1 在这个圆上; 把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程, 固 提 左右两边不相等,点M2 的坐标不适合圆 的方程,所以点M2 不在这个圆上. 高

问题三:写出圆心为 A(2,?3)

点与圆的位置关系
从上题知道,判断一个点在不在某个圆上,只需将 这个点的坐标代入这个圆的方程,如果能使圆的方程 成立,则在这个圆上,反之如果不成立则不在这个圆 上. 2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r M ( x , y ) 怎样判断点 0 0 0 在圆 y 内呢?还是在圆外呢? M2 如果设点M到圆心的距离为d,则 可以看到: o
A M3 x

? 点在圆外 ? 点在圆内 ?
点在圆上

d =r ; d> r; d <r .

灵活应用 提升能力
问题四: ?ABC 的三个顶点的坐标分别 A(5,1), B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆 的方程. 2 2 2 解法一解:设所求圆的方程是 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (1) 因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上, 所以它们的坐标都满足方程(1).于是

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
所求圆的方程为

?a?2 ? ? ?b ? ? 3 ? r ?5 ?
待定系数法

应 用 举 例 , 巩 固 提 高

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

确定圆的方程的方法和步骤 1.圆的标准方程中含有三个参变数,必 须具备三个独立的条件;才能定出一个圆 的方程,当已知曲线为圆时,一般采用待 定系数法求圆的方程。 2.求圆的标准方程的一般步骤为: (1)根据题意,设所求的圆的标准方程 为: (x-a)2+(y-b)2=r2;

(2)根据已知条件,建立关于a、b、r的

方程组;
(3)解此方程组,求出a、b、r的值;

(4)将所得的a、b、r的值代回所设的圆
的方程中,就得到所求的圆的标准方程.

“设”、“列”、 “求”

灵活应用 提升能力
问题四: ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,-3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.

y
A(5,1) O G E C(2,-8) D

x
B(7,-3)

圆心:两条弦的中垂线的交点

半径:圆心到圆上一点

实际运用,回归自然 问题五 : 如图是某圆拱桥的一孔 圆拱的示意图,该圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m,在建造 时每隔4m需用一个支柱支撑,求 支柱的长度(精确到0.01m).
y

P 2 P A
A1 A2 O A3 A4 B x

应 用 举 例 , 巩 固 提 高

解:建立如图所示的坐标系,设圆心坐标是(0,b) 圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。 把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 2=14.52 解得: b= -10.5 r 2 2 2 10 +(0-b) =r 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

问题六 :
1.写出下列各圆的标准方程: (1)圆心在原点,半径为3; (2)经过点 P(5,1) ,圆心在点 C(8,-3)。 2.写出下列各圆的圆心坐标和半径. (1)(x+2)2+y2=(-2)2 (2)(x-4)2+(y+3)2=5 (3)(x+a)2+y2=a2

反 馈 训 练 , 形 成 方 法

3.已知三角形AOB的顶点坐标分别是 A(4,0),B(0,3),O(0,0),求三角形AOB的外接圆方程。
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 解:设所求外接圆的方程为

?(4 ? a) ? (0 ? b) ? r ? 2 2 2 ( 0 ? a ) ? ( 3 ? b ) ? r ? ?(0 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 ?
2 2

2

所求圆的方程为

? ?a ? 2 ? 3 ? ?b ? 2 ? 5 ? r? ? 2 ?

3 2 25 ( x ? 2) ? ( y ? ) ? 2 4
2

P121 练习 3
解:设点C(a,b)为直径 P P 1 2 的中点,则
圆心坐标为(5,6)

4?6 a? ?5 b ? 9?3 ? 6 2 2

P 1 (4,9)

C

P2 (6,3)

r ? CP 1 ? (4 ? 5) ? (9 ? 6) ? 10
2 2

CM ? 10

圆的方程为

(x ? 5)? (y ? 6)? 10
2 2

CN ? 13 ? 10 CQ ? 3 ? 10

因此点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内。

圆心:直径的中点

半径:直径的一半

1.圆的标准方程

小结反思,拓展引申
y

圆心C(a,b),半径r

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

A

2.圆心
①两条直线的交点 (弦的垂直平分线) ②直径的中点
O C G B

3.会用待定系数法求圆的 方程

x

分层作业 (A)巩固型作业:教材 P124:(习题4.1)1,2,3. (B)思维拓展型作业: 试推导过圆x2+y2=r2 上一点M(xo,yo) 的切线方程

小 结 反 思 , 拓 展 引 申

激发新疑
课后练习: 1.把圆的标准方程展开后 是什么形式? 2.方程 表示什么图形?

小 结 反 思 , 拓 展 引 申

学情分析
圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本

性质的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几
何的时间还不长、学习程度较浅,且对坐标法的

运用还不够熟练,在学习过程中难免会出现困难.
另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方

面有待加强.

——“启发式”问题教学 法

学法分析
1.坐标法

2.三个独立条件确定圆
3.求a,b,r时可用待定系数法

教学评价
(一)突出重点 抓住关键 突破难点 (二)学生主体 教师主导 探究主线 (三)培养思维 提升能力 激励创新

直接运用 a,b,r与 圆的标 准方程 的关系

灵活运用

实际运用

待定 系数 法求 a,b,r

实际运用,回归自然 问题五 : 如图是某圆拱桥的一孔 圆拱的示意图,该圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m,在建造 时每隔4m需用一个支柱支撑,求 支柱的长度(精确到0.01m).
y

P 2 P A
A1 A2 O A3 A4 B x

应 用 举 例 , 巩 固 提 高

问题二 : 1.根据 问题一的探究能 1.一般思路: 坐标法 不能得到圆心在 2.利用图形变 原点,半径为 r的 换(平移)。 圆的方程? 2.如果圆心在 C(a,b),半径为r 时又如何呢?

?ABC 问题四: 的三个顶点的坐 标分别A(5,1), B(7,-3),C(2, -8),求它的外 1.待定系数法; 接圆的方程.
2.通过求圆心、 半径写出圆的 标准方程。

由特殊到一般
圆心在原点时,半径为r 的圆的标准方程为: x2+y2=r2 (特殊) . 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为: (x-a)2+(y-b)2=r2(一般) 问题三 点与圆的位置关系 问题四 求圆的标准方程的 一般步骤

归纳一般性结论

附:板书设计
圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为: 问题1 问题2 问题3 问题4 问题5 问题6 小结

(x-a)2+(y-b)2=r2 ;
圆心在原点时,半径 为r 的圆的标准方程为: x2+y2=r2 .

作业

使教育过程成为一种艺术 的事业——赫尔巴特

谢谢大家!


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